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| Aufgabe | | [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] |
Hallo.
Die Aufgabe ist mir bis auf eine Ausnahme (rot unterstrichen) soweit klar.
Induktionsanfang: [mm] n=5:2^{5}=32>25=5^{2}
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 3n > [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 = [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
Wo kommt dieses 3n plötzlich her?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 So 14.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]2^{n}>n^{2}[/mm]
> Hallo.
> Die Aufgabe ist mir bis auf eine Ausnahme (rot
> unterstrichen) soweit klar.
>
> Induktionsanfang: [mm]n=5:2^{5}=32>25=5^{2}[/mm]
>
> Induktionsschluss:
> [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2*2^{n}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm] = [mm]n^{2}[/mm] + [mm]n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] + 3n >
> [mm]n^{2}[/mm] + 2n + 1 = [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
> Wo kommt dieses 3n plötzlich her?
Du kannst auch direkt feststellen, daß [mm] $n^2 [/mm] > 2n + 1$.
Hier soll es wohl leichter verdaulich gemacht werden.
1. [mm] $n^2 [/mm] = n*n > 3n$, weil n>3,
2. $3n = 2n +n > 2n +1$, weil n>1
ciao
Stefan
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Danke Stefan,
aber irgendwie stehe ich noch immer auf dem Schlauch.
Wäre super, wenn Du vielleicht noch eine Erklärung für "Induktions-Dummys" übrig hättest. 
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Hallo,
Blech hat es schon ziemlich gut erklärt,
ich sag jetzt nochmal das gleiche:
Du willst zeigen, daß $ [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] $ richtig ist für alle [mm] n\ge [/mm] 5.
Den Induktionsanfang hast Du gemacht, die Induktionsvoraussetzung ist:
Es gelte $ [mm] 2^{n}>n^{2} [/mm] $ für ein [mm] n\ge [/mm] 5.
Nun kommt der Induktionsschluß.
Mithilfe der Induktionsvoraussetzung ist hier zu zeigen, daß dann auch [mm] 2^{n+1}>(n+1)^{2} [/mm] richtig ist.
Beweis:
[mm] 2^{n+1}=2*2^n \ge 2*n^2 [/mm] (das ist die Ind.vor.)
= [mm] n^2+n^2.
[/mm]
Nun ist von vornherein [mm] n\ge [/mm] 5, also ist [mm] \red{n^2}=n*n\red{\ge 5*n}.
[/mm]
Somit können wir schreiben
[mm] 2^{n+1}=2*2^n \ge 2*n^2=n^2+\red{n^2\ge} n^2+\red{5n}.
[/mm]
%n ist nun doch offensichtlich größer als 3n, also gilt [mm] 5n\ge [/mm] 3n, und unsere Kette verlängert sich zu
[mm] 2^{n+1}=2*2^n \ge 2*n^2=n^2+n^2\ge n^2+5n\ge n^2+3n.
[/mm]
Der Rest dürfte eigentlich klar sein, der Vollständigkeit halber
[mm] 2^{n+1}=2*2^n \ge 2*n^2=n^2+n^2\ge n^2+5n\ge n^2+3n=n^2+2n+n\ge n^2+2n+5\ge n^2+2n+1=(n+1)^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 So 14.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank für die sehr ausführliche Erklärung.
Jetzt ist der Groschen (endlich) gefallen. 
Gruß
el_grecco
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