Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] n^{2} \le 2^{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nunja ich scheine hier eine Sache zu übersehen bei meinem Lösungsansatz:
Als nebenbemerkung n [mm] \in \IN
[/mm]
n=>n+1
[mm] (n+1)^{2}
[/mm]
[mm] (n+1)^{2} \le 2^{n+1}
[/mm]
[mm] (n+1)^{2} \le 2^{n}*2 [/mm] (jetzt ersetze ich [mm] 2^{n} [/mm] mit [mm] n^{2}
[/mm]
[mm] n^{2}+2n+1 \le 2n^{2} [/mm] | - [mm] 2n^{2}
[/mm]
[mm] -n^{2}+2n+1 \le [/mm] 0 | *(-1)
[mm] n^{2}-2n-1 \ge [/mm] 0 | +2 quad. ergänzung, falls man es überhaupt darf
(n-1)² [mm] \ge [/mm] 2 | wurzel ziehen
n-1 [mm] \ge \wurzel{2}
[/mm]
n [mm] \ge \wurzel{2}+1 [/mm] jetzt im Kopf, dass es hier um [mm] \IN [/mm] geht
=> n [mm] \ge [/mm] 1.414+1
n [mm] \ge [/mm] 3
Nächsthöhere natürliche zahl eben... naja aber wie es aussieht hab ich mit dem weg die einzige zahl gefunden mit der es nicht geht hehe. Wo ist der Fehler? Was wäre besser? Vielen dank im vorfeld
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| Aufgabe | | [mm] n^{2}-1 [/mm] > [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{2} [/mm] |
Hier habe ich n=1,2,3 und 4 eingesetzt. Sprich den wert gesucht bei dem es das erste mal klappt.
Das war 4.
So nun konnte ich die Induktion machen
n=>n+1
[mm] (n+1)^{2} [/mm] > [mm] \bruch{(n+2)²}{2}
[/mm]
[mm] (n^{2}-1) [/mm] + 2n + 2 > [mm] \bruch{(n+2)^{2}}{2}
[/mm]
Dann habe ich wieder (n²-1) für den ursprünglichen rechten part nämlich
[mm] \bruch{(n+1)^{2}}{2} [/mm] ersetzt und kam auf:
Zwischenschritt:
[mm] \bruch{(n+2)^{2}}{2} [/mm] + n + 1 > [mm] \bruch{(n+2)^{2}}{2}
[/mm]
Darf ich hier schon aufhören? Offensichtlich ist die Ungleichung wahr, da n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] L={n\ge4}
[/mm]
Jedenfalls wenn ich das komplett auseinander nehme und nach n auflöse komme ich da auf
n > - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
da 0 1 2 3 nicht gehen forme ich hieraus dann den Lösungraum [mm] n\ge4
[/mm]
Oder alles falsch und ich muss anders ansetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] $n^2-1 [/mm] = (n-1)(n+1)$:
$ [mm] n^{2}-1 [/mm] $ > $ [mm] \bruch{(n+1)^{2}}{2} [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] n-1 > [mm] \bruch{n+1}{2} \gdw [/mm] $n>3$
FRED
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> [mm]n^{2} \le 2^{n}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf
> anderen Internetseiten gestellt.
>
> Nunja ich scheine hier eine Sache zu übersehen bei meinem
> Lösungsansatz:
Hallo,
zunächst einmal ist es wichtig, bei solchen Beweisen kein Chaos zu veranstalten, sondern schön aufzuschreiben, was man zeigen will und wo der Beweis beginnt.
Das ist nicht zuletzt auch eine große Hilfe für einen selbst.
Du möchtest hier durch Induktion zeigen die
Behauptung: es ist [mm] n^{2} \le 2^{n} [/mm] für alle - für alle was eigentlich?
Beweis durch Induktion:
Induktionsanfang: Ich gehe davon aus, daß Du den gemacht hast. Für welches n?
Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] n^{2} \le 2^{n} [/mm] für ein n
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
zu zeigen ist hier, daß unter der Induktionsvoraussetzung auch [mm] (n+1)^2 \le 2^n [/mm] richtig ist.
Beweis: Achtung! Wenn Du Induktionsbeweise machst, mach das nie durch Äquivalenzumformungen, und schon gar nicht, wenn Du es mit Ungleichungen zu tun hast. Es ist dabei nämlich das Chaos vorprogrammiert.
Starte mit der einen Seite der Ungleichung und forme sie unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung so um, daß am Ende einer langen Ungleichungskette die andere Seite der Ungleichung dasteht. Also:
es ist [mm] (n+1)^2= n^2+2n+1 \le [/mm] ....
Jetzt mußt Du versuchen zu zeigen in einem Zwischenschritt , daß [mm] 2n+1\le n^2 [/mm] ist, dann weiter
Gruß v. Angela
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@Fred:
Danke das hat mir natürlich die Induktion gänzlich erspart.
@Angela:
Bist du dir sicher, dass man keine Äquivalenzumformungen machen sollte? Mir fällt nämlich kein Weg auf um das zu beweisen. Außerdem dachte ich, dass es gerade sinn der Übung sei bei Ungleichungen die Induktion ran zu nehmen, damit man eben irgendwann soweit umformen kann, dass da n>1 ( z.b.) steht.
Jedenfalls meine Versuche hänge ich mal als PDF an und ich denke meinen grafischen Ansatz könnte man zwar benutzen, aber um sowas in der Klausur zu benutzen eher nicht praktikabel.
Danke für die Hilfe ich hoffe natürlich du kannst mir auf die sprünge helfen.
Lieben gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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> @Angela:
>
> Bist du dir sicher, dass man keine Äquivalenzumformungen
> machen sollte?
Hallo,
ja.
Ich habe nämlich allzu oft gesehen, wie Leute sich mit so etwas um Kopf und Kragen rechnen.
> Mir fällt nämlich kein Weg auf um das zu
> beweisen.
Eigentlich hatte ich Dir den Anfang ja schon gezeigt.
> Außerdem dachte ich, dass es gerade sinn der
> Übung sei bei Ungleichungen die Induktion ran zu nehmen,
Du sollst hier eine Induktion machen,
Du sollst sie aber nicht machen, indem Du Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen vornimmst - weil die vermeintlichen Äquivalenzumformungen nämlich oft gar keine sind.
Gegen korrekte Äquivalnzumformungen gibt es natürlich keine Einwände.
Aber man schätzt zwischendurch ab, und wenn man nicht eine manierliche Ungleichungskette hat, geht das leicht schief.
> damit man eben irgendwann soweit umformen kann, dass da n>1
> ( z.b.) steht.
>
> Jedenfalls meine Versuche hänge ich mal als PDF an
Ja, ich wollte sowieso auch noch etwas zu der Rechnung im ersten Post schreiben - vorhin war ich etwas in Eile.
Du schreibst
> [mm](n+1)^{2} \le 2^{n+1}[/mm]
> [mm](n+1)^{2} \le 2^{n}*2[/mm] (jetzt
> ersetze ich [mm]2^{n}[/mm] mit [mm]n^{2}[/mm]
> [mm]n^{2}+2n+1 \le 2n^{2}[/mm],
und Du läßt hier Äquivalenz/Folgepfeile vornehm weg.
"Ich ersetze" schreibt sich leicht, in Deinem handschriftlichen Dokument steht I.V. über dem Ungleichungszeichen,
aber mit welchem Recht ersetzt Du? Mit gar keinem: ersetzen kannst Du bei Gleichheit.
In der Induktionsvoraussetzung steht aber nichts davon, sondern es steht dort [mm] "n^2\le 2^n".
[/mm]
Man kann [mm] 2^n [/mm] also nach unten abschätzen mit der Induktionsvoraussetzung.
