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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktion über Potenz
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Induktion über Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Sa 24.11.2007
Autor: Thommi

Aufgabe
Beh: [mm] 2^n \ge [/mm] n+1
IV: n=1: [mm] 2^{1}\ge1+1 [/mm] => [mm] 2\ge2 [/mm]
IS: ?

Hi,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich soll obige Behauptung für alle natürlichen Zahlen beweisen. Aber wie mach ich das jetzt über eine Potenz?

mfg

        
Bezug
Induktion über Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Sa 24.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Thommi,


> Beh: [mm]2\red{^n}\ge n+1[/mm]
>  IV: n=1: [mm]2^{1}\ge1+1[/mm] => [mm]2\ge2[/mm]  [ok]

> IS: ?
>  Hi,
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Ich soll obige Behauptung für alle natürlichen Zahlen
> beweisen. Aber wie mach ich das jetzt über eine Potenz?
>  
> mfg

Mache einen ganz "normalen " Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$

Induktionsvoraussetzung Gelte [mm] $2^n\ge [/mm] n+1$ für ein [mm] $n\in\IN$ [/mm]

Im eigentlichen Induktionsbeweis musst du dann zeigen, dass unter dieser Induktionsvoraussetzung gefälligst auch [mm] $2^{n+1}\ge [/mm] (n+1)+1 \ (=n+2)$ ist

Nimm dir dazu das [mm] $2^{n+1}$ [/mm] her und forme es so um, dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst:

[mm] $2^{n+1}=2\cdot{}\red{2^n}\ge 2\cdot{}\red{(n+1)}=...$ [/mm]

Für den [mm] \red{roten} [/mm] Teil habe ich die Ind.vor. benutzt

Das bastel noch etwas weiter, bis da [mm] $...\ge [/mm] n+2$ steht


LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Induktion über Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 So 25.11.2007
Autor: Thommi

Ah, danke damit bin ich schon weitergekommen, aber jetzt hab ich:

[mm] n\to [/mm] n+1:
[mm] 2^{n+1}\ge [/mm] n+1+1
[mm] 2\* 2^{n} \ge [/mm] n+2

Bezug
                        
Bezug
Induktion über Potenz: oben genau lesen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:39 So 25.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Thommi!


Du gehts überhaupt nicht aufSchachuzipus' Antwort ein. Nach dessen Tipp musst Du doch nur noch zeigen, dass gilt : $2*(n+1) \ = \ 2n+2 \ = \ n+n+2 \ [mm] \ge [/mm] \ n+2$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Induktion über Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Mo 26.11.2007
Autor: Thommi

Habe ich versucht, aber ich dachte ich käme nur net weiter, vielleicht habe ich es auch falsch verstanden, also das $ [mm] 2^{n+1}\ge [/mm] (n+1)+1 \ (=n+2) $ bewiesen werden muss ist mir völlig klar. Auch die Umformung $ [mm] 2^{n+1}=2*2^{n}$, [/mm] aber wie kommt man jetzt auf das $ 2*(n+1) $ ? Denn $ n+2 $ ist das ja wohl nicht.

mfg

Bezug
                                        
Bezug
Induktion über Potenz: Induktionsvoraussetzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mo 26.11.2007
Autor: Loddar

Hallo Thommy!


Um von [mm] $\blue{2}*\red{2^n}$ [/mm] auf [mm] $\ge [/mm] \ [mm] \blue{2}*(\red{n+1})$ [/mm] zu kommen, setzt Du die Induktionsvoraussetzung [mm] $2^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ n+1$ ein.


Gruß
Loddar


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