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Ich beschäftige mich im Moment mit der induktiven Menge:
1. [mm] \emptyset \in [/mm] I
2. Für alle A [mm] \in [/mm] I, ist auch A [mm] \cup \{ A \} \in [/mm] I
Ich habe gelesen, dass damit die Menge der Natürlichen Zahlen beschrieben wird, indem man sagen kann, dass
[mm] \emptyset [/mm] =0
[mm] \{ \emptyset \} [/mm] =1
[mm] \{ \emptyset , \{\emptyset \} \} [/mm] =2
Warum darf man das sagen, warum ist zB [mm] \{ \emptyset , \{\emptyset \} \} [/mm] = 2
Danke für Antworten im Vorraus,
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo niratschi,
> Ich beschäftige mich im Moment mit der induktiven Menge:
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> 1. [mm]\emptyset \in[/mm] I
> 2. Für alle A [mm]\in[/mm] I, ist auch A [mm]\cup \{ A \} \in[/mm] I
>
> Ich habe gelesen, dass damit die Menge der Natürlichen
> Zahlen beschrieben wird, indem man sagen kann, dass
> [mm]\emptyset[/mm] =0
> [mm]\{ \emptyset \}[/mm] =1
> [mm]\{ \emptyset , \{\emptyset \} \}[/mm] =2
>
> Warum darf man das sagen, warum ist zB [mm]\{ \emptyset , \{\emptyset \} \}[/mm]
> = 2
Das darf man nicht einfach so sagen, sondern man definiert n als die Mächtigkeit (den Betrag) eines der Elemente A von I.
Dann ist diese Mengendefinition nichts anderes als die Anwendung der ![[]](/images/popup.gif) Peano-Axiome, hier ausgehend vom zweiten, dem Nachfolger-Axiom.
> Danke für Antworten im Vorraus,
> Christian
Da ist ein "r" zuviel - im voraus, heraus, daraus etc.
Vielleicht kannst Du es an anderer Stelle einmal verwenden. 
Grüße
reverend
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| Aufgabe | 1. $ [mm] \emptyset \in [/mm] $ I
2. Für alle A $ [mm] \in [/mm] $ I, ist auch A $ [mm] \cup \{ A \} \in [/mm] $ I
Geben Sie fünf verschiedene Objekte an, die in I enthalten sind. |
Erst einmal Danke für deine Antwort, daraus konnte ich schlau werden. Ich habe die oben genannte Aufgabe bekommen am Anfang der ersten Mathe VL, wo ich theoretisch noch keine Ahnung von Peano-Axiomen habe.
Ich habe bisher nur folgende Objekte I zugeordnet:
Ich definiere x' := x [mm] \cup \{ x \}
[/mm]
Edit: folgende zwei Zeilen sind falsch
[mm] \emptyset \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset \cup \{ \emptyset \} \in [/mm] I [mm] \Rightarrow\{\emptyset ,\{\emptyset\}\}\in [/mm] I
[mm] \emptyset' [/mm] = [mm] \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \}
[/mm]
Edit: Mir ist grad unter der Dusche aufgefallen, dass ich falsch gefolgert habe:
[mm] \emptyset \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset \cup \{ \emptyset \} \in [/mm] I [mm] \Rightarrow\{\emptyset\}\in [/mm] I
[mm] \emptyset' [/mm] = [mm] \{ \emptyset \}
[/mm]
[mm] \emptyset' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset'' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset''' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] ...
