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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
um das bestimmen von einem Supremum und einem Infimum auch in einer anderen Variation zu üben, habe ich mir dieses Beispiel rausgesucht:
{ x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x^2 [/mm] + 3x + 2 [mm] \le [/mm] -1 -x }
leider weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen soll, da ich mit dieser Mengendarstellung noch kein Infimimum und Supremum bestimmt habe...Ich war ja leider wie gesagt bei den Vorlesungen zu diesem Thema im Krankenhaus und habe leider auch keinerlei Unterlagen:-(
Ich würde zu allererst die Ungleichung umformen zu:
[mm] x^2 [/mm] +4x + 3 [mm] \le [/mm] 0 Das bedeutet ja, das x eine reele Zahl ist, desser Definitionsbereich die Funktionswerte dieser Funktion sind mit f(x) [mm] \le [/mm] 0
richtig?
Infimum:
kann man sagen das das Infimum bei =0 liegt? wegen [mm] f(x)\le [/mm] 0
oder bin ich jetzt auf dem Irrweg?
Supremum:
Die Funktion ist ja an den Rändern nicht begrenzt und daher doch eigentlich unendlich oder? und eine überabzählbare Menge hat doch eigentlich kein Supremum bzw. eine obere Schranke oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> um das bestimmen von einem Supremum und einem Infimum auch
> in einer anderen Variation zu üben, habe ich mir dieses
> Beispiel rausgesucht:
> { x [mm]\in \IR[/mm] | [mm]x^2[/mm] + 3x + 2 [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
-1 -x }
> leider weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen soll,
> da ich mit dieser Mengendarstellung noch kein Infimimum und
> Supremum bestimmt habe...Ich war ja leider wie gesagt bei
> den Vorlesungen zu diesem Thema im Krankenhaus und habe
> leider auch keinerlei Unterlagen:-(
> Ich würde zu allererst die Ungleichung umformen zu:
> [mm]x^2[/mm] +4x + 3 [mm]\le[/mm] 0 Das bedeutet ja, das x eine reele Zahl
> ist, desser Definitionsbereich die Funktionswerte dieser
> Funktion sind mit f(x) [mm]\le[/mm] 0
> richtig?
> Infimum:
> kann man sagen das das Infimum bei =0 liegt? wegen [mm]f(x)\le[/mm]
> 0
> oder bin ich jetzt auf dem Irrweg?
Mach dir mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das gesuchte Intervall habe ich rot eingefärbt.
>
> Supremum:
> Die Funktion ist ja an den Rändern nicht begrenzt und
> daher doch eigentlich unendlich oder? und eine
> überabzählbare Menge hat doch eigentlich kein Supremum
> bzw. eine obere Schranke oder?
Oh doch, hier gibt es eine Schranke in beide Richtungen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay.
dann habe ich die Schnittstellen der beiden Funktion berechnet. Diese liegen bei -3 und -1 das sind dann die die beiden Ränder. und wegen f(-3) > f(-1) liegt das Supremum bei -3 richtig?
und das Infimum ist der TP der Funktion, da dieser ja im Definitionsbereich liegt..oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay.
> dann habe ich die Schnittstellen der beiden Funktion
> berechnet. Diese liegen bei -3 und -1 das sind dann die die
> beiden Ränder. und wegen f(-3) > f(-1) liegt das Supremum
> bei -3 richtig?
Nein, das Intervall ist hier I:=[-3;-1]
> und das Infimum ist der TP der Funktion, da dieser ja im
> Definitionsbereich liegt..oder?
Nein, im Intervall I:=[-3;-1] gilt [mm] x^{2}+3x+2\le-1-x.
[/mm]
Daher sind x=-3 und x=-1 die "Ränder" der gesuchten Menge.
MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ja, aber da die Funktion quatratisch ist und einen Tiefpunkt hat, der zugleich auch das globale Maximum ist sind die beiden Ränder ja auch zugleich die oberen Grenzen. bzz. nur x=-3 da f(-3)>f(-1)
daher ist doch das Supremum bei f(-3) oder? bzw warum ist das falsch?
Infimum:
Wieso ist das Infimum denn nicht der Tiefpunkt der Funktion? Dieser Tiefpunkt liegt doch im Intervall..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 17.11.2013 | | Autor: | abakus |
> ja, aber da die Funktion quatratisch ist und einen
> Tiefpunkt hat, der zugleich auch das globale Maximum ist
> sind die beiden Ränder ja auch zugleich die oberen
> Grenzen. bzz. nur x=-3 da f(-3)>f(-1)
> daher ist doch das Supremum bei f(-3) oder? bzw warum ist
> das falsch?
>
> Infimum:
> Wieso ist das Infimum denn nicht der Tiefpunkt der
> Funktion? Dieser Tiefpunkt liegt doch im Intervall..
Hallo,
lies deine Aufgabenstellung aus dem Eröffnungspost noch einmal genau durch.
Es wird eine Menge von x-Werten (!) definiert. Wie du dann herausgefunden hast, sind das alle Zahlen x von -3 bis -1.
Das Minimum dieser Menge ist der kleinste x-Wert dieser Menge, und das ist -3.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
dann liegt das Supremum also bei -1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> dann liegt das Supremum also bei -1?
Ja, das ist in der Tat das Maximum.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke. würde in einer Klausur als Begründung die Berechnung der Schnittstellen als Randpunkt zur Bestimmung von Infimum und Supremum ausreichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> okay danke. würde in einer Klausur als Begründung die
> Berechnung der Schnittstellen als Randpunkt zur Bestimmung
> von Infimum und Supremum ausreichen?
Es gibt genau zwei Schnitstellen der Funktion, also hast du drei Intervalle, nämlich [mm] I_{1}:=]-\infty;-3[ I_{2}:=[-3;-1] [/mm] und [mm] I_{3}:=]-1;\infty[
[/mm]
Nun musst du noch etwas darüber aussagen, in welchem der Intervalle die Forderung gilt.
Dazu solltest du ein wenig über die Funktionen aussagen. Sicherlich hilft es zu wissen, dass die Parabel x²+3x+2 nach oben offen ist, und was daraus dann für das Intervall zwischen den Schnittstellen der Parabel mit einer Geraden zwangsläufig gelten muss.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 17.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
also das das [mm] I_2 [/mm] das gesuchte Intervall ist, ist ja denkbar, da es zwischen den Schnittstellen liegt..
und das die Parabel nach unten offen ist (da die Funktion quadratisch ist) ist sie gleichzeitig auch stetig. Daher sind -3 und -1 lokale Maximas..würde das reichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 17.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> also das das [mm]I_2[/mm] das gesuchte Intervall ist, ist ja
> denkbar, da es zwischen den Schnittstellen liegt..
> und das die Parabel nach unten offen ist (da die Funktion
> quadratisch ist) ist sie gleichzeitig auch stetig. Daher
> sind -3 und -1 lokale Maximas..würde das reichen?
Das wäre etwas umständlich, aber ok.
Einfacher wäre es über den Scheitelpukt zu argumentieren.
Wenn du eine Sekante bei einer nach oben geöffneten Parabel hast, muss die y-Koordinate des Scheitelpunktes kleiner sein, als die y-Koordinaten der Schnittpunkte, da der Scheitelpunkt der tiefste Punkt des Graphens ist.
Marius
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