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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis
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Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Mo 10.11.2014
Autor: Fincayra

Aufgabe
Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm]\bruch{4n}{3} + n^2 + \bruch{2n^3}{3} \in \IN[/mm]

Meine Frage hierzu ist erstmal etwas allgemeiner: Wie zeige ich das?
Alle bisherigen anderen Aufgaben waren durch einsetzen und umformen zu lösen, muss hier ja dann ähnlich sein ; ) Also ich vermute, dass ich

[mm]\bruch{4(n+1)}{3} + (n+1)^2 + \bruch{2(n+1)^3}{3} [/mm] soweit umformen muss, dass ich [mm]\bruch{4n}{3} + n^2 + \bruch{2n^3}{3} + x , \forall x \in \IN[/mm] da stehen habe, weil dann könnte ich sagen ("einsetzen") für den vorderen Teil ist die Gültigkeit schon gezeigt (Idunktionsvorraussetzung) und da x ebenfalls eine natürliche Zahl ist, muss eine natürliche Zahl rauskommen.
Ist das soweit denn richtig gedacht? Dann hätte ich derzeit nur Probleme mit dem umformen. Aber der Knoten löst sich bestimmt mit der Zeit ^^

Liebe Grüße
Fin

        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Mo 10.11.2014
Autor: Teufel

Hi!

Genau so kannst du es machen. Du kannst sogar den mittleren Term [mm] n^2 [/mm] aus der ganzen Aufgabe streichen, weil das eh immer eine natürliche Zahl ist. Du kannst sie aber auch mitschleppen, wenn du dir da etwas unsicher bist.

Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mo 10.11.2014
Autor: Fincayra

Ja super, ohne das [mm] n^2 [/mm] ist es schon fast zu einfach. Ob die Korrekteure mir das so durchgehen lassen? Aber muss ja. (Mit [mm] n^2 [/mm] komme ich auf keinen grünen Zweig, evtl probiere ich das morgen nochmal.)

Ich möchte euch die Rechnung gerne mal abtippen und hören, ob das "durchgehbar" ist oder ob etwas falsch ist oder ich etwas vergessen habe oder was auch immer zu bemängeln ist.

[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} \in \IN [/mm]

IA: [mm] \bruch{4*1}{3}+1^2+\bruch{2*1^3}{3} [/mm] = 3, 3 ist eine nat. Zahl, somit stimmt die Aussage
IV: für bel. aber festes n [mm] \in\IN [/mm] gelte [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} \in \IN [/mm]
IS: z.z.: [mm] \bruch{4(n+1)}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^3}{3} [/mm]
Beweis für [mm] n^2 [/mm] trivial, da das Produkt zweier nat. Zahlen ebenfalls eine nat. Zahl ist (ebenso die Summe).
Bew.: [mm] \bruch{4(n+1)}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^3}{3} [/mm]

= [mm] \bruch{4n+4+2n^3 + 6n^2 +6n+2}{3} [/mm]

= [mm] \bruch{2n^3 +6n^2 +10n+6}{3} [/mm]

= [mm] \bruch{6n^2+10n+6}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} [/mm]

= [mm] \bruch{6(n^2+n+1)}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} [/mm]

= [mm] 2(n^2 [/mm] +n +1) + [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} [/mm]

Sowohl [mm] n^2 [/mm] (s.o.) als auch n sind nat. Zahlen (ebenso 1 und wenn man diese drei mit 2 multipliziert...).
q.e.d.

Reicht das so? Ich hab ja tatsächlich am ehesten "Angst", dass ich nicht genug erklärenden Text dabei schreibe ~.~

Liebe Grüße
Fin

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Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:15 Di 11.11.2014
Autor: Teufel

Das sieht doch gut aus! Wobei du vielleicht das [mm] n^2 [/mm] doch mitnehmen solltest, weil du es auch im Induktionsanfang schon drinnen hast und weil man es dadurch ganz sauber beweisen kann, wenn es in der Aufgabe eher um die ganz korrekte Schreibweise geht.

Schreibe einfach [mm] +(n+1)^2 [/mm] noch hinter jede Zeile im Induktionsschritt und am Ende machst du [mm] n^2+(2n+1) [/mm] draus. Dann ist [mm] \frac{4n}{3}+n^2+\frac{2n^3}{3} [/mm] nach IV eine natürliche Zahl der Rest [mm] 2(n^2+n+1)+2n+1 [/mm] ist auch eine, aus den Gründen, die du schon richtig gesagt hast.

Damit kann keiner mehr irgendetwas an dem Beweis aussetzen. :)

Bezug
                                
Bezug
Induktionsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:57 Di 11.11.2014
Autor: Fincayra

Alles klar, klingt logisch. Danke : )
Aber ich bin jetzt einfach mal neugierig und gebe die "gekürzte" Version ohne [mm] n^2 [/mm] ab. Ich meine, wir brauchen unterm Strich nur 50% und da käme es weder bei dem Zettel und wohl auch nicht insgesamt auf die 2 oder 3 Punkte an. Dann lieber mal ausprobieren, was man darf und was nicht, solange die Chance dazu besteht ; )

Grüße
Fin

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Induktionsbeweis: Weglassung begründen !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Di 11.11.2014
Autor: Al-Chwarizmi


>  Aber ich bin jetzt einfach mal neugierig und gebe die
> "gekürzte" Version ohne [mm]n^2[/mm] ab. Ich meine, wir brauchen
> unterm Strich nur 50% und da käme es weder bei dem Zettel
> und wohl auch nicht insgesamt auf die 2 oder 3 Punkte an.
> Dann lieber mal ausprobieren, was man darf und was nicht,
> solange die Chance dazu besteht ; )



Hallo Fincayra,

natürlich muss die Lösung ohne das [mm] n^2 [/mm] drin auch als
voll gültige Lösung akzeptiert werden, unter der Voraus-
setzung
, dass du dieses [mm] n^2 [/mm]  nicht einfach so kommentarlos
wegstreichst. Natürlich musst du in deinem Beweis begründen,
weshalb man dies tun darf !

LG ,    Al-Chw.


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Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 11.11.2014
Autor: fred97

Mein Vorschlag:

Zeige induktiv: für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist $ [mm] 4n+2n^3 [/mm] $ durch 6 teilbar

Das ist mehr als wir brauchen ! Damit haben wir

$ [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] +  [mm] \bruch{2n^3}{3} \in \IN [/mm] $, also auch

$ [mm] \bruch{4n}{3} [/mm] + [mm] n^2 [/mm] + [mm] \bruch{2n^3}{3} \in \IN [/mm] $

FRED

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