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Forum "Integralrechnung" - Infinitesimalrechnung
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Infinitesimalrechnung: Verständnis-Schwierigkeiten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mo 10.03.2008
Autor: BellaDonna

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich "muss" mich derzeit mit der Infinitesimalrechnung auseinandersetzen und habe noch nicht genau den Unterschied zwischen dem Newton-Verfahren und dem, was Leibniz erfunden hat verstanden. Könnte mir das jemand detailliert, aber EINFACH erklären?

Das Newton-Verfahren verstehe ich so:
Um die Nullstellen einer Funktion (Gleichung) zu bestimmen, die nichtlinear ist, benutzt man das Newton-Verfahren, in dem man einen Startwert schätzt, welcher der möglichen Nullstelle sehr nahe kommt. Für diesen Startwert berechnet man die Tangente an den Graphen der Funktion, die Lösung der Tangentengleichung stellt die erste Näherung da. Dieses Näherungsverfahren wird so so oft wiederholt, bis man der Nullstelle ganz nah ist. (wann auch immer das ist!?) Dazu gibt es auch eine Formel, die ich mir aber jetzt hier spare. :-)

Könnte mir das jemand von Leibniz genauso einfach erklären und mir sagen wo    a) der Unterschied ist  und was    b) besser ist?
Gibt es eine Homepage mit Rechenbeispielen? Oder hat jemand Lust mir welche zu geben?

Das wäre toll!

Danke für die hoffentlich schnelle Hilfe!

BellaDonna




        
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Infinitesimalrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mo 10.03.2008
Autor: Teufel

Hallo!

Da sich hier keiner meldet: Bin ich vielleicht nicht der einzige, der kein Leibniz-Verfahren kennt?
Beschreib es mal so, vielleicht kenne ich es nur unter einem anderen Namen! Aber googlen nach "Leibniz Nullstelle" hilft mir auch nicht wirklich weiter...

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Infinitesimalrechnung: Wikipedia sagt...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mo 10.03.2008
Autor: BellaDonna

"In den Jahren 1672 bis 1676 entwickelte Leibniz während eines Parisaufenthaltes die Grundlagen der Infinitesimalrechnung. Diese baute er in den folgenden Jahren weiter aus. Der englische Naturwissenschaftler Sir Isaac Newton, als dessen wichtigster Gegenspieler Leibniz gilt, hatte sein Prinzip der Infinitesimalrechnung bereits 1666 entwickelt, jedoch nicht veröffentlicht. Leibniz veröffentlichte sein System 1684, woraufhin Newton 1687 folgte, doch setzte sich das Leibnizsche Zeichensystem durch. Leibniz wurde später von Anhängern Newtons angegriffen, er habe die Ideen von Newton aus einem Briefwechsel der beiden von 1676 gestohlen."


... sagt Wiki. ;-) Wenn ich genau wüsste was er da gemacht hätte, würde ich hier nicht fragen.. :-)

Schaut vielleicht auch noch mal hier, vielleicht versteht ihr es ja:

http://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalrechnung

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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Mo 10.03.2008
Autor: Teufel

Achso ;) naja, aber das heißt nicht, dass Leibniz gleich ein Verfahren zur Berechnung von Nullstellen entwickelt hat!

Viel mehr geht es denk ich mal um die Schreibweisen von Ableitungen etc., aber mit der Geschichte können dir dann sicher andere besser helfen :)

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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:25 Mo 10.03.2008
Autor: Bastiane

Hallo BellaDonna!

> Ich "muss" mich derzeit mit der Infinitesimalrechnung
> auseinandersetzen und habe noch nicht genau den Unterschied
> zwischen dem Newton-Verfahren und dem, was Leibniz erfunden
> hat verstanden. Könnte mir das jemand detailliert, aber
> EINFACH erklären?

Also ich fürchte, damit kann dir wirklich keiner helfen (aber vllt irre ich mich ja auch...). Wie kommst du denn darauf, dass Leibniz auch ein Verfahren zur Nullstellenberechnung erfunden hat? Und was genau sollst du denn machen, in welcher Hinsicht sollst du dich damit beschäftigen, und was musst du machen? Hast du vielleicht eine konkrete Aufgabe oder so? Oder wenigstens ein exaktes Thema?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Mo 10.03.2008
Autor: BellaDonna

Nein, da hab ich mich wohl falsch ausgedrückt. Leibniz hat nichts zur Nullstellenbestimmung erfunden, aber etwas zum Bestimmen des Flächeninhaltes zwischen x-Achse und Graphen, Integralrechnung also.

Wenn ich das jetzt mittlerweile richtig verstanden habe, haben nicht beide etwas ähnliches erfunden, sondern etwas erfunden, was das selbe Ziel hat: den Flächeninhalt zwischen x-Achse und Graphen bestimmen. :-D Oder?