Aber keinesfalls folgt aus [mm] (n+1)^{2} \le 2^{n}*2[/mm] [/mm] , daß [mm] 2n^2 [/mm] zwischen [mm] (n+1)^{2} [/mm] und [mm] 2^{n}*2 [/mm] liegt!
Das sind die Dinge, mit denen man sich um Kopf und Kragen rechnen kann. Am Ende hat man dann irgendetwas dastehen, und man weiß nicht, was es einem sagt.
Ich habe Dir ja gesagt: Kette.
Zu zeigen ist: [mm] (n+1)^2\le 2^{n+1}.
[/mm]
Der Beweis sollte mit [mm] (n+1)^2 [/mm] beginnen, und dann mit einer Kette von Abschätzungen so geführt werden, daß am Ende [mm] 2^{n+1} [/mm] dasteht, also sowas:
[mm] (n+1)^2= [/mm] ... [mm] \le [/mm] ... = ... = ... = . [mm] ..\le [/mm] ... [mm] \le [/mm] ....= ... =... =... [mm] =2^{n+1}.
[/mm]
Wenn einem das gelingt, ist es auch wirklich offensichtlich, daß [mm] (n+1)^2\le 2^{n+1} [/mm] gezeigt wurde.
Nun also zur Umsetzung, ich hatte den Anfang zuvor ja schon gemacht und Dir einen Hinweis gegeben.
Es ist
[mm] (n+1)^2=n^2+2n+1 \le 2^n [/mm] +2n+1
(Hier habe ich die Induktionsvoraussetzung verwendet. Schau Dir an, wie ich in die richtige Richtung abgeschätzt habe.
Nun möchte man für 2n+1 natürlich wieder [mm] n^2 [/mm] dastehen haben, damit man dies erneut durch die Ind.vor. abschätzen kann.
Ich hatte Dir zuvor gesagt: zeige dafür in einem Zwischenschritt, daß [mm] 2n+1\le n^2 [/mm] gilt. Wir machen es jetzt aber geringfügig anders.
Weil ich mir das [mm] n^2 [/mm] so sehr wünsche, schreibe ich:)
...= [mm] 2^n [/mm] + [mm] n^2-n^2 [/mm] +2n+1
[mm] \le 2^n [/mm] + [mm] 2^n -n^2 [/mm] +2n+1 (Induktionsvoraussetzung)
[mm] =2^{n+1} [/mm] -( [mm] n^2 [/mm] -2n -1) ( Nun hätte man ja gerne, daß das, was man von [mm] 2^{n+1} [/mm] abzieht, [mm] \ge [/mm] 0 ist , damit man endlich zum Ende [mm] \le 2^{n+1} [/mm] kommt.)
[mm] =2^{n+1} [/mm] -( [mm] (n-1)^2 [/mm] -2) (und nun stellt man fest: [mm] (n-1)^2 [/mm] -2 ist nur [mm] \ge [/mm] 0 für [mm] n\ge [/mm] 3. Aber immerhin kann man nun so abschätzen:)
[mm] \le 2^{n+1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 3 .
(Schau Dir diese schöne Ungleichungskette gründlich an. Merkst Du, daß das viel überzeugender ist als irgendwelche Umformungen, bei denen man am Ende gar nicht genau weiß, was man gezeigt hat?)
Nun hat man aber im Induktionsschluß eine Aussage verwendet, die nur für n [mm] \ge [/mm] 3 gilt.
Das bedeutet: man müßte für den Induktionsbeweis den Induktionsanfang auf n=3 legen, und die anderen beiden Fälle n=1 und n=2 kann man ja separat per Vorrechnen zeigen, n=1 hast du ja schon, und n=2 geht auch schnell.
Und nun sei so gut, und mach den Induktionsanfang wirklich mal für n=3. Na? Und dann überlege, wie Du aus der Nummer herauskommst.
Gruß v. Angela
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Und wieder danke Angela.
