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| Aufgabe | Es sei eine reellwertige Folge f definiert durch: [mm] f_1:= [/mm] 1 und [mm] f_2= [/mm] 1 und für alle
n [mm] \in \IN [/mm] (ohne der 1!) [mm] f_n+1 [/mm] := [mm] f_n [/mm] + [mm] f_{n-1}
[/mm]
Weiterhin sei eine reellwertige Folge F definiert durch
F: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IR [/mm]
n -> [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] [mm] \left \left[ \left( \bruch{1 +\wurzel{5}}{2} \right) ^n - \left( \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} \right)^n \right] \right
[/mm]
Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle n [mm] \in \IN: f_n [/mm] = F(n) |
Uff, also mir ist ja klar, dass hier auch Induktion angewendet werden muss -.- aber dieses mit der Folge F verwirrt mich irgendwie *seufZ*
Mir fehlt hier irgendwie diesmal leider völlig der Durchblick -.-
Wäre euch so dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet, wie ich vorgehen soll :( auch wenn allein die Aufgabenstellung vom programmieren her furchtbar ist.
Danke schon mal...
lg Verena
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Hallo,
> Es sei eine reellwertige Folge f definiert durch: [mm]f_1:=[/mm] 1
> und [mm]f_2=[/mm] 1 und für alle
> n [mm]\in \IN[/mm] (ohne der 1!) [mm]f_n+1[/mm] := [mm]f_n[/mm] + [mm]f_{n-1}[/mm]
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> Weiterhin sei eine reellwertige Folge F definiert durch
>
> F: [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
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> n -> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}}[/mm] [mm]\left \left[ \left( \bruch{1 +\wurzel{5}}{2} \right) ^n - \left( \bruch{1 -\wurzel{5}}{2} \right)^n \right] \right[/mm]
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> Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle n [mm]\in \IN: f_n[/mm] =
> F(n)
> Uff, also mir ist ja klar, dass hier auch Induktion
> angewendet werden muss -.- aber dieses mit der Folge F
> verwirrt mich irgendwie *seufZ*
> Mir fehlt hier irgendwie diesmal leider völlig der
> Durchblick -.-
> Wäre euch so dankbar, wenn ihr mir Tipps geben könntet,
> wie ich vorgehen soll :( auch wenn allein die
> Aufgabenstellung vom programmieren her furchtbar ist.
Ich weiß zwar nicht, von welchem "Programmieren" du sprichst - aber:
Zuerst kannst du ja, wenn du Zeit hast, einfach mal n = 1 und n = 2 in deine Formel einsetzen und schauen, ob das richtige herauskommt.
Im Allgemeinen wird es aber natürlich so sein, dass die angegebene Formel schon richtig ist (Sonst wäre die Aufgabe ja mit einem Gegenbeispiel ganz schnell erledigt).
Hier geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen - die angegebene explizite Formel ist die Formel von Moivre-Binet (Siehe auch Wikipedia).
Wenn du die Formel durch Induktion beweisen sollst (wie du schon richtig erkannt hast, zumindest hast du's in dieses Forum gepostet), halte dich doch ganz einfach an die Schritte:
Induktionsanfang: Stimmt die Aussage für n = 1? F(1) = [mm] f_{1} [/mm] übeprüfen!
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage sei für alle natürlichen Zahlen kleiner (n+1) richtig.
Induktionsschritt: Nun musst du zeigen, dass die Formel dann auch für (n+1) gilt:
Beginne dazu so:
F(n+1) = Formel für n+1 hingeschrieben
Nun musst du die Potenzgesetze anwenden, um in dem Term wieder nur Potenzen von n stehen zu haben (was ich meine: [mm] a^{n+1} [/mm] = [mm] a*a^{n} [/mm] ).
Ab dann musst du darauf hinarbeiten, wo du eigentlich hinwillst:
Wenn du nämlich zeigen kannst, dass
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
gilt, kannst du deine Induktionsvoraussetzung benutzen, und dann steht da insgesamt:
F(n+1) = F(n) + F(n-1) = [mm] f_{n} [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] = [mm] f_{n+1}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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