Eine konkrete Aufgabenstellung habe ich nicht, ich schreibe nämlich eine Facharbeit zum Thema "Prioritätsstreit Newton/Leibniz", aber da muss ich natürlich auch die mathematischen Aspekte mit hineinbringen und wissen, wo drum die beiden sich gekloppt haben. :-)

Was genau ist denn dann die Infinitesimalrechnung (nochmal für Dumme bitte)?

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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:56 Mo 10.03.2008
Autor: Bastiane

Hallo BellaDonna!

> Wenn ich das jetzt mittlerweile richtig verstanden habe,
> haben nicht beide etwas ähnliches erfunden, sondern etwas
> erfunden, was das selbe Ziel hat: den Flächeninhalt
> zwischen x-Achse und Graphen bestimmen. :-D Oder?

Naja, also je nachdem braucht man da die Nullstellen schon, das stimmt, aber ich würde trotzdem nicht sagen, dass das das Gleiche Ziel ist, denn Nullstellenberechnung braucht man auch für andere Sachen...
  

> Eine konkrete Aufgabenstellung habe ich nicht, ich schreibe
> nämlich eine Facharbeit zum Thema "Prioritätsstreit
> Newton/Leibniz", aber da muss ich natürlich auch die
> mathematischen Aspekte mit hineinbringen und wissen, wo
> drum die beiden sich gekloppt haben. :-)

Oje - na dann viel Spaß...
  

> Was genau ist denn dann die Infinitesimalrechnung (nochmal
> für Dumme bitte)?

Laut Wikipedia: "Die Infinitesimalrechnung ist eine von Leibniz und Newton unabhängig voneinander entwickelte Technik, um Differential- und Integralrechnung zu betreiben."
Also in Kurzform würde ich sagen, sie haben beide die Differential- und die Integralrechnung erfunden...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Infinitesimalrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Mo 10.03.2008
Autor: rainerS

Hallo BellaDonna!

Erstmal herzlich [willkommenmr]

> Ich "muss" mich derzeit mit der Infinitesimalrechnung
> auseinandersetzen und habe noch nicht genau den Unterschied
> zwischen dem Newton-Verfahren und dem, was Leibniz erfunden
> hat verstanden. Könnte mir das jemand detailliert, aber
> EINFACH erklären?
>  
> Das Newton-Verfahren verstehe ich so:
>  Um die Nullstellen einer Funktion (Gleichung) zu
> bestimmen, die nichtlinear ist, benutzt man das
> Newton-Verfahren, in dem man einen Startwert schätzt,
> welcher der möglichen Nullstelle sehr nahe kommt. Für
> diesen Startwert berechnet man die Tangente an den Graphen
> der Funktion, die Lösung der Tangentengleichung stellt die
> erste Näherung da. Dieses Näherungsverfahren wird so so oft
> wiederholt, bis man der Nullstelle ganz nah ist. (wann auch
> immer das ist!?) Dazu gibt es auch eine Formel, die ich mir
> aber jetzt hier spare. :-)

Das ist richtig, aber das ist nicht, worum es hier geht. (Es geht auch nicht um Butterkekse ;-))

Newton und Leibniz entwickelten die Idee der Infinitesimalrechnung zur gleichen Zeit und unabhängig voneinander. Sie  hatten eine unterschiedliche Art des Herangehens und verschiedene Notation.

Leibniz war Philosoph; er betrachtete Kurven als Grenzfall von immer kleiner werdenden Strecken (was man heute Polygonzug nennt). Für ihn war die Steigung der Tangente der Grenzfall der Sekanten, also immer kleiner werdenden Steigungsdreiecken. Von Leibniz stammt auch die Notation

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und [mm] \integral dx[/mm]

Newton war eher der Naturwissenschaftler: für ihn waren Kurven das Resultat einer stetigen Bewegung eines Punktes. Er lässt das Zeitintervall immer kleiner werden und kommt so zur Ableitung. Von Newton stammt die Notation [mm] $\dot{y}$ [/mm] für die zeitliche Ableitung, die in der Physik gebräuchlich ist.

Vielleicht hilft dir das weiter.

Viele Grüße
   Rainer

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Infinitesimalrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mo 10.03.2008
Autor: BellaDonna


>  
> Das ist richtig, aber das ist nicht, worum es hier geht.


Okay - dann nochmal, was ist denn dann die Infinitesimalrechnung? :D Oh jee.

Ist das, was ich da zum Newton-Verfahren beschrieben habe, falsch? Hat das gar nichts mit der Infinitesimalrechnung zu tun? Ich dachte doch. :(



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Infinitesimalrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Mo 10.03.2008
Autor: rainerS

Hallo BellaDonna!

>
> >  

> > Das ist richtig, aber das ist nicht, worum es hier geht.
>
>
> Okay - dann nochmal, was ist denn dann die
> Infinitesimalrechnung? :D Oh jee.