Mir ist auf jedenfall klar geworden, wieso ich nicht wild mit Äquivalenzumformungen um mich werfen darf in diesen Dingen und, dass ich nur bei gleichheit ersetzen darf.
Nur leider werde ich nicht aus der gesamten Kette schlau.
Ich habe mir deine Kette abgeschrieben und versucht sie zu begreifen. Leider reichte es nicht aus :(
Ich lade das nächste PDF hoch.
Mein kernproblem ist der Anfang:
(n+1)²=n²+2n+1 [mm] \le 2^{n} [/mm] +2n + 1
Wie kommt das zustande? Schätzen wir [mm] 2^{n}+2n [/mm] + 1 [mm] \le 2^{n+1} [/mm] und schreiben es deshalb hin.
Sprich versuchen wir uns einfach einen mittleren term zu basteln, der dem rechten part stark ähnelt aber immernoch größer als der linke ist, damit wir dadurch "schätzen" können, dass (n+1)² [mm] \le 2^{n+1}
[/mm]
Vielen dank bald müsste ich den dreh dann raus haben
test:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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> Nur leider werde ich nicht aus der gesamten Kette schlau.
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> Ich habe mir deine Kette abgeschrieben und versucht sie zu
> begreifen. Leider reichte es nicht aus :(
>
> Ich lade das nächste PDF hoch.
>
> Mein kernproblem ist der Anfang:
>
> (n+1)²=n²+2n+1 [mm]\le 2^{n}[/mm] +2n + 1
>
> Wie kommt das zustande? Schätzen wir [mm]2^{n}+2n[/mm] + 1 [mm]\le 2^{n+1}[/mm]
> und schreiben es deshalb hin.
Wir wollen ja im Induktionsschluß zeigen, daß, sofern [mm] n^2\le 2^n [/mm] für ein n gilt, auch [mm] (n+1)^2 \le 2^{n+1} [/mm] richtig ist.
Deshalb ist es das Ziel, mit dem Ausdruck [mm] (n+1)^2 [/mm] zu starten und am Ende irgendwie [mm] 2^{n+1} [/mm] herauszubekommen.
Verwenden darf man hierbei alle Rechnungen, die richtig sind, und zusätzlich die Induktionsvoraussetzung, welche sagt, daß [mm] n^2\le 2^n [/mm] gilt.
Daß [mm] (n+1)^2=n^2+2n+1 [/mm] richtig ist, weiß man ab Kl.8, und nun komme ich mit der Induktionsvoraussetzung. Weil nach dieser Induktionsvoraussetzung [mm] n^2 [/mm] kleiner [mm] (\le) [/mm] ist als [mm] 2^n, [/mm] darf ich wie folgt abschätzen:
[mm] \red{n^2} [/mm] +2n+1 [mm] \le \red{2^n} [/mm] +2n+1.
> Sprich versuchen wir uns einfach einen mittleren term zu
> basteln, der dem rechten part stark ähnelt aber immernoch
> größer als der linke ist, damit wir dadurch "schätzen"
> können, dass (n+1)² [mm]\le 2^{n+1}[/mm]
Wir schätzen nicht, wir schätzen ab, das ist ein Unterschied.
Wir wollen nicht wissen, wieviele Erbsen ungefähr im Glas sind, sondern mindestens ( Abschätzung nach unten) oder höchstens ( Abschätzung nach oben).
Das ist so, wie wenn man beim Aldi ist, nicht so viel im Portemonnaie hat, und daher aufpassen muß, daß man nicht zu viel kauft. Bei den krummen Preisen rundet man dann im Geiste immer etwas auf, damit man nicht verrückt wird beim Rechnen. Dabei kommt es darauf an, daß man fein genug nach oben abschätzt. Wenn ich mit 1000 Euro in der Tasche unterwegs bin, ist es kein Problem, wenn ich auf volle 5- Beträge aufrunde.
