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| Aufgabe | | Siehe Upload, Erklärung von Beispiel 1 würde mich interessieren damit ich versuchen kann alleine Aufgaben 2 zu bewältigen |
Hallo zusammen, ich gehe zurzeit in die 12. Klasse eines Wirtschaftsgymnasiums wo ich mein Abitur mache.
Jetzt haben wir allerdings ein Thema womit ich gar nicht klar komme, ich verstehe noch nichtmal den Sinn dieser Aufgabe. Aber ich schreibe was ich denn alles weiß (auf Beispiel 1 bezogen)
m(x0;h)= ist die Steigung der Funktionen zwischen den Punkten (x0:f(x0)) und (x0+h;f(x0+h)). Die Steigung berecht man wie folgt:
m(x0;h)=f(x0+h)-f(x0)/h
Um Aufgabe eins zu bewältigen fange ich mit
=> m(x0;h)= m(x0;h)=f(x0+h)-f(x0)/h
an. Danach werden die 2 f's entfernt und stattdessen werden 2 ²'s addiert sodass es so aussieht:
=(x0+h²)-x0²/h
anschließend wird dann mithilfe der ersten Binomischen Formel der erste Teil ausgeklammert sodass man dieses Ergebnis bekommt:
=x0²+2x0h+h²-x0²/h
Desweiteren wird das x0² gekürzt sodass
2x0h+h²/h
rauskommt. Danach wird das ² von h weggenommen (was ich überhaupt nicht verstehe) und stattdessen
=h*(2xß+h)/h
schreibt man dies hier. Die 2 h's außerhalb der Klammer werden gekürzt sodass am Ende
=2x0+h rauskommt.
Bitte beachtet dass alle Nullen die ich geschrieben habe tiefergestellt werden müssen.
Und am Ende steht auf dem Blatt:
"Nach der Durchführund des Grenzübergangs lim h->0 verbleibt:
f'(x0)=lim h->0 f(x0+h)-f(x0)/h=2x0
Ich bin echt am verzweifeln weil ich das überhaupt nicht kapiere... hoffentlich könnt ihr mir helfen!
Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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> Siehe Upload, Erklärung von Beispiel 1 würde mich
> interessieren damit ich versuchen kann alleine Aufgaben 2
> zu bewältigen
> Hallo zusammen, ich gehe zurzeit in die 12. Klasse eines
> Wirtschaftsgymnasiums wo ich mein Abitur mache.
> Jetzt haben wir allerdings ein Thema womit ich gar nicht
> klar komme, ich verstehe noch nichtmal den Sinn dieser
> Aufgabe. Aber ich schreibe was ich denn alles weiß (auf
> Beispiel 1 bezogen)
Der Sinn ist es die Steigung in einem Punkt zu berechnen.
> [mm] m(x_0;h)= [/mm] ist die Steigung der Funktionen zwischen den
> Punkten [mm] (x_0:f(x_0)) [/mm] und [mm] (x_0+h;f(x_0+h)). [/mm] Die Steigung berecht
> man wie folgt:
>
> [mm] m(x_0;h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm]
genau
Ist dir dies anschaulich klar?
(Steigungsdreieck?)
> Um Aufgabe eins zu bewältigen fange ich mit
>
> => [mm] m(x_0;h)= m(x_0;h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm]
>
> an. Danach werden die 2 f's entfernt und stattdessen werden
> 2 ²'s addiert sodass es so aussieht:
Naja, "entfernt"...
In diesem Beispiel wird die Funktion $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] behandelt.
Deshalb wird hier einfach f angewand, es ändert sich also nichts und es wird nichts addiert oder so.
> [mm] =\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}
[/mm]
>
> anschließend wird dann mithilfe der ersten Binomischen
> Formel der erste Teil ausgeklammert sodass man dieses
> Ergebnis bekommt:
>
> [mm] =\frac{x_0^1+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}
[/mm]
>
> Desweiteren wird das x0² gekürzt sodass
>
> [mm] \frac{2x_0h+h^2}{h} [/mm]
>
> rauskommt. Danach wird das ² von h weggenommen (was ich
> überhaupt nicht verstehe) und stattdessen
>
> [mm] =\frac{h*(2x_0+h)}{h}
[/mm]
Hier wird ein h ausgeklammert.
Es ist ja [mm] $h^2 [/mm] = h*h$
Ist dir Ausklammern ein Begriff?
