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Induktionsbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:48 Di 23.12.2014
Autor: micha20000

Hallo,

zu meinen Fragen gibt es keinerlei Aufgaben. Im Rahmen eines Referats muss ich das Thema der Induktionsbeweise vorstellen und bin auf einige Fragen gestoßen.

1. Gelten die Induktionsbeweise nur für natürliche Zahlen? bzw. Lassen sich nur Sätze oder Formeln für natürliche Zahlen durch diese Beweismethode verifizieren?

2. Ist der Induktionsbeweis nicht recht schwammig, weil man bei der Induktionsbehauptung z.B. nur noch einmal den Satz selbst aufschreibt, ohne dies zu beweisen?

Auf Antworten würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank

        
Bezug
Induktionsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Di 23.12.2014
Autor: angela.h.b.


> Hallo,

>

> zu meinen Fragen gibt es keinerlei Aufgaben. Im Rahmen
> eines Referats muss ich das Thema der Induktionsbeweise
> vorstellen und bin auf einige Fragen gestoßen.

>

> 1. Gelten die Induktionsbeweise nur für natürliche
> Zahlen? bzw. Lassen sich nur Sätze oder Formeln für
> natürliche Zahlen durch diese Beweismethode verifizieren?

Hallo,

ja, die normale vollständige Induktion geht für natürliche Zahlen.
(Man kann mit einer Variante auch Aussagen für alle ganzen Zahlen zeigen.)

Es kommt bei der vollständigen Induktion darauf an, daß die Zahlen einen Nachfolger haben.
Deshalb funktioniert sie nicht für die reellen Zahlen.


> 2. Ist der Induktionsbeweis nicht recht schwammig, weil man
> bei der Induktionsbehauptung z.B. nur noch einmal den Satz
> selbst aufschreibt, ohne dies zu beweisen?

Nein, die Induktion ist nicht schwammig:

Man hat eine Behauptung, von der zu zeigen ist, daß sie für alle [mm] n\in \IN [/mm] (oder z.B. auch für alle natürlichen Zahlen n, die größer als 17 sind) gilt.(

Im Induktionsanfang rechnet man vor, daß die Behauptung für n=1 (oder auch n=0 oder s.o. für n=17) gilt.

Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung/-annahme.
Man nimmt nun an, daß die Aussage für eine beliebige, aber feste Zahl [mm] k\in \IN [/mm] richtig ist.
Das sieht in der Tat auf den ersten Blick so aus, als würde man einfach die Behauptung hinschreiben. Mach Dir ganz  klar, daß wir hier für ein [mm] k\in \IN [/mm] etwas annehmen.

Im Induktionsschluß rechnen wir vor:
wenn es stimmt, daß die Annahme für k richtig ist, dann stimmt sie auch für den Nachfolger von k, also für k+1.


Warum ist die Behauptung nun "hart" bewiesen?
Wir haben gezeigt, sie gilt für n=1.
(Damit haben wir einen Anker geworfen, an dem dienun folgende Kette befestigt ist.)
Wir haben gezeigt, daß sie dann auch für den Nachfolger gilt, also für n=2.
Da sie für n=2 gilt, gilt sie auch für den Nachfolger, also für n=3.
Da sie für n=3 gilt, gilt sie ... ... ...

LG Angela




>

> Auf Antworten würde ich mich sehr freuen.

>

> Vielen Dank


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