Stück Butter < 5
Lachs < 5
10 l Milch < 10
Frühlingstischdecke <10
Ich weiß dann : Stück Butter +Lachs +10 l Milch +Frühlingstischdecke <(5+5+10+10) =20 < 1000 --> mein Geld reicht.
Wenn ich aber nur 15 in der Tasche habe, muß ich vorsichtiger sein:
Stück Butter < 1
Lachs < 3
10 l Milch < 10
Frühlingstischdecke <10
Ich weiß dann : Stück Butter +Lachs +10 l Milch +Frühlingstischdecke <(1+3+10+10) =20 < 14 --> mein Geld reicht. Hätte ich so geschätzt wie zuvor, hätte es mir für mein Problem überhaupt nichts gebracht.
In [mm] (n+1)^2=n^2 [/mm] +2n+1 [mm] \le 2^n [/mm] +2n+1 = .... = .... [mm] \le [/mm] ... =....= [mm] 2^{n+1}, [/mm] versucht man nun so vorsichtig (und richtig) abzuschätzen, daß am Ende das richtige Ergebnis [mm] 2^{n+1} [/mm] steht. Dieses gewünschte Ergebnis muß man im Hinterkopf haben, weil, wie oben erläutert, die Abschätzungen auch mit dem zu erreichenden Ziel zusammenhängen.
In der Dir vorliegenden Induktion kannst Du an der Stelle [mm] 2^n+2n+1 [/mm] auch in einer Nebenrechnung zeigen, daß für gewisse n (nämlich [mm] n\ge [/mm] 3) [mm] \quad 2n+1\le n^2 [/mm] ist.
Vielleicht fällt Di das leichter, als die in meine rechnung eingebaute Abschätzung. Wenn Du [mm] 2n+1\le n^2 [/mm] gezeigt hat, dann darfst Du schreiben [mm] 2^n+ [/mm] +2n+1 [mm] \le 2^n+2^n=2*2^n=2^{n+1}, [/mm] und hast damit insgesamt
[mm] (n+1)^2= n^2 [/mm] +2n+1 [mm] \le 2^n +2n+1\le 2^n+2^n=2*2^n=2^{n+1}, [/mm] womit der Induktionsschluß vollzogen ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Bitte beachte unbedingt den Hinweis bzgl. des Induktionsanfanges.
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Auch wenn du mich bald erschlägst, aber ich habe versucht 2n+1<n² abzuschätzen auf naja 5 wegen, aber ich glaube kein einziger ist richtig.
Ich lade sie nebenbei mal hoch und hoffe du kannst darunter einen richtigen finden.
Als weitere Frage:
Wieso darf ich aus (2n+1) [mm] 2^{n}machen [/mm] sobald ich gezeigt habe, dass 2n+1 < n² ( somit auch kleiner [mm] 2^{n} [/mm] ist. @Deine letzte Zeile
Einfach nur, weil es schätzungsweise hinhaut?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo ImminentMatt!
> Als weitere Frage:
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> Wieso darf ich aus (2n+1) [mm]2^{n}machen[/mm] sobald ich gezeigt
> habe, dass 2n+1 < n² ( somit auch kleiner [mm]2^{n}[/mm] ist.
Hier wird einfach nochmals die Induktionsvoraussetzung [mm] $n^2 [/mm] \ < \ [mm] 2^n$ [/mm] benutzt.
Gruß vom
Roadrunner
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Aber die IV sagt doch nur indirekt etwas über 2n+1 aus?
[mm] n^{2}<2^{n}
[/mm]
Dann habe ich zu dem Zeitpunkt auch irgendwie gezeigt, dass 2n+1 < [mm] n^{2} [/mm] ist und benutz ich hier IV quasi doppelt um aus 2n+1 erstmal [mm] n^{2} [/mm] zu machen und dann daraus [mm] 2^{n}?
[/mm]
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> Aber die IV sagt doch nur indirekt etwas über 2n+1 aus?
