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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] 1*2^1 [/mm] + [mm] 2*2^2 [/mm] + [mm] 3*2^3 [/mm] + ... + [mm] n*2^n \le n*(2^{n+1}-1)
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] |
Hallo miteinander,
ich hänge mal wieder beim Induktionsschluss. :(
Ich schreibe jetzt nur mal den Schluß der Lösung auf. Ich hoffe das reicht.
-----
= [mm] n*2^{n+2}+2^{n+1}-n
[/mm]
Zu zeigen ist noch, dass dieser Ausdruck kleiner oder gleich dem Zielausdruck [mm] n*2^{n+2}+2^{n+2}-n-1 [/mm] ist. Es gilt aber:
[mm] 2^{n+2} [/mm] = [mm] 2*2^{n+1}=2^{n+1}+2^{n+1} \ge 2^{n+1}+1
[/mm]
also auch:
[mm] 2^{n+1} \le 2^{n+2}-1
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] n*2^{n+2}+2^{n+1}-n \le n*2^{n+2}+2^{n+2}-n-1
[/mm]
[mm] =n*2^{n+2}+2^{n+2}-1-n
[/mm]
---
Wo kommt [mm] \ge 2^{n+1}+1 [/mm] her?
Und wie komme ich auf [mm] 2^{n+1} \le 2^{n+2}-1?
[/mm]
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Patrick
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
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> [mm]1*2^1[/mm] + [mm]2*2^2[/mm] + [mm]3*2^3[/mm] + ... + [mm]n*2^n \le n*(2^{n+1}-1)[/mm]
>
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> Hallo miteinander,
>
> ich hänge mal wieder beim Induktionsschluss. :(
> Ich schreibe jetzt nur mal den Schluß der Lösung auf.
> Ich hoffe das reicht.
>
> -----
> = [mm]n*2^{n+2}+2^{n+1}-n[/mm]
> Zu zeigen ist noch, dass dieser Ausdruck kleiner oder
> gleich dem Zielausdruck [mm]n*2^{n+2}+2^{n+2}-n-1[/mm] ist. Es gilt
> aber:
>
> [mm]2^{n+2}[/mm] = [mm]2*2^{n+1}=2^{n+1}+2^{n+1} \ge 2^{n+1}+1[/mm]
>
> also auch:
>
> [mm]2^{n+1} \le 2^{n+2}-1[/mm]
>
> Daraus folgt:
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> [mm]n*2^{n+2}+2^{n+1}-n \le n*2^{n+2}+2^{n+2}-n-1[/mm]
>
> [mm]=n*2^{n+2}+2^{n+2}-1-n[/mm]
> ---
> Wo kommt [mm]\ge 2^{n+1}+1[/mm] her?
> Und wie komme ich auf [mm]2^{n+1} \le 2^{n+2}-1?[/mm]
Das folgt alles aus dem , was Du oben selbst geschrieben hast:
"$ [mm] 2^{n+2} [/mm] $ = $ [mm] 2\cdot{}2^{n+1}=2^{n+1}+2^{n+1} \ge 2^{n+1}+1 [/mm] $"
FRED
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
> Gruß
> Patrick
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Erstmal danke für die schnelle Antwort.
Das alles aus dem folgt was ich geschrieben habe ist mir klar. Ansonsten währe ja die Lösung falsch. :)
Woher weiß ich das [mm] 2^{n+1}+2^{n+1} [/mm] immer größer oder gleich [mm] 2^{n+1}+1 [/mm] ist?
Und woher weiß ich das [mm] 2^{n+1} \le 2^{n+2}-1 [/mm] immer zutrifft?
Ungleichungen finde ich verwirrend. Gleichungen waren da einfacher.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für die schnelle Antwort.
>
> Das alles aus dem folgt was ich geschrieben habe ist mir
> klar. Ansonsten währe ja die Lösung falsch. :)
> Woher weiß ich das [mm]2^{n+1}+2^{n+1}[/mm] immer größer oder
> gleich [mm]2^{n+1}+1[/mm] ist?
Es ist [mm] $2^{n+1} \ge [/mm] 1$ (für n in [mm] \IN). [/mm] Sind wir uns da einig ?
Nun addieren wir auf beiden Seiten dieser Ungleichung [mm] 2^{n+1} [/mm] und erhalten:
(*) [mm] $2^{n+1}+2^{n+1} \ge 2^{n+1}+ [/mm] 1$
> Und woher weiß ich das [mm]2^{n+1} \le 2^{n+2}-1[/mm] immer
> zutrifft?
Aus (*) folgt:
[mm] $2^{n+1}+ [/mm] 1 [mm] \le 2*2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{n+2}$
[/mm]
jetzt auf beiden Seiten 1 subtrahieren.
FRED
>
> Ungleichungen finde ich verwirrend. Gleichungen waren da
> einfacher.
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Ich habs. :) Danke.
Eine Frage hätte ich noch. Kann man statt [mm] 2^{n+1} \ge [/mm] 1 auch [mm] 2^{n+1} [/mm] > 1 schreiben? Natürlich nur für n [mm] \in \IN.
[/mm]
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Hallo Riddler81,
> Ich habs. :) Danke.
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> Eine Frage hätte ich noch. Kann man statt [mm]2^{n+1} \ge[/mm] 1
> auch [mm]2^{n+1}[/mm] > 1 schreiben? Natürlich nur für n [mm]\in \IN.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja sicher, sogar für $n\in\IN_0$, denn $2^{0+1}=2^1=2>1$
Und für größere n ist $2^{n+1}$ dann natürlich auch größer ... ($\left(2^{n+1\right)_{n\in\IN}$ ist ja monoton steigend)
LG
schachuzipus
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