Infimum und Supremum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] M=\bigcap_{n=1}^{\infty}[0,\bruch{1}{n})
[/mm]
Berechnen Sie ohne formalen Beweis Infimum und Supremum. Entscheiden Sie außerdem, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt. |
1. Ich verstehe das große Schnittmengenzeichen nicht ganz. Von was wird hier die Schnittmenge genommen? Gibt es hier überhaupt eine Schnittmenge oder handelt es sich hierbei um eine leere Menge?
2. Das Infimum ist meiner Meinung nach 0, genau wie das Minimum.
3. Ein Maximum gibt es meiner Meinung nach nicht. Beim Supremum bin ich mir nicht sicher. Da das Intervall rechtsseitig ist und der Bruch gegen 0 konvergiert, je größer n, müsste das Supremum doch ebenfalls 0 sein, oder nicht? Dürfen Supremum und Infimum denn denselben Wert annehmen?
4. Würde sich etwas an dem Ergebnis ändern, wenn das Intervall rechts geschlossen wäre? [mm] Also:[0,\bruch{1}{n}]
[/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=530859
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Hiho,
> 1. Ich verstehe das große Schnittmengenzeichen nicht ganz. Von was wird hier die Schnittmenge genommen?
Von den hinter dem Schnittzeichen stehenden Mengen.
In diesem Fall ist es also
$ [mm] M=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n [/mm] $ mit [mm] $A_n [/mm] = [mm] [0,\bruch{1}{n})$
[/mm]
> Gibt es hier überhaupt eine Schnittmenge
Ja.
> 2. Das Infimum ist meiner Meinung nach 0, genau wie das Minimum.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 3. Ein Maximum gibt es meiner Meinung nach nicht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Beim Supremum bin ich mir nicht sicher. Da das Intervall
> rechtsseitig ist und der Bruch gegen 0 konvergiert, je
> größer n, müsste das Supremum doch ebenfalls 0 sein,
> Dürfen Supremum und Infimum denn denselben Wert annehmen?
Natürlich. Was bedeutet das für die Menge M?
> 4. Würde sich etwas an dem Ergebnis ändern, wenn das
> Intervall rechts geschlossen wäre? [mm]Also:[0,\bruch{1}{n}][/mm]
Mach dir doch erstmal klar, welche Elemente alle in dem Schnitt drin sind.
Gruß,
Gono.
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Danke schon mal!
Dann bedeutet das doch, dass die einzige Schnittmenge 0 ist (unabhängig von dem Bruch, da der ja eh ausgeschlossen ist aus dem Intervall und gegen 0 geht)
Dann exsistiert ebenfalls ein Maximum, nämlich 0.
Die Menge M ist also genau 0.
Ist das richtig?
Wenn dann das Intervall geschlossen wäre, dürfte sich das Ergebnis eigentlich nicht ändern, denn es gibt doch, wenn man den Bruch mal seperat betrachtet, keine Schnittmenge, die in allen unendlichen Mengen enthalten wäre, oder irre ich mich da? Denn der Bruch wird doch immer kleiner, und somit haben zwar einzelne Mengen eine Schnittmenge, aber niemals die Gesamtheit aller unendlichen Mengen.
Grüße
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