Überhaupt nichts.
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> [mm]n^{2}<2^{n}[/mm]
>
> Dann habe ich zu dem Zeitpunkt auch irgendwie gezeigt, dass
> 2n+1 < [mm]n^{2}[/mm] ist und benutz ich hier IV quasi doppelt um
> aus 2n+1 erstmal [mm]n^{2}[/mm] zu machen und dann daraus [mm]2^{n}?[/mm]
Genau so.
Gruß v. Angela
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> Auch wenn du mich bald erschlägst,
Dazu neige ich nicht. Ich sacke eher in mich zusammen.
ich zeige Dir mal, wie das geht:
Gezeigt werden soll 2n+1 [mm] \le n^2 [/mm] <==> [mm] n^2-2n-1\ge [/mm] 0.
Los geht's (übrigens kam das eigentlcih in meinem Beweis von vorhin schon vor, kannst ja später mal danach suchen.)
[mm] n^2-2n [/mm] -1= [mm] n^2-2n+1-2= (n-1)^2 [/mm] -2 --- kurz innehalten. Für welche n gilt, daß das [mm] \ge [/mm] 0 ist? Für alle? Nein. Die Aussage gilt nur für [mm] n\ge [/mm] 3 ! Also:
Es ist
[mm] n^2-2n [/mm] -1= [mm] n^2-2n+1-2= (n-1)^2 [/mm] -2 [mm] \ge [/mm] 0 für alle [mm] n\ge [/mm] 3.
Weil Du dies dann im Verlauf des Induktionsschlusses verwendest, kann die zu beweisende Aussage [mm] n^2\le 2^n [/mm] bestenfalls für [mm] n\ge [/mm] 3 mit dieser Induktion bewiesen werden.
Du brauchst einen frischen Induktionsanfang...
> Einfach nur, weil es schätzungsweise hinhaut?
Achtung, Achtung: wenn wir hier abschätzen, bedeutet das nicht, daß wir [mm] \pi*Daumen [/mm] rechnen!
Gruß v. Angela
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Danke also das ganze jetzt mal in sauber mit erklärungen:
Aufgabe:
[mm] n^{2} \le 2^{n} [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Induktionsanfang:
n=1
=> [mm] 1^{2}\le2^{1} [/mm] (wahr)
Induktionsvoraussetzung:
[mm] n^{2}\le2^{n} [/mm] (wahr für min. ein n)
dann gilt auch n=>n+1
Induktionsschritt:
[mm] (n+1)^{2}\le2^{n+1}
[/mm]
[mm] (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^n+2n+1 [/mm]
(nach IV muss das auch noch wahr sein, wenn [mm] n^{2}\le2^{n} [/mm] dann ist sicher auch [mm] n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1)
[/mm]
[mm] 2^{n}+n^{2}-n^{2}+2n+1=2^{n}+2^{n}-[(n-1)²-2]=2^{n+1}-[(n-1)^{2}-2]
[/mm]
Nebenrechnung:
[mm] (n-1)^{2}-2\ge0
[/mm]
[mm] n\ge3
[/mm]
[mm] Damit:(n+1)^{2}\le2^{n+1}-[(n-1)^{2}-2]\le2^{n+1}
[/mm]
=> [mm] (n+1)^{2}\le2^{n+1} [/mm] für [mm] n\ge3 [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
n=1 (wahr)
n= 2 (wahr)
n=3 (falsch)
L={n=1,n=2 [mm] \vee n\ge4}
[/mm]
Jetzt ist doch alles richtig? (Ich weiss steht alles schon hier, aber dann bin ich sicher, dass ich es verstanden habe ;) )
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> Danke also das ganze jetzt mal in sauber mit erklärungen:
>
> Aufgabe:
> [mm]n^{2} \le 2^{n}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Hallo,
und genau das zeigst Du dann ja nicht. Und zwar zeigst Du es deshalb nicht, weil man es nicht zeigen kann, denn für n=3 stimmt die Behauptung nicht.
