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| Aufgabe | f (x,y) = [mm] e^{x^2+y^2} [/mm] * [mm] (x-2y)^2
[/mm]
Bestimme inf f(E) und sup f(E) für die Einheitskreisscheibe E= {(x,y) | [mm] x^2+y^2=1}. [/mm] |
Meine Lösung: E ist abgeschlossen+begrenzt-> kompakte Teilmenge. Nach dem Satz von Weierstraß nimmt f (als stetige Funktion) ein glob. Min und ein glob. Max an
-> inf f (E) = min f(E)
sup analog.
Jetzt würde ich diese Stellen berechnen, indem ich partiell differenziere, grad bestimmen (grad f = (0,0) und dann die Hesse Matrix betrachte.
In der Lösung wird hier allerdings auf Polarkoordinaten umgerechnet und mit dieses gerechnet. Ist das erforderlich? Wenn ja, wieso?
Welche Hinweise gibt es, dass ich mit Polarkoordinaten rechnen muss? (wg. Einheitskreisscheibe?) Wären meine Lösungsgedanken auch ein möglicher Weg? Besten Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 So 13.12.2009 | | Autor: | abakus |
> f (x,y) = [mm]e^{x^2+y^2}[/mm] * [mm](x-2y)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bestimme inf f(E) und sup f(E) für die
> Einheitskreisscheibe E= {(x,y) | [mm]x^2+y^2=1}.[/mm]
> Meine Lösung: E ist abgeschlossen+begrenzt-> kompakte
> Teilmenge. Nach dem Satz von Weierstraß nimmt f (als
> stetige Funktion) ein glob. Min und ein glob. Max an
>
> -> inf f (E) = min f(E)
> sup analog.
>
> Jetzt würde ich diese Stellen berechnen, indem ich
> partiell differenziere, grad bestimmen (grad f = (0,0) und
> dann die Hesse Matrix betrachte.
Vielleicht müsst ihr das ja so machen, ich halte es für völlig übertrieben.
Da [mm] x^2+y^2=1 [/mm] gelten soll, ist [mm] e^{x^2+y^2} [/mm] schlicht und ergreifend [mm] e^1=e [/mm] und damit ein konstanter Faktor, der auf Min oder Max keinen Einfluss hat.
[mm] (x-2y)^2 [/mm] ist [mm] x^2-4xy+4y^2=x^+y^2+3y^2-4xy=1+3y^2-4xy.
[/mm]
Das ist maximal/minimal, wenn [mm] 3y^2-4xy [/mm] maximal/minmal ist.
> In der Lösung wird hier allerdings auf Polarkoordinaten
> umgerechnet und mit dieses gerechnet. Ist das erforderlich?
Es vereinfacht die Rechnung, wenn man ein wenig "Additionstheoreme kann".
Ansonsten hilft auch die Substitution [mm] x=\pm\wurzel{1-y^2}
[/mm]
Gruß Abakus
> Wenn ja, wieso?
> Welche Hinweise gibt es, dass ich mit Polarkoordinaten
> rechnen muss? (wg. Einheitskreisscheibe?) Wären meine
> Lösungsgedanken auch ein möglicher Weg? Besten Dank.
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> > f (x,y) = [mm]e^{x^2+y^2}[/mm] * [mm](x-2y)^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
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> > Bestimme inf f(E) und sup f(E) für die
> > Einheitskreisscheibe E= {(x,y) | [mm]x^2+y^2=1}.[/mm]
> > Meine Lösung: E ist abgeschlossen+begrenzt-> kompakte
> > Teilmenge. Nach dem Satz von Weierstraß nimmt f (als
> > stetige Funktion) ein glob. Min und ein glob. Max an
> >
> > -> inf f (E) = min f(E)
> > sup analog.
> >
> > Jetzt würde ich diese Stellen berechnen, indem ich
> > partiell differenziere, grad bestimmen (grad f = (0,0) und
> > dann die Hesse Matrix betrachte.
> Vielleicht müsst ihr das ja so machen, ich halte es für
> völlig übertrieben.
Ich auch! Ich habe hier zwei Seiten Lösung vor mir und bin kurz davor, zu verzweifeln! Ich brauche diese Aufgaben für eine Klausur und weiß eben nicht, was wichtig ist und was nicht (eben wg. dieser "tollen" Musterlösung).
Wir müssen die Aufgaben nur lösen, wie ist egal.
> Da [mm]x^2+y^2=1[/mm] gelten soll, ist [mm]e^{x^2+y^2}[/mm] schlicht und
> ergreifend [mm]e^1=e[/mm] und damit ein konstanter Faktor, der auf
> Min oder Max keinen Einfluss hat.
> [mm](x-2y)^2[/mm] ist [mm]x^2-4xy+4y^2=x^+y^2+3y^2-4xy=1+3y^2-4xy.[/mm]
> Das ist maximal/minimal, wenn [mm]3y^2-4xy[/mm] maximal/minmal
> ist.
>
> > In der Lösung wird hier allerdings auf Polarkoordinaten
> > umgerechnet und mit dieses gerechnet. Ist das erforderlich?
> Es vereinfacht die Rechnung, wenn man ein wenig
> "Additionstheoreme kann".
> Ansonsten hilft auch die Substitution [mm]x=\pm\wurzel{1-y^2}[/mm]
Das heißt, das du diese "Nebenbedingung" nach x auflöst und wie verfahre ich dann weiter? Setze ich das jetzt in f ein und rechne dann nach Schema die krit. Punkte aus?
Kann ich diese Aufgabe trotzdem so bearbeiten, dass ich sage nach dem Satz von Weierstraß.....
Und dann schlichtweg diese Extremstellen berechne? Ist das ausreichend und angemessen?
> Gruß Abakus
> > Wenn ja, wieso?
> > Welche Hinweise gibt es, dass ich mit Polarkoordinaten
> > rechnen muss? (wg. Einheitskreisscheibe?) Wären meine
> > Lösungsgedanken auch ein möglicher Weg? Besten Dank.
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Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich verzweifle....
DANKE!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 13.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist f [mm] \ge [/mm] 0 und f(0,0) = 0
Also ist inf f (E) = min f(E) = ?
FRED
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=...=0. Ich habe also bei 0 inf (E) = min (E).
Richtig?
Wie kommst du auf die Bedingung f [mm] \ge [/mm] 0? Wegen dem Quadrat in der Potenz?
Darf ich das immer so machen?
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Hallo pippilangstrumpf,
> =...=0. Ich habe also bei 0 inf (E) = min (E).
>
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kommst du auf die Bedingung f [mm]\ge[/mm] 0? Wegen dem Quadrat
> in der Potenz?
f ist ein Produkt aus zwei Teilfunktionen, die größer gleich 0 sind: [mm] e^{z} [/mm] ist größer 0 für alle [mm] z\in \IR, [/mm] und ein Quadrat [mm] z^{2} [/mm] ist ebenfalls größer als 0 für alle [mm] z\in \IR.
[/mm]
> Darf ich das immer so machen?
Wenn es geht, also du eine solche Aussage $f [mm] \ge [/mm] 0$ für die Funktion treffen kannst, darfst du es immer so machen.
Grüße,
Stefan
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