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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis
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Induktionsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Sa 18.11.2006
Autor: Carlchen

Aufgabe
Man beweise durch vollständige Induktion:

Für alle natürlichen Zahlen [mm] n > 0 [/mm] gilt:

[mm] \left(\bruch{n}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n![/mm]

Hi Freunde,

benötige ein bisschen Schützenhilfe bei dieser Aufgabe. :)

Also:

(IV): [mm] \left(\bruch{n}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n![/mm] gilt für [mm] n > 0 [/mm]

(IA): [mm]\bruch{1}{3} = \bruch{1}{3}[/mm] stimmt!

(IB): [mm]n \to n+1[/mm]

[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right)^{n+1} \le \bruch{1}{3} (n+1)![/mm]

[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right) \left(\bruch{n+1}{3}\right)^n \le \bruch{1}{3} n! (n+1)[/mm]

[mm]\Rightarrow \left(\bruch{n+1}{3}\right)^n \le n! [/mm]

Bis hierhin. Nun komm ich nicht weiter bzw. ich weiß nicht, was ich genau machen könnte/soll.
Wäre für jede Hilfe dankbar. :)

Gruß Carlchen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Induktionsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 So 19.11.2006
Autor: Carlchen

Hat keiner eine Idee? :)

Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 So 19.11.2006
Autor: zahlenspieler

Hallo Carlchen,
Für den Induktionsschritt brauchst du noch [mm](1+\bruch{1}{n})^n <3[/mm].
M.E. geht das am einfachsten, wenn man die Folgen [mm] $(a_n), (b_n)_{n>0}$, [/mm] definiert durch
[mm]a_n:=(1+\bruch{1}{n)^n,\quad b_n:=(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm] betrachtet und zeigt: [mm] $b_n<3$, $(b_n)$ [/mm] ist streng monoton fallend, und [mm] $a_n Gruß
zahlenspieler

Bezug
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