Die zu zeigende Behauptung lautet also [mm] n^{2} \le 2^{n} [/mm] n [mm]\in \IN[/mm]\ [mm] \{3\}.
[/mm]
Wir hatten ja festgestellt, daß im Induktionsschluß eine Aussage verwendet wird, die nur für [mm] n\ge [/mm] 3 stimmt.
Für n=3 stimmt aber die zu zeigende Aussage nicht.
Also legst Du den Induktionsanfang auf die 4, und zeigst per Induktion, daß [mm] n^2\le 2^n [/mm] gilt für alle [mm] n\ge [/mm] 4. (Die Falle n=2 und n=1 rechnest Du später vor.)
>
> Induktionsanfang:
Der muß also für n=4 gemacht werden.
> Induktionsvoraussetzung:
> [mm]n^{2}\le2^{n}[/mm] (wahr für ein n [mm] {\ge 4} [/mm] )
> dann gilt auch n=>n+1
> Induktionsschritt:
zu zeigen:
> [mm](n+1)^{2}\le 2^{n+1}[/mm]
Es ist
> [mm](n+1)^{2}=n^{2}+2n+1\le2^n+2n+1[/mm]
> (nach IV muss das auch noch wahr sein, wenn [mm]n^{2}\le2^{n}[/mm]
> dann ist sicher auch [mm]n^{2}+2n+1\le2^{n}+2n+1)[/mm]
>
> [mm]2^{n}+n^{2}-n^{2}+2n+1\red{\le} 2^{n}+2^{n}-[(n-1)²-2]=2^{n+1}-[(n-1)^{2}-2][/mm]
>
> Nebenrechnung:
> [mm](n-1)^{2}-2\ge 0[/mm]
> [mm]n\ge3[/mm]
Also können wir [mm] (n-1)^{2}-2\ge [/mm] 0 verwenden, denn wir betrachten ja siowieso nur n mit [mm] n\ge [/mm] 4.
>
> [mm]Damit:(n+1)^{2}\le2^{n+1}-[(n-1)^{2}-2]\le2^{n+1}[/mm]
> => [mm](n+1)^{2}\le2^{n+1}[/mm] für
alle n [mm] \ge [/mm] 4.
>
> n=1 (wahr)
> n= 2 (wahr)
> n=3 (falsch)
> [mm] L=\{n=1,n=2 vee n\ge4\}
[/mm]
>
> Jetzt ist doch alles richtig? (Ich weiss steht alles schon
> hier, aber dann bin ich sicher, dass ich es verstanden habe
> ;) )
Doch, ich glaube Du hast es jetzt verstanden.
das war ein Induktionsbeweis mit Klippen, vielleicht versuchst Du Dich nochmal an ein oder zwei richtig einfachen, bei denen Du Dich in erster Linie auf das Prinzip konzentrieren kannst.
Gruß v. Angela
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Das n [mm] \in \IN \3 [/mm] kann ich vor jedweder Rechnung ja noch nicht wissen. Es heißt ja nichts anderes als das n nur nur aus natürlichen Zahlen gewählt werden darf.
Der Usus wird doch sein diese Gleichung zunächst mit der 1 zu beginnen und im nachhinein dann bei der Probe von n=3 festzustellen, dass es nicht drin ist.
Das die Aufgabe so schwierig sein würde konnte ich nicht ahnen.
Es war die Aufgabe a) auf meinen Übungspapieren dazu ;)
Dank dir Angela das hat sehr geholfen und nun kann ich mich den komplexen Zahlen widmen. Hab noch ein paar weitere gemacht und die gingen tatsächlich einfacher von der Hand, wenn man mal sieht, wie das schätzen denn so funktioniert und mathematisch stichhaltig gemacht werden kann. In diesem Sinne lesen wir uns ja bestimmt alsbald wieder
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