An sonsten kannst du ja mal versuchen das auszumultiplizieren und vielleicht wird dann ersichtlich, wieso das wirklich das selbe ist.
> schreibt man dies hier. Die 2 h's außerhalb der Klammer
> werden gekürzt sodass am Ende
>
> [mm] =2x_0+h [/mm] rauskommt.
>
> Bitte beachtet dass alle Nullen die ich geschrieben habe
> tiefergestellt werden müssen.
jupp ^^
> Und am Ende steht auf dem Blatt:
>
> "Nach der Durchführund des Grenzübergangs [mm] $\limes_{h \rightarrow 0} [/mm]
> verbleibt:
> [mm] f'(x_0)=\limes_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=2x_0
[/mm]
Bei diesem ach so tollen "Grenzübergang" wird einfach überall wo ein h steht eine 0 eingesetzt.
Es ist ja die Steigung im Punkt [mm] x_0 [/mm] gesucht.
Allerdings berechnet [mm] m(x_0;h) [/mm] die Steigung zwischen den beiden Punkten [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h.
[/mm]
Damit hier die Steigung wirklich im Punkt [mm] x_0 [/mm] berechnet wird muss das h also unendlich klein werden; darum also gleich 0.
Die Rechnung wurde durchgeführt, um den Bruch aufzulösen.
Hätte man von Anfang an mit h=0 gerechnet so hätte man durch 0 geteilt, was ja verboten ist.
Setzt man es allerdings nach der Umformung ein ergibt sich:
[mm] 2x_0 [/mm] + h = [mm] 2x_0 [/mm] + 0 = [mm] 2x_0
[/mm]
Damit hat man die Steigung im Punkt [mm] x_0 [/mm] berechnet, diese ist also [mm] 2x_0.
[/mm]
So hat also zum Beispiel f(x) = [mm] x^2 [/mm] im Punkt x=1 die Steigung 2*1 = 2, im Punkt x=2 die Steigung 2*2 = 4, etc.
> Ich bin echt am verzweifeln weil ich das überhaupt nicht
> kapiere... hoffentlich könnt ihr mir helfen!
>
> Danke im Vorraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich hoffe mal es wurde etwas verständlicher.
MfG
Schadowmaster
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| Aufgabe | | Aufgabe: Bestimmen Sie die Steigungen der Funktion für [mm] x_0 [/mm] = -5 bis [mm] x_0 [/mm] = 5. |
hey, danke erstmal für deine schnelle antwort! ich kann aufgabe 1 jetzt eigentlich nachvollziehen aber bei der 2. aufgabe tu ich mich schwer.
auf dem blatt steht folgendes als erstes:
f(x)=x³ => [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] x_0 [/mm] ³ ; [mm] f(x_0+h)=(x_0+h) [/mm] ³
das verstehe ich, es ist im grunde wie bei beispiel eins nur dass man statt x² x³ nimmt und das folgende ändert sich dann dementsprechend (eigentlich wurde oben statt den ²'en nur ³'en eingesetzt).
nun kommt [mm] =>m(x_0;h)= f(x_0+h)-f(x_0)/h
[/mm]
es wird dann f angewendet wie du in der antwort gestern geschrieben hast sodass dann folgendes rauskommt
[mm] =(x_0+h) [/mm] ³ [mm] -x_0 [/mm] ³/h
dann wird eine binomische formel benutzt, sodass, laut blatt folgendes rauskommt:
[mm] =x_0 [/mm] ³ [mm] +3x_0 [/mm] ²h+3x_0h ²+h ³ [mm] -x_0 [/mm] ³ /h
was ich allerdings nicht verstehe, im beispiel 1 konnte ich alles in diesem punkt nachvollziehen aber das [mm] 3x_0 [/mm] ²h+3x_0h ² verstehe ich nicht
anschließend werden die [mm] x_0 [/mm] ³ gekürzt sodass
[mm] =3x_0 [/mm] ²h+3x_0h ²+h ³/h rauskommt. dann wird wie du gestern erwähnt hast ein h ausgeklammert sodass ganz am ende
[mm] =3x_0 [/mm] ²+3x_0h+h ² rauskommt.
alles was ich geschrieben habe steht auf dem blatt, ich kann den meisten teil dank deiner antwort nachvollziehen. ich weiß aber leider bei aufgabe 2 nicht weiter. soll ich einen grenzübergang mit dem limes wie bei aufgabe eins durchführen oder wie und wenn ja dann wieder für h eine 0 einsetzen? leider unterscheidet sich aufgabe 1 und aufgabe 2 sehr sodass ich nicht weiter weiß. was ist z.b. mit der rechnung am ende? muss man einfach dann für [mm] x_0 [/mm] -5 einsetzen?
danke schonmal im vorraus, habe das formelsystem probiert hoffentlich funktionierts und es wird alles korrekt dargestellt.
