Infimum von Summanden < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Guten Tag
Ich löse eine Aufgabe und bin mir an einem gewissen Punkt nicht sicher, ob diese Ungleichung stimmt. Ich habe eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)$, [/mm] die positiv ist. Nun betrachte ich die Summe, für $n$ eine natürliche Zahl
[mm] $\sum_{k=n}^\infty \alpha_k f_k$
[/mm]
für [mm] $1\ge \alpha_k\ge [/mm] 0$ so dass [mm] $\sum_{k=n}^\infty \alpha_k [/mm] =1$ und nur endlich viele der [mm] $\alpha_k$'s [/mm] sind ungleich null. Ich weiss zusätzlich, dass [mm] $f_n\le g_n$ [/mm] für alle $n$. Gilt nun folgende Ungleichung?
[mm] $\sum_{k=n}\alpha_k f_k\le \inf_{k\ge n}g_k$?
[/mm]
Natürlich kann ich wie folgt abschätzen: [mm] \sum_{k=n}\alpha_k f_k\le \sum_{k=n}^\infty \alpha_kg_k$
[/mm]
Nun möchte ich ja am liebsten jedes [mm] $g_k$ [/mm] durch [mm] $\inf_{k\ge n} g_k$ [/mm] abschätzen und verwenden, dass [mm] $\sum_k \alpha_k [/mm] =1$. Ich bin mir aber nicht sicher, ob der Übergnag zu [mm] $\inf_{k\ge n}g_k$ [/mm] die Ungleichung erhält? Wenn ja wieso?
Ich danke euch für die Hilfe.
Liebe Grüsse
marianne88
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag
>
> Ich löse eine Aufgabe und bin mir an einem gewissen Punkt
> nicht sicher, ob diese Ungleichung stimmt. Ich habe eine
> Funktionenfolge [mm](f_n)[/mm], die positiv ist. Nun betrachte ich
> die Summe, für [mm]n[/mm] eine natürliche Zahl
>
> [mm]\sum_{k=n}^\infty \alpha_k f_k[/mm]
>
> für [mm]1\ge \alpha_k\ge 0[/mm] so dass [mm]\sum_{k=n}^\infty \alpha_k =1[/mm]
> und nur endlich viele der [mm]\alpha_k[/mm]'s sind ungleich null.
> Ich weiss zusätzlich, dass [mm]f_n\le g_n[/mm] für alle [mm]n[/mm]. Gilt
> nun folgende Ungleichung?
>
> [mm]\sum_{k=n}\alpha_k f_k\le \inf_{k\ge n}g_k[/mm]?
>
> Natürlich kann ich wie folgt abschätzen:
> [mm]\sum_{k=n}\alpha_k f_k\le \sum_{k=n}^\infty \alpha_kg_k$[/mm]
>
> Nun möchte ich ja am liebsten jedes [mm]g_k[/mm] durch [mm]\inf_{k\ge n} g_k[/mm]
> abschätzen und verwenden, dass [mm]\sum_k \alpha_k =1[/mm]. Ich bin
> mir aber nicht sicher, ob der Übergnag zu [mm]\inf_{k\ge n}g_k[/mm]
> die Ungleichung erhält?
Das ist nicht der Fall.
Nimm mal n=1 , [mm] \alpha_1=1, \alpha_k=0 [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] g_1=f_1 [/mm] und [mm] g_k [/mm] irgendwie für k [mm] \ge [/mm] 2.
Wenn nun
$ [mm] \sum_{k=n}\alpha_k f_k\le \inf_{k\ge n}g_k [/mm] $
gelten würde , so wäre
(*) [mm] f_1 \le \inf_{k\ge 1}g_k.
[/mm]
Wähle nun [mm] g_k [/mm] für k [mm] \ge [/mm] 2 geeignet, so dass (*) falsch ist.
FRED
> Wenn ja wieso?
>
> Ich danke euch für die Hilfe.
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne88
|
|
|
|