[mm] \Rightarrow \{ \emptyset , \emptyset ' , \emptyset '' , \emptyset ''' , \emptyset '''' ... \} \in [/mm] I
Dies sind 5 Objekte der Menge I, aber ist es ohne Kenntniss der Peano-Axiome erkennbar, dass man diese Objekte auch mit der Mächtigkeit durch
[mm] \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5... \} \in [/mm] I
ausdrücken kann? Oder reichen die oben hergeleiteten Mengen als Elemente der Funktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Do 27.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe bisher nur folgende Objekte I zugeordnet:
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> Ich definiere x' := x [mm] \cup \{ x \} [/mm]
> Edit: folgende zwei Zeilen sind falsch
>
> [mm] \emptyset \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset \cup \{ \emptyset \} \in I\Rightarrow\{\emptyset ,\{\emptyset\}\}\in [/mm] I
> [mm] \emptyset' [/mm] = [mm] \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} [/mm]
>
> Edit: Mir ist grad unter der Dusche aufgefallen, dass ich falsch gefolgert habe:
>
> [mm] \emptyset \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset \cup \{ \emptyset \} \in [/mm] I [mm] \Rightarrow\{\emptyset\}\in [/mm] I
[mm] \emptyset' [/mm] = [mm] \{ \emptyset \} [/mm]
> [mm] \emptyset' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset'' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \emptyset''' \in [/mm] I [mm] \Rightarrow [/mm] ...
Trickreich von dir! Geschickte Definition von x', so dass du ohne größere Arbeit fünf Elemente von I hinschreiben konntest! Ich könnte mir vorstellen, dass der Dozent eine explizitere Angabe der fünf Elemente sehen möchte, wie du sie für [mm] $\emptyset'$ [/mm] angegeben hast, aber das ist Spekulation...
> [mm]\Rightarrow \{ \emptyset , \emptyset ' , \emptyset '' , \emptyset ''' , \emptyset '''' ... \} \in I[/mm]
Diese Aussage stimmt nicht unbedingt. Aber [mm] $\{\emptyset , \emptyset ' , \emptyset '' , \emptyset ''' , \emptyset''''\}\subseteq [/mm] I$ könntest du schreiben.
> Dies sind 5 Objekte der Menge I,
Genau!
> aber ist es ohne Kenntniss
> der Peano-Axiome erkennbar, dass man diese Objekte auch mit
> der Mächtigkeit durch
> [mm]\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5... \} \in[/mm] I
> ausdrücken kann?
(Gleicher Fehler wie oben.) Wenn ihr die Definition der natürlichen Zahlen noch gar nicht hattet, würde ich auch nicht 0,1,2... für Elemente von $I$ schreiben.
> Oder reichen die oben hergeleiteten
> Mengen als Elemente der Funktion?
Bis auf die möglicherweise geforderte explizitere Darstellung: Ja.
Sicherheitshalber zur Klarstellung: In dieser Aufgabe kann $I$ mehr als die natürlichen Zahlen enthalten. Aber die natürlichen Zahlen sind die Mengen, von denen wir sicher wissen, dass sie in $I$ enthalten sind.
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| Aufgabe | 1. $ [mm] \emptyset \in [/mm] $ I
2. Für alle A $ [mm] \in [/mm] $ I, ist auch A $ [mm] \cup \{ A \} \in [/mm] $ I
Geben Sie fünf verschiedene Objekte an, die in I enthalten sind. In welchen Beziehungen stehen diese Objekte untereinander hinsichtlich der Inklusion [mm] \subseteq [/mm] und des Enthaltenseins [mm] \in [/mm] ? |
Hey, danke für die Antwort, echt super wie gut man das lernt wenn man sich damit beschäftigt^^. Sorry das ich jetzt nochmal mit einem Bruchstück herausrücke, aber ich wollte erstmal die Grundidee festigen.
Ich kann doch nun sagen:
[mm] \emptyset \in \emptyset' \in \emptyset'' \in \emptyset''' \in \emptyset'''' \in \emptyset'''''
[/mm]
und (Ist [mm] \emptyset [/mm] eine Menge? Ich denke zu sagen [mm] \emptyset \subseteq \emptyset' [/mm] ist falsch oder?)
