Induktionsbeweis einer Summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:38 Di 24.10.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Beweise durch Induktion für alle n:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)
[/mm]
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Hallo,
bei der obigen Aufgabe habe ich Probleme. Ich weiß zwar wie das Ergebnis aussehen soll, ist ja hier auch nicht schwer zu sehen, aber ich habe irgendwo einen Hänger. Ich schreibe mal meinen bisherigen Weg. Ich habe zwar schon unendlich viele ausprobiert, aber dieser hier scheint mir am sinnvollsten bis jetzt. Den Beweis für n=1 und die Annahme schreibe ich nicht noch extra wieder hin. Ich gehe hier gleich vom Schluss aus. Der Rest ist ja klar.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2n+1)^{3}
[/mm]
[mm] =n^{2}(2n^{2}-1)+(2n+1)^{3}
[/mm]
Nun habe ich aus der hinteren Potenz eine rausgezogen und die binomische Formel ausgerechnet. Von dieser dann die Nullstelle berechnet und mit einer ausgeklammerten 4 wieder als Binom hingeschrieben.
Also:
[mm] =n^{2}(2n^{2}-1)+4*(n+\bruch{1}{2})^{2}(2n+1)
[/mm]
[mm] =n^{2}(2n^{2}-1)+4*(n+\bruch{1}{2})^{2}*2(n+\bruch{1}{2})
[/mm]
Ich denke bis hier hin sind die Umformungen alle in Ordnung. Ich sehe auch das der vordere Term in der Klammer eine binomische Formel ist, ich habe auch schon probiert damit was anzufangen, da kommen halt dann Wurzeln drin vor und das kann ich mir nicht vorstellen, also habe ich diese MÖglichkeit wieder fallen lassen. Ich habe auch schon probiert irgendwie anders auszuklammern, aber das geht ja überhaupt nicht, denn man hat ja überhaupt keine gemeinsamen Klammern. Deshalb kam mir nur die Idee mit der Zerlegung der hinteren Potenz irgendwie in einen quadratischen Term so das ich dann doch etwas anderes geschickt ausklammern kann. Aber jetzt komme ich einfach nicht mehr weiter. Vielleicht bin ich ja auch total auf dem Holzweg!
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Di 24.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
das kann doch gar nicht sein!
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2(n+1)-1)^{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2n+2-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2n+1)^{3}
[/mm]
Ich verstehe nicht, wie hier ein "-" reinkommen kann!
Gruß,
clwoe
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> Hallo,
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> das kann doch gar nicht sein!
Du hast völlig recht.
Auf dem Weg von Bildschirm auf meinen Zettel hatte sich die Aufgabe verändert. Ich überlege neu.
Gruß v. Angela
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> Beweise durch Induktion für alle n:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)^{3}=\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{3}+(2n+1)^{3}[/mm]
> [mm]=n^{2}(2n^{2}-1)+(2n+1)^{3}[/mm]
Hallo,
ich würde jetzt alles Ausklammern lassen und einfach die Klammern auflösen. Dasselbe "von rückwärts" mit dem gewünschten Ergebnis, und gucken, ob's paßt. Es paßt.
=...
.
.
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[mm] =(n+1)^2(2n^2+4n+1)
[/mm]
[mm] =(n+1)^2(2(n+1)^2-1)
[/mm]
Gruß v. Angela
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