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Forum "Topologie und Geometrie" - Induzierte Topologie
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Induzierte Topologie: Hilfe bei Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mo 09.07.2018
Autor: Stala

Aufgabe
Sei [mm] \( [/mm] Y = [mm] \mathbb{N} \cup\infty \) [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen, die um das Symbol [mm] \( \infty \) [/mm] erweitert wurde. Wir definieren den topologischen Raum [mm] (Y,\mathcal{S}) [/mm] wie folgt:
[mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm]

Setzt man [mm] \( \frac{1}{\infty} [/mm] = 0 [mm] \), [/mm] wo wird die Topologie [mm] \( \mathcal{S} \) [/mm] durch die Metrik [mm] \( [/mm] d(x,y) = [mm] \lvert \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y} \rvert \) [/mm] induziert.

Dies ist keine Übung, sondern wird in einem topolgischen Beweis verwendet. Weitere Erläuterung gibt es wegen Offensichtlichkeit nicht.

Ich verstehe nur nicht, warum diese Metrik die Topologie induziert. Nach meinem Verständnis sind alle Teilmengen A [mm] \subset [/mm] Y offen, die [mm] \( \infty \) [/mm] nicht enthalten sowie diejenigen, die [mm] \( \infty \) [/mm] enthalten, dann aber  Y [mm] \backslash [/mm] A  endlich ist, also sind insbesondere alle Einzelpunkte offen.

Wie aber soll z.B. eine offene Kugel S (2,r) = [mm] \{ x \in Y, \, | \quad \lvert \frac{1}{2} - \frac{1}{x}\rvert < r \} [/mm]   aussehen, sodass [mm] \( [/mm] S(2,r) [mm] \subset \{2 \} \)? [/mm]

Ich stehe hier etwa auf dem Schlauch, kann mir jemand da helfen?

Viele Grüße



        
Bezug
Induzierte Topologie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mo 09.07.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Stala,

> Sei [mm]\([/mm] Y = [mm]\mathbb{N} \cup\infty \)[/mm] die Menge der
> natürlichen Zahlen, die um das Symbol [mm]\( \infty \)[/mm]
> erweitert wurde. Wir definieren den topologischen Raum
> [mm](Y,\mathcal{S})[/mm] wie folgt:
>  [mm]\( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \)[/mm]
>  

die Notation ist etwas ungewöhnlich, aber gemeint ist sicher die sog. kofinite Topologie (über [mm] $\IN$). [/mm] Sie erfüllt das [mm] $T_0$ [/mm] Trennungsaxiom, ist aber kein Hausdorff-Raum, also nicht [mm] $T_2$. [/mm] Und das ist ein Problem. Denn eine wesentliche Eigenschaft der Metrisierbarkeit ist das Hausdorffsche Trennungsaxiom.


>  
> Ich verstehe nur nicht, warum diese Metrik die Topologie
> induziert.
>  

Ich auch nicht, und das tut sie auch nicht, wenn wir von der kofiniten Topologie reden da das Hausdorffsche TrennungsAxiom [mm] $T_2$ [/mm] nicht erfüllt wird. Die kofinite Topologie ist durch eine Metrik jedenfalls nicht induzierbar.

LG,
ChopSuey



Bezug
                
Bezug
Induzierte Topologie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:13 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Hallo,

vielen Dank, aber bei [mm] \mathcal{S} [/mm] soll es sich nicht um die kofinite Topologie handeln, die ist an anderer Stelle des Kurses definiert über:

[mm] \mathcal{T} [/mm] = [mm] \{ A \subset X \quad | \quad X \backslash A \quad \text{endlich} \} [/mm]
und auch als nicht metrisierbar bewiesen.

Anders herum gefragt: welche Topologie induziert denn die Metrik d(x,y) = [mm] \lvert \frac{1}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{y} \rvert [/mm] auf der Menge Y = [mm] \mathbb{N} \cup \infty [/mm]   ?

Welches sind die offenen Mengen? Vielleicht komme ich ja auf diesem Weg dahinter, wie die Topologie [mm] \mathcal{S} [/mm]   zu verstehen ist?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Di 10.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank, aber bei [mm]\mathcal{S}[/mm] soll es sich nicht um die
> kofinite Topologie handeln, die ist an anderer Stelle des
> Kurses definiert über:
>  
> [mm]\mathcal{T}[/mm] = [mm]\{ A \subset X \quad | \quad X \backslash A \quad \text{endlich} \}[/mm]
>  
> und auch als nicht metrisierbar bewiesen.
>  
> Anders herum gefragt: welche Topologie induziert denn die
> Metrik d(x,y) = [mm]\lvert \frac{1}{x}[/mm] - [mm]\frac{1}{y} \rvert[/mm] auf
> der Menge Y = [mm]\mathbb{N} \cup \infty[/mm]   ?
>  
> Welches sind die offenen Mengen? Vielleicht komme ich ja
> auf diesem Weg dahinter, wie die Topologie [mm]\mathcal{S}[/mm]   zu
> verstehen ist?
>  
> Viele Grüße


Hallo Stala,

Du hast in Deinem ersten Post geschrieben


$ [mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm] $

Was bedeutet  [mm] \rightarrow [/mm] ?

Bezug
                                
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Das sollte ein Implikationspfeil sein: [mm] \Rightarrow [/mm]

also Wenn A, dann B : A [mm] \Rightarrow [/mm] B

so wird es im Kurs zumindest verwendet.

Bezug
                                        
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 10.07.2018
Autor: fred97


> Das sollte ein Implikationspfeil sein: [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> also Wenn A, dann B : A [mm]\Rightarrow[/mm] B
>  
> so wird es im Kurs zumindest verwendet.


Wir haben also:


$ [mm] \( \mathcal{S}= \{ A \subset Y \, | \, \infty \in A \rightarrow Y \backslash A \, \, \text{endlich} \} \) [/mm] $.

Dann ist aber nur für Mengen $A [mm] \subset [/mm] Y$ mit $ [mm] \infty \in [/mm] A $ klar, ob sie zu [mm] \mathca{S} [/mm] gehören oder nicht. Ist $ Y [mm] \setminus [/mm] A$ endlich, so gehört A zu [mm] \mathcal{S}, [/mm] anderenfalls nicht.

Welche Teilmengen von [mm] \IN [/mm] gehören zu [mm] \mathcal{S} [/mm] ? Mir ist das jedenfalls nicht klar. Mit obiger Def. von [mm] \mathcal{S} [/mm] stimmt was nicht.


Bezug
                                                
Bezug
Induzierte Topologie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Di 10.07.2018
Autor: Stala

Eben dies ist für mich auch unklar.

Vielleicht finde ich an der Uni noch was raus, ansonsten bleibt der Beweis für mich unklar...

(Ziel war es zu zeigen, dass aus der Folgenbestimmtheit von (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] zu schlussfolgern, dass (X, [mm] \mathcal{T}) [/mm] Quotient eines metrisierbaren topologischen Raums ist.)

Bezug
                        
Bezug
Induzierte Topologie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:20 Di 17.07.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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