Induktionsbeweis Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3 =\bruch{1}{4}n^2* (n+1)^2 [/mm] |
So...habe schön bewiesen, das n=1 Für die Formel gilt:
weiterhin muss ich zeigen, dass für n+1 die Formel auch gilt, und hier liegt auch mein Problem.
Stimmt meine Rechnung? Und kann ich bei den Klammern noch mehr zusammenfassen??
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 =\summe_{k=1}^{n}k^3 +(n+1)^3= \bruch{1}{4}(n+1)^2* ((n+1)^3+1)^2
[/mm]
= [mm] (n+1)^2* (\bruch{1}{4}(n+1)*((n+1)+1)^2)
[/mm]
= [mm] (n+1)^2*(\bruch{1}{4}(n+1)*(n+2)^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}(n+1)* (n+2)^2
[/mm]
Aber muss das dann nach dem Umformen nicht anders aussehen?
Ist der Beweis falsch??
Bitte um Hilfe!!
Ich habe diese frage in keinem anderen Forum oder anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Mathegirl,
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k^3 =\bruch{1}{4}n^2* (n+1)^2[/mm]
> So...habe
> schön bewiesen, das n=1 Für die Formel gilt:
>
> weiterhin muss ich zeigen, dass für n+1 die Formel auch
> gilt, und hier liegt auch mein Problem.
>
> Stimmt meine Rechnung? Und kann ich bei den Klammern noch
> mehr zusammenfassen??
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3 =\summe_{k=1}^{n}k^3 +(n+1)^3= \bruch{1}{4}(n+1)^2* ((n+1)^3+1)^2[/mm]
>
> = [mm](n+1)^2* (\bruch{1}{4}(n+1)*((n+1)+1)^2)[/mm]
> =
> [mm](n+1)^2*(\bruch{1}{4}(n+1)*(n+2)^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4}(n+1)* (n+2)^2[/mm]
>
> Aber muss das dann nach dem Umformen nicht anders
> aussehen?
> Ist der Beweis falsch??
Es ist
[mm]\summe_{k=1}^{n}k^3 = 1^3+2^2+3^3+...+n^3=\bruch{1}{4}n^2* (n+1)^2[/mm]
Läuft die Summe nun bis $\ n +1 $, dann ist
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3 = \summe_{k=1}^{n}k^3 + (n+1)^3 [/mm]
Wenn wir nun auf der linken Seite der Gleichung $\ [mm] (n+1)^3 [/mm] $ addieren, so muss das auch rechts geschehen. Also:
$\ [mm] 1^3+2^2+3^3+...+n^3+(n+1)^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}n^2* (n+1)^2 [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] $
und nun zeige, dass die rechte Seite äquivalent ist zu:
$\ [mm] \bruch{1}{4}(n+1)^2* (n+2)^2 [/mm] $
>
> Bitte um Hilfe!!
>
> Ich habe diese frage in keinem anderen Forum oder anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
ChopSuey
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Danke ChopSuey aber ich verstehe nicht wirklich, was du damit meinst....
ich muss doch nur wie ich schon geschrieben habe das einsetzen, nur das umstellen am ende hat mir probleme bereitet, also ausklammern und so.
mehr muss ich doch bei diesem Beweis nicht zeigen!
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> ich muss doch nur wie ich schon geschrieben habe das
> einsetzen, nur das umstellen am ende hat mir probleme
> bereitet,
Hallo,
nein, bei Dir geht es bereits in dieser Zeile
>>> $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3 =\summe_{k=1}^{n}k^3 +(n+1)^3= \bruch{1}{4}(n+1)^2\cdot{} ((n+1)^3+1)^2 [/mm] $
drunter und drüber.
Im Induktionsschluß mußt Du zeigen, daß unter der Voraussetzung, daß $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3 =\bruch{1}{4}n^2\cdot{} (n+1)^2 [/mm] $ für ein n gilt
[mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}}k^3=\bruch{1}{4}(\red{n+1})^2\cdot{} ((\red{n+1})+1)^2 =\bruch{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2 [/mm] richtig ist.
Du startest mit
[mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}}k^3=[\summe_{k=1}^{\red{n}}k^3] [/mm] + [mm] (n+1)^3= [/mm] [ Ind. vor.] [mm] +(n+1)^3=...
[/mm]
und formst dann so lange und geschickt weiter um, bis am Ende
= [mm] ...=...=...=...=\bruch{1}{4}(n+1)^2(n+2)^2 [/mm]
dasteht -aber das hat CopSuey ja schon erklärt.
Tip: nach Einsetzen der Induktionsvoraussetzung zunächst [mm] (n+1)^2 [/mm] ausklammern.
gruß v. Angela
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Hallo mathegirl,
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}k^3 =\summe_{k=1}^{n}k^3 +(n+1)^3= \bruch{1}{4}(n+1)^2* ((n+1)^3+1)^2[/mm]
Was hast du beim letzten Gleichheitszeichen gemacht? Es müsste eigentlich erstmal dastehen:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k^3 +(n+1)^3 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}*n^{2}*(n+1)^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}$
[/mm]
Nun kannst du weiter versuchen zum Ziel zu kommen, zum Beispiel indem du [mm] (n+1)^{2} [/mm] ausklammerst:
[mm] $\frac{1}{4}*n^{2}*(n+1)^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \frac{1}{4}*(n+1)^{2}*\left(n^{2} + 4*(n + 1)\right)$
[/mm]
...
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 So 18.10.2009 | | Autor: | Mathegirl |
...was ich da gemacht habe??? hmm..Ich habe für n jedesmal n+1 eingesetzt, aber wie ich das jetzt lese, liege ich da wohl falsch :)
vielen dank jedenfalls für die Hinweise, muss mich in die thematik erst einmal etwas hineinfuchsen!
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