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| Aufgabe | fk(x) = (x - k + 2) / (x² - k)
Aufgabe: Bestimmen sie sowohl Nullstellen, Asymptote als auch Extrema der Funktion. Skizzieren sie anschließend für k = 1. (f1(x)) |
Liebes Matheraum-Team,
einige Lösungen habe ich bereits erarbeitet:
Nullstellen: fk(x) = 0, x = k - 2
Asymptote: (x - k + 2) / (x² - k) --> 1/x als Asymptote
Mein Problem sind nun die Extrema. Ich erhalte nach Anwendung der Quotientenregel für den Zähler -x² + 2kx - k -2x, wenn ich dies jedoch gleich 0 setze erhalte ich kein Ergebnis für x, das nicht abhängig von x ist.
Ist meine Schlussfolgerung nun, dass es keine Extrema gibt, oder löse ich einfach falsch auf?
Freue mich auf eure Hilfe,
Grüße Fackelschein.
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Hallo fackelschein,
> fk(x) = (x - k + 2) / (x² - k)
>
> Aufgabe: Bestimmen sie sowohl Nullstellen, Asymptote als
> auch Extrema der Funktion. Skizzieren sie anschließend
> für k = 1. (f1(x))
> Liebes Matheraum-Team,
>
> einige Lösungen habe ich bereits erarbeitet:
> Nullstellen: fk(x) = 0, x = k - 2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Asymptote: (x - k + 2) / (x² - k) --> 1/x als Asymptote
Für [mm] $x\to\infty$ [/mm] geht [mm] $f_k(x)$ [/mm] gegen 0, es ist also die x-Achse waagerechte Asymtote.
Wie sieht es mit senkrechten Asymptoten (Polstellen) aus?
>
> Mein Problem sind nun die Extrema. Ich erhalte nach
> Anwendung der Quotientenregel für den Zähler -x² + 2kx - k -2x
Da erhalte ich am Ende [mm] $-\red{4}x$
[/mm]
> , wenn ich dies jedoch gleich 0 setze erhalte ich kein
> Ergebnis für x, das nicht abhängig von x ist.
?? Was meinst du ??
Rechne mal vor, das ist doch eine quadratische Gleichung in x ...
>
> Ist meine Schlussfolgerung nun, dass es keine Extrema gibt,
> oder löse ich einfach falsch auf?
Dazu müsste man deine Rechnung sehen ...
>
> Freue mich auf eure Hilfe,
> Grüße Fackelschein.
>
Gruß
schachuzipus
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Tatsache, es ist 0 = -x² + 2kx - k - 4x, dankeschön!
Weiterbringen tut mich dies jedoch nicht, oder? Wie löse ich denn an dieser Stelle nach x auf, um meine Extremstellen zu erhalten?
0 = -x² + 2kx - k - 4x || -2kx || +k
k(-2x+1) = -x² - 4x || :(-2x+1)
k = (-x²-4x)/(-2x+1) <-- Viele Fragezeichen in meinem Kopf, denn ich brauche ja eigentlich die Definition für x.
Polstellen wären [mm] +\wurzel{k} [/mm] und [mm] -\wurzel{k}
[/mm]
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Moin Fackelschein,
> Tatsache, es ist 0 = -x² + 2kx - k - 4x, dankeschön!
> Weiterbringen tut mich dies jedoch nicht, oder? Wie löse
> ich denn an dieser Stelle nach x auf, um meine
> Extremstellen zu erhalten?
>
> 0 = -x² + 2kx - k - 4x || -2kx || +k
[mm] 0=-x^2+2kx-k-4x [/mm] |*(-1)
[mm] 0=x^2-2kx+k+4x=x^2+(4-2k)x+k [/mm] (*)
Löse (*) mittels der p/q-Formel. Du hast ja richtig bemerkt, dass du x ermitteln möchtest und nicht k.
> k(-2x+1) = -x² - 4x || :(-2x+1)
> k = (-x²-4x)/(-2x+1) <-- Viele Fragezeichen in meinem
> Kopf, denn ich brauche ja eigentlich die Definition für
> x.
>
> Polstellen wären [mm]+\wurzel{k}[/mm] und [mm]-\wurzel{k}[/mm]
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Danke, der Schritt um b zu erhalten ist mir irgendwie nicht aufgefallen.
Meine pq-Formel:
x1/2 = -(4x-2kx)/2 [mm] +-\wurzel{((4x-2kx)/2)²-k}
[/mm]
Lösung: x1 = -2((4x-2kx)/2) x2 = [mm] \wurzel{-k} [/mm] <-- Ungültig.
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Hier mal die pq-Formel:
$ [mm] x_{1,2}=-p/2\pm\sqrt{(p/2)^2-q} [/mm] $
> Danke, der Schritt um b zu erhalten ist mir irgendwie nicht
> aufgefallen.
b?
> Meine pq-Formel:
Ohja, in der tat deine.
>
> x1/2 = -(4x-2kx)/2 [mm]+-\wurzel{((4x-2kx)/2)²-k}[/mm]
Was macht denn das x noch hier drin?
Rechne [mm] x_{1,2}=-p/2\pm\sqrt{(p/2)^2-q} [/mm] konkret aus.
Es ist [mm] x_{1,2}=-2+k\pm\sqrt{...}
[/mm]
>
> Lösung: x1 = -2((4x-2kx)/2) x2 = [mm]\wurzel{-k}[/mm] <--
> Ungültig.
P.S. Nutze bitte den Formeleditor. Die Drittbelegung der 2-Taste, also das hoch zwei, wird hier z.B. gar nicht angezeigt. Das macht sich äußerst ungünstig für dich und für uns.
Du hast dich ja nun hier schon ein bisschen eingelebt, versuch es einfach mal.
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