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| Aufgabe | Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass gilt:
[mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k [/mm] = [mm] (x^m-x^n)/(1-x) [/mm] |
Hi,
ich wiederhole gerade unsere Uniübungen für die Klausur im Oktober und komme bei oben genannter Induktionsaufgabe nicht weiter, d.h. ich weiss nicht, ob ich richtig angefangen habe. Oben genannte Reihe würde ich wie folgt fortsetzen:
[mm] \summe_{k=m}^{n-1} x^k [/mm] = [mm] x^m [/mm] + x^(m+1) +x^(m+2) + ... + x^(n-1)
Nun Induktionsbeginn für n = 1
=> [mm] x^m
[/mm]
(Rein Interessehalber n=2 = [mm] x^m [/mm] + x^(m+1) ?)
Ich komme irgendwie nicht auf einen grünen Zweig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo blauwalangler!
Nicht immer (so wie hier  ) startet die Induktion bei $n \ = \ 1$ . Denn Sinn machen hier bei der Summe als obere Grenze nur Werte mit [mm] $\ge [/mm] \ m$ .
Von daher würde ich hier den Induktionsanfang bei $n \ := \ m+1$ ansetzen:
[mm] $$\summe_{k=m}^{m+1-1}x^k [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=m}^{m}x^k [/mm] \ = \ [mm] x^m [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Vielen Dank für die Info.
Ich weiss nicht, ich tue mich mit solchen Aufgaben relativ schwer, die vom "Standard" n = 1 abweichen.
Für obengenannte Aufgabe habe ich jetzt den Induktionsanfang aufgestellt, dieser scheint auch soweit richtig zu sein. Nur wie mache ich jetzt weiter?
Was muss ich konkret anstelle n +1 hier einsetzen?
Gibt es vielleicht irgendein Rezept, wie man bei sowas am besten vorgeht?
Reine Induktionsaufgaben sind mir wie gesagt klar, nur das Summenzeichen verwirrt mich mit diesen Grenzen total..
Danke,
blauwalangler
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> Vielen Dank für die Info.
> Ich weiss nicht, ich tue mich mit solchen Aufgaben relativ
> schwer, die vom "Standard" n = 1 abweichen.
> Für obengenannte Aufgabe habe ich jetzt den
> Induktionsanfang aufgestellt, dieser scheint auch soweit
> richtig zu sein. Nur wie mache ich jetzt weiter?
> Was muss ich konkret anstelle n +1 hier einsetzen?
Hallo,
ich würde diese Aufgabe umschreiben zu [mm] \summe_{k=m}^{m+d-1}x^k [/mm] = [mm] (x^m-x^{m+d})/(1-x), [/mm] denn die Aussage ist ja, wie Loddar sagt, überhaupt nur sinnvoll für
[mm] n-1\ge [/mm] m, also für n [mm] \ge [/mm] m+1.
Das m ist beliebig, aber fest vorgegeben, und Du machst nun eine Induktion über d. Den Induktionsanfang mit d=1 hast Du ja schon.
>
> Gibt es vielleicht irgendein Rezept, wie man bei sowas am
> besten vorgeht?
Kühlen Kopf bewahren. Ansonsten habe ich kein RPatentrezept.
Aber die Induktionsaufgabe in der Klausur wird auch einfacher sein, könnte ich mir vorstellen.
> Reine Induktionsaufgaben sind mir wie gesagt klar,
Dann ist schon seeeeehr viel gewonnen!
Gruß v. Angela
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