[mm] \emptyset' \subseteq \emptyset'' \subseteq \emptyset''' \subseteq \emptyset'''' \subseteq \emptyset'''''
[/mm]
Nun ist im eigentlichen bei diesen Beziehungen kein Unterschied zu sehen, man kann aber bei dem Enthaltensein sagen:
[mm] \emptyset' \in \emptyset'' [/mm] und [mm] |\emptyset'|+1=|\emptyset''|
[/mm]
[mm] \emptyset'' \in \emptyset''' [/mm] und [mm] |\emptyset''|+1=|\emptyset'''|
[/mm]
Ansonsten sehe ich bei dieser Menge I keinen Unterschied in der Beziehung der Objekte hinsichtlich der Inklusion und des Enthaltensseins.
mfg,
niratschi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 28.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\emptyset \in \emptyset' \in \emptyset'' \in \emptyset''' \in \emptyset'''' \in \emptyset'''''[/mm]
Genau! Für jede Menge $x$ gilt [mm] $x\in\{x\}$ [/mm] und somit auch [mm] $x\in x\cup\{x\}=x'$.
[/mm]
> (Ist [mm]\emptyset[/mm] eine Menge? Ich denke zu sagen [mm]\emptyset \subseteq \emptyset'[/mm]
> ist falsch oder?)
[mm] $\emptyset$ [/mm] ist eine Menge, nämlich die sogenannte leere Menge, die Menge, die kein Element enthält. [mm] $\emptyset$ [/mm] ist Teilmenge jeder Menge und somit insbesondere [mm] $\emptyset\subseteq\emptyset'$.
[/mm]
> [mm]\emptyset' \subseteq \emptyset'' \subseteq \emptyset''' \subseteq \emptyset'''' \subseteq \emptyset'''''[/mm]
Ja! Für jede Menge x gilt [mm] $x\subseteq x\cup\{x\}=x'$.
[/mm]
Ich weiß nicht genau, wie ausführlich die vom Aufgabensteller erwartete Antwort sein soll. Aus diesen Teilmengenbeziehungen lassen sich weitere Teilmengenbeziehungen wie z.B. [mm] $\emptyset'\subseteq\emptyset''''$ [/mm] folgern. Auch gilt beispielsweise [mm] $\emptyset''\subseteq\emptyset''$.
[/mm]
Ähnlich lassen sich auch weitere Beziehungen hinsichtlich [mm] $\in$ [/mm] finden: Z.B. gilt wegen [mm] $\emptyset\in\emptyset'\subseteq\emptyset''''$ [/mm] auch [mm] $\emptyset\in\emptyset''''$. [/mm] Aber es gilt z.B. NICHT [mm] $\emptyset''\in\emptyset''$.
[/mm]
> Nun ist im eigentlichen bei diesen Beziehungen kein
> Unterschied zu sehen,
Außer darin, dass für alle [mm] $x\in\{\emptyset,\emptyset',\emptyset'',\emptyset''',\emptyset''''\}$ [/mm] zwar [mm] $x\subseteq [/mm] x$, aber nicht [mm] $x\in [/mm] x$ gilt.
> man kann aber bei dem Enthaltensein
> sagen:
>
> [mm]\emptyset' \in \emptyset''[/mm] und
> [mm]|\emptyset'|+1=|\emptyset''|[/mm]
> [mm]\emptyset'' \in \emptyset'''[/mm] und
> [mm]|\emptyset''|+1=|\emptyset'''|[/mm]
Ihr habt also schon mit natürlichen Zahlen gearbeitet und die Schreibweise $|x|$ für die Anzahl der Elemente einer Menge $x$ eingeführt? Dann stimmt das.
> Ansonsten sehe ich bei dieser Menge I keinen Unterschied in
> der Beziehung der Objekte hinsichtlich der Inklusion und
> des Enthaltensseins.
Für die fünf von dir angegebenen Elemente von $I$ stimmt das (bis auf [mm] $x\subseteq [/mm] x$, aber [mm] $x\not\in [/mm] x$). Für beliebige Elemente von $I$ muss das aber nicht mehr zutreffen.