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> Aufgabe: Bestimmen Sie die Steigungen der Funktion für
> [mm]x_0[/mm] = -5 bis [mm]x_0[/mm] = 5.
> hey, danke erstmal für deine schnelle antwort! ich kann
> aufgabe 1 jetzt eigentlich nachvollziehen aber bei der 2.
> aufgabe tu ich mich schwer.
>
> auf dem blatt steht folgendes als erstes:
>
> f(x)=x³ => [mm]f(x_0)[/mm] = [mm]x_0³[/mm] ; [mm]f(x_0+h)=(x_0+h)³[/mm]
>
> das verstehe ich, es ist im grunde wie bei beispiel eins
> nur dass man statt x² x³ nimmt und das folgende ändert
> sich dann dementsprechend (eigentlich wurde oben statt den
> ²'en nur ³'en eingesetzt).
>
> nun kommt [mm]=>m(x_0;h)= f(x_0+h)-f(x_0)/h[/mm]
>
> es wird dann f angewendet wie du in der antwort gestern
> geschrieben hast sodass dann folgendes rauskommt
>
> [mm]=(x_0+h)³-x_0³/h[/mm]
>
> dann wird eine binomische formel benutzt, sodass, laut
> blatt folgendes rauskommt:
>
> [mm]=x_0^3+3x_0^2h+3x_0h^2+h^3-x_0^3/h[/mm]
>
> was ich allerdings nicht verstehe, im beispiel 1 konnte ich
> alles in diesem punkt nachvollziehen aber das
> [mm]3x_0^2h+3x_0h^2[/mm] verstehe ich nicht
Da wird [mm] (x_0+h)^3 [/mm] ausmultipliziert.
[mm] (x_0+h)^3 [/mm] = [mm] (x_0+h)*(x_0+h)*(x_0+h)
[/mm]
Die beiden mittleren Terme kommen eben raus, wenn man das ganze ausmultipliziert.
> anschließend werden die [mm]x_0^3[/mm] gekürzt sodass
>
> [mm]=3x_0^2h+3x_0h^2+h^3/h[/mm] rauskommt. dann wird wie du gestern
> erwähnt hast ein hausgeklammert sodass ganz am ende
>
> [mm]=3x_0^2+3x_0h+h^2[/mm] rauskommt.
>
> alles was ich geschrieben habe steht auf dem blatt, ich
> kann den meisten teil dank deiner antwort nachvollziehen.
> ich weiß aber leider bei aufgabe 2 nicht weiter. soll ich
> einen grenzübergang mit dem limes wie bei aufgabe eins
> durchführen oder wie und wenn ja kommt dann wieder für h
> eine 0 einsetzen? leider unterscheidet sich aufgabe 1 und
> aufgabe 2 sehr sodass ich nicht weiter weiß. was ist z.b.
> mit der rechnung am ende? muss einfach dann für [mm]x_0[/mm] -5
> einsetzen?
Zu aller erst machst du wieder den Grenzübergang, du setzt also für h eine 0 ein und erhälst dann [mm] $3x_0^2$.
[/mm]
Und dann kannst du [mm] x_0 [/mm] = -5 einsetzen, ja, ich bin aber nicht ganz sicher ob das da so gemeint ist.
>
> danke schonmal im vorraus, habe das formelsystem probiert
> hoffentlich funktionierts und es wird alles korrekt
> dargestellt.
jo, sieht schon hübsch aus.
Nur schreib bitte ^2 statt ², die kleine ² wird nicht angezeigt.
Mfg
Schadowmaster
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nochmals danke für die schnelle antwort^^ wie du bereits erwähnt hast wurden einige aufgaben aufgrund des ² nicht korrekt angezeigt, habe mittlerweile alles korrigiert.
könntest du aber bitte detailiert schreiben wie genau du auf [mm] 3x_0^2 [/mm] gekommen bist? wäre super!
danke & gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Sa 10.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{2}
[/mm]
Das kann man durch ausmultiplizieren oder mit dem Binomischen Lehrsatz bekommen.
Dazu noch ![[]](/images/popup.gif) dieser Link.
Marius
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