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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Induktionsbeweis
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Induktionsbeweis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Do 08.11.2007
Autor: dorix

Aufgabe
Seien [mm] m,n \in\IN\sub [/mm] mit [mm] 0 < m \le n [/mm] . Man zeige: [mm] \summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1} [/mm]

Hallo ihr Lieben;-)

Weiß nicht, warum Induktionen nicht bei mir klappen und was ich genau falsch mache...wär schön, wenn mir jemand weiterhelfen könnte und mich mal auf meine Fehler aufmerksam macht, auch was formale Schreibweisen  betrifft. Würd das wirklich gern verstehen;-)

IA: [mm] n = m[/mm]

[mm]\summe_{k=m}^{m} \bruch{1}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{m + 1} [/mm]

ist erfüllt, da

[mm]\bruch{1 (m + 1) - (1m)}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m(m + 1)} [/mm]

IV (?):[mm] \summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1} [/mm]

IS(?):[mm] n= m + 1 [/mm]

[mm] \summe_{k=m}^{m + 1} \bruch{1}{k(k + 1)} = \summe_{k=m}^{m} \bruch{1}{k(k + 1)} + \bruch{1}{(m + 1)(m + 2)} [/mm]

Ist das richtig? Und wie geht man weiter vor? Zeigen soll ich ja, dass der rechte Teil der Gleichung von der Aufgabe rauskommt, oder ist das alles schon Mist?

Bitte, bitte helft mir...
lg dorix

        
Bezug
Induktionsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Do 08.11.2007
Autor: angela.h.b.


> Seien [mm]m,n \in\IN\sub[/mm] mit [mm]0 < m \le n[/mm] . Man zeige:
> [mm]\summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1}[/mm]
>  
> Hallo ihr Lieben;-)
>  
> Weiß nicht, warum Induktionen nicht bei mir klappen und was
> ich genau falsch mache...wär schön, wenn mir jemand
> weiterhelfen könnte und mich mal auf meine Fehler
> aufmerksam macht, auch was formale Schreibweisen  betrifft.
> Würd das wirklich gern verstehen;-)
>  
> IA: [mm]n = m[/mm]
>  
> [mm]\summe_{k=m}^{m} \bruch{1}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{m + 1}[/mm]
>  
> ist erfüllt, da
>
> [mm]\bruch{1 (m + 1) - (1m)}{m(m + 1)} = \bruch{1}{m(m + 1)}[/mm]
>  
> IV (?):[mm] \summe_{k=m}^{n} \bruch{1}{k(k + 1)} = \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n + 1}[/mm]

Hallo,

bis hierher ist es richtig.

Du willst ja eine Induktion über n machen und die Behauptung für alle n>m zeigen.

Im Induktionsanfang, hast Du die Aussage gezeigt hat für n=m

Im Induktionsschluß mußt Du nun zeigen, daß die Aussage auch gilt, wenn Du nicht bis n summierst, sondern bis n+1.
Überall in de Behauptung ersetzt Du n durch n+1.
Dann hast Du dastehen, was Du zeigen mußt.

Starte dann mit

[mm] \summe_{k=m}^{n + 1} \bruch{1}{k(k + 1)}, [/mm]

und forme es richtig und unter Verwendung der I.V. so um, daß am Ende [mm] \bruch{1}{m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(n+1) + 1} [/mm] dasteht.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Induktionsbeweis: ohne Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Fr 09.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo dorix!


Diese Behauptung kann man auch ohne vollständige Induktion beweisen, indem man für [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)}$ [/mm] eine Partialbruchzerlegung durchführt und dadurch eine sogenannte "Teleskopsumme" erhält.

Es gilt:  [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Induktionsbeweis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Sa 10.11.2007
Autor: dorix

Vielen Dank für eure Hilfe..;-)

lg dorix

Bezug
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