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Du hast geschrieben:
"Außer darin, dass für alle $ [mm] x\in\{\emptyset,\emptyset',\emptyset'',\emptyset''',\emptyset''''\} [/mm] $ zwar $ [mm] x\subseteq [/mm] x $, aber nicht $ [mm] x\in [/mm] x $ gilt. "
Dies würde doch auch bedeuten, dass zB [mm] \emptyset''' \subseteq \emptyset
[/mm]
und laut der Definition der Inklusion wäre dann zB
[mm] \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \in \emptyset
[/mm]
Ist das nicht falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Fr 28.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Du hast geschrieben:
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> "Außer darin, dass für alle
> [mm]x\in\{\emptyset,\emptyset',\emptyset'',\emptyset''',\emptyset''''\}[/mm]
> zwar [mm]x\subseteq x [/mm], aber nicht [mm]x\in x[/mm] gilt. "
>
> Dies würde doch auch bedeuten, dass zB [mm]\emptyset''' \subseteq \emptyset[/mm]
Nein, das bedeutet es nicht. Nennen wir die Menge der fünf von dir angegebenen Elemente von $I$ mal $J$, also [mm] $J:=\{\emptyset,\emptyset',\emptyset'',\emptyset''',\emptyset''''\}$. [/mm] Dann habe ich [mm] $x\subseteq [/mm] x$ für alle [mm] $x\in [/mm] J$ behauptet (also z.B. [mm] $\emptyset'''\subseteq\emptyset'''$), [/mm] nicht etwa [mm] $x\subseteq [/mm] y$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] J$.
> und laut der Definition der Inklusion wäre dann zB
> [mm]\{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \in \emptyset[/mm]
>
> Ist das nicht falsch?
Völlig richtig begründet! Wenn alle Naturwissenschaftsstudenten immer so sauber argumentieren würden, wäre ich froh...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Fr 28.10.2011 | | Autor: | niratschi |
Hi Tobias,
Stimmt natürlich, das war mein Denkfehler, x [mm] \subseteq [/mm] x, da muss x ja das selbe Element sein.
Danke für das Opfern deiner sicherlich wertvollen Zeit
Liebe Grüße,
Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Do 27.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Christian,
> Ich beschäftige mich im Moment mit der induktiven Menge:
>
> 1. [mm]\emptyset \in[/mm] I
> 2. Für alle A [mm]\in[/mm] I, ist auch A [mm]\cup \{ A \} \in[/mm] I
Vorsicht. Es gibt mehrere induktive Mengen. Du beschäftigst dich offenbar gerade mit der kleinsten induktiven Menge. Sie kann als Menge der natürlichen Zahlen aufgefasst werden.
> Ich habe gelesen, dass damit die Menge der Natürlichen
> Zahlen beschrieben wird, indem man sagen kann, dass
> [mm]\emptyset[/mm] =0
> [mm]\{ \emptyset \}[/mm] =1
> [mm]\{ \emptyset , \{\emptyset \} \}[/mm] =2
Etwas leichter zu lesen ist möglicherweise die Schreibweise
[mm] $0:=\emptyset$
[/mm]
[mm] $1:=\{0\}$
[/mm]
[mm] $2:=\{0,1\}$
[/mm]
...
> Warum darf man das sagen, warum ist zB [mm]\{ \emptyset , \{\emptyset \} \}[/mm]
> = 2
Das ist schlichtweg eine Definition der Zahl 2! Solange noch nicht definiert ist, was die Zahl 2 eigentlich genau sein soll, hat man im Prinzip freie Wahl, wie man sie definieren möchte.
Und warum wählt man so eine merkwürdige Definition? Dahinter steht der Wunsch, die gängige Mathematik (zu der sicherlich eine Menge der natürlichen Zahlen gehört) auf eine Mengenlehre zurückzuführen. Eine natürliche Zahl soll also in jedem Fall eine Menge sein.
Vorteile dieser Definition: Man kann die Aussage $n<m$ für natürliche Zahlen $n$ und $m$ sehr einfach definieren, nämlich als [mm] $n\in [/mm] m$! Der Nachfolger einer natürlichen Zahl $n$ (aus der Schule bekannt als $n+1$) lässt sich "einfach" definieren als [mm] $n\cup\{n\}$. [/mm] Sehr trickreich gemacht also diese Definition der natürlichen Zahlen.
Viele Grüße
Tobias
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