Infimum/Sup berechnen + zeigen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Menge
$ M = [mm] \{ \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} : n,m \in N \}$ [/mm] |
Wie berechne ich hier das Infimum/Supremum? Wie zeige ich es?
1.) Berechnen:
Ich hätte unterschieden zwischen
a) geradem n,
sodass 1/m + 1/n maximal wird für m,n minimal, d.h. 1+0.5 = 1.5
sodass 1/m + 1/n minimal wird für m,n maximal, d.h. es geht gegen 0.
b) ungeradem n
1/m - 1/n bei minimalem m,n = 0,
bei m maximal und n minimal gegen -1 strebt,
sodass die obere Schranke = 2 zugleich Supremum und Maximum ist.
sodass die untere Schranke -1 zugleich Infimum ist aber kein Minimum da sie nicht Teil der Menge ist.
Das sind meine Behauptungen. Wie weise ich dann nach, dass 2 wirklich die kleinste obere Schranke ist? Wie weiße ich nach, dass -1 die größte untere Schranke ist?
Ich weiß, dass ich ja annehmen kann, es gebe eine kleinere obere Schranke als 2, z.b. nennen wir sie "s" sodass s < 2. Dann muss ich zeigen dass zwischen s und 2 ein Element der Menge liegt.
Leider weiß ich wirklich nicht, wie ich das anstellen kann. Vielleicht verstehe ich auch etwas falsch; für eine ausführliche Anleitung bin ich sehr dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 20.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist eine Menge
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> [mm]M = \{ \frac{1}{m} + \frac{(-1)^n}{n} : n,m \in N \}[/mm]
>
> Wie berechne ich hier das Infimum/Supremum? Wie zeige ich
> es?
>
> 1.) Berechnen:
>
> Ich hätte unterschieden zwischen
> a) geradem n,
>
> sodass 1/m + 1/n maximal wird für m,n minimal, d.h. 1+0.5
> = 1.5
> sodass 1/m + 1/n minimal wird für m,n maximal, d.h. es
> geht gegen 0.
>
> b) ungeradem n
>
> 1/m - 1/n bei minimalem m,n = 0,
> bei m maximal und n minimal gegen -1 strebt,
Das ist alles sehr "wischi-waschi" !!!
>
> sodass die obere Schranke = 2 zugleich Supremum und Maximum
> ist.
Das stimmt nicht . Es ist sup(M)=max(M)=3/2
> sodass die untere Schranke -1 zugleich Infimum ist aber
> kein Minimum da sie nicht Teil der Menge ist.
>
> Das sind meine Behauptungen. Wie weise ich dann nach, dass
> 2 wirklich die kleinste obere Schranke ist? Wie weiße ich
> nach, dass -1 die größte untere Schranke ist?
>
> Ich weiß, dass ich ja annehmen kann, es gebe eine kleinere
> obere Schranke als 2, z.b. nennen wir sie "s" sodass s < 2.
> Dann muss ich zeigen dass zwischen s und 2 ein Element der
> Menge liegt.
>
> Leider weiß ich wirklich nicht, wie ich das anstellen
> kann. Vielleicht verstehe ich auch etwas falsch; für eine
> ausführliche Anleitung bin ich sehr dankbar.
>
>
Für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] ist
(*) -1 [mm] \le \bruch{(-1)^n}{n} \le \bruch{(-1)^n}{n}+ \bruch{1}{m} \le [/mm] 1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{n} \le 1+\bruch{1}{2}
[/mm]
Begründe noch, warum -1 [mm] \le \bruch{(-1)^n}{n} \le \bruch{1}{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Aus (*) folgt, dass 3/2 eine obere Schranke von M ist und dass -1 eine untere Schranke von M ist.
Mit m=1 und n=2 sieht man: 3/2 [mm] \in [/mm] M. Somit: sup(M)=max(M)=3/2.
Sei a irgendeine untere Schranke von M, also
a [mm] \le \bruch{(-1)^n}{n}+ \bruch{1}{m} [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN.
[/mm]
Mit n=1 folgt:
a [mm] \le [/mm] -1+ [mm] \bruch{1}{m} [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Jetzt begründe Du, dass sich daraus a [mm] \le [/mm] -1 ergibt.
Begründe weiter, dass dann inf(M)=-1 ist.
Zeige weiter: -1 [mm] \notin [/mm] M.
M hat also kein Minimum.
FRED
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