Infinitesimalrechnung = Differentialrechnung + Integralrechnung

Heute würde man sagen: die Grundlage der Analysis.

Newton und Leibniz haben unabhängig voneinander die Ableitung und die Integrale erfunden. Im Prioritätsstreit ging es dann nicht mehr um die Sache, sondern nur noch darum, wer Recht hatte.

Der Name kommt daher, dass Newton und Leibniz von unendlich kleinen Zahlen sprachen, das sind Zahlen, die größer als Null, aber kleiner als jede andere Zahl sind.

Heutzutage macht man das nicht mehr so, sondern benutzt Grenzwerte stattdessen.

Schau auch mal []hier.

> Ist das, was ich da zum Newton-Verfahren beschrieben habe,
> falsch? Hat das gar nichts mit der Infinitesimalrechnung zu
> tun? Ich dachte doch. :(

Doch, das ist eine Anwendung, die Newton als Erster []beschrieben hat.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Mo 10.03.2008
Autor: BellaDonna

Ahaaa! :-) Jetzt hab ich's verstanden.

D.h., dass Newton und Leibniz nicht etwas erfunden haben mit dem selben Ziel, sondern zu dem selben spezifischen Thema, also Infinitesimalrechnung.

Also: Newton-Verfahren s.o.    Nullstellenbestimmung bei nichtlinearen Gleichungen

Leibniz' Methode: Flächeninhalt unter einem Graphen mithilfe von unendlichvielen kleinen Rechtecken bestimmen.


Leibniz, der Fuchs, hat aber die Verbindung zw. Differential- und Integralrechnung hergestellt, dank des Hauptsatzes der D.- & I.-rechnung. Richtig?



Jetzt verstehe ich, als Blondine, zwar nicht, wie man sich darum kloppen konnte und wie da behauptet werden konnte, der eine hätte vom anderen abgeguckt (denn außer der [infinit] Unendlichkeitsgeschichte ist da nichts ähnlich, oder??)....

Bezug
                                        
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Infinitesimalrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Mo 10.03.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Ahaaa! :-) Jetzt hab ich's verstanden.
>  
> D.h., dass Newton und Leibniz nicht etwas erfunden haben
> mit dem selben Ziel, sondern zu dem selben spezifischen
> Thema, also Infinitesimalrechnung.

Hmmm, bin mir nicht sicher, ob wir dasselbe meinen. Sie haben beide die Differential- und Integralrechnung erfunden.

Newton wollte eher die Bewegung von (zum Beispiel) Himmelskörpern beschreiben, und mit dieser neuen Rechenmethode konnte er sein Gravitationsgesetz aus den Beobachtungen herleiten.

Leibniz sah das wohl mehr von der mathematischen als von der naturwissenschaftlichen Seite.

> Also: Newton-Verfahren s.o.    Nullstellenbestimmung bei
> nichtlinearen Gleichungen

Nein, das kam nebenbei als eine spezielle Anwendung heraus.

>  
> Leibniz' Methode: Flächeninhalt unter einem Graphen
> mithilfe von unendlichvielen kleinen Rechtecken bestimmen.

Ja, während Newton eher aus der Geschwindigkeit eines Körpers durch Integration die zurückgelegte Strecke bestimmt hat.

> Leibniz, der Fuchs, hat aber die Verbindung zw.
> Differential- und Integralrechnung hergestellt, dank des
> Hauptsatzes der D.- & I.-rechnung. Richtig?

Das waren wieder beide, aber eben mit unterschiedlichem Schwerpunkt.

> Jetzt verstehe ich, als Blondine, zwar nicht, wie man sich
> darum kloppen konnte und wie da behauptet werden konnte,
> der eine hätte vom anderen abgeguckt (denn außer der
> [infinit] Unendlichkeitsgeschichte ist da nichts ähnlich,
> oder??)....

Oh doch. Natürlich haben sie nicht genau das Gleiche gemacht, aber die Mathematik ist eigentlich dieselbe. Wahrscheinlich war die Zeit einfach reif; einige Leute vorher hatten die Grundlagen gelegt, und diese beiden konnten daraus den entscheidenden Schritt machen. Leibniz hat seine Ergebnisse früher veröffentlicht, aber Newton hatte schon vorher dran gearbeitet. Tatsache ist, dass die beiden sich gegenseitig Briefe geschrieben haben.

Es sieht so aus, als hätte Newton den Streit vom Zaun gebrochen, aber warum, ist nicht klar. Vielleicht ging's um Geld? Genützt hat es nicht viel: nach seinem Tod waren es französische und deutsche Mathematiker, die die Forschungen fortführten.

Ich habe noch eine Quelle gefunden: eine []Seminararbeit über den Streit (in Englisch).

Viele Grüße
   Rainer

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