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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Ridvo |
| Aufgabe | Schätzen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall (a;b) mithilfe der Ober- und Untersumme [mm] O_8 [/mm] und [mm] U_8 [/mm] ab.
[mm] a)f_(x)=0,25x^2+2; [/mm] a=0/b=4 |
Hey du,
danke erstmal dafür, dass du dir das Problem anschaust.
Ich hoffe du kannst mir bei der Aufgabe weiterhelfen.
Also ich erklär einfach mal meinen Vorgehensschritte:
1) Ich hab die Formel [mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] benutzt, um das 'Teilintervall' zu berechnen.
'Teilintervall' = [mm] \bruch{4-0}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
d.h
2) [mm] O_8= \bruch{1}{2} [(0,25(\bruch{1}{2})^2+2 [/mm] + 0,25 2( [mm] \bruch{1}{2})^2+2)+0,25 [/mm] 3( [mm] \bruch{1}{2})^2+2)...+0,25 [/mm] 8( [mm] \bruch{1}{2})^2+2) [/mm] ]
Ok und nun klammere ich 0,25 [mm] (\bruch{1}{2})^2 [/mm] + 2 aus und habe:
[mm] O_8= \bruch{1}{2} (0,25(\bruch{1}{2}^2)+2 [/mm] [ [mm] 1^2+2^2+3^2+...+8^2]
[/mm]
Laut der Summenformel für Potenzen( [mm] 1^2+2^2+3^2+...n^2) [/mm] kann ich auch schreiben :
[mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)
[/mm]
d.h.
[mm] O_8=\bruch{1}{6}*8(8+1)(8*2+1)
[/mm]
= [mm] \bruch{8}{6} [/mm] *(9)(17)
= [mm] \bruch{8}{6} [/mm] * [mm] \bruch{153}{1} [/mm]
Frage: Ist das nun das Teilergebnis?
Was ist denn mit : [mm] O_8= \bruch{1}{2} (0,25(\bruch{1}{2}^2)+2) [/mm] aus den Zeilen davor ?
Verfällt es nach der Summenformel für Potenzen?
Frage: Da [mm] U_8 [/mm] das gleiche ist muss ich dementsprechend nicht weiterrechnen oder doch?
Und wenn ja wie? Wäre super, wenn du mir es vorrechnen könntest.
Ich weiß auch nicht wie ich das nun mit Limes machen soll...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = ???
Ich bin die sehr dankbar!
LG Ridvo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> [mm]O_8= \bruch{1}{2} [(0,25(\bruch{1}{2})^2+2[/mm] + 0,25 2( [mm]\bruch{1}{2})^2+2)+0,25[/mm] 3( [mm]\bruch{1}{2})^2+2)...+0,25[/mm] 8( [mm]\bruch{1}{2})^2+2)[/mm] ]
das geht so nicht. Die Faktoren müssen in die Klammer zu 1/2 mit hinein, also so
[mm]O_8= \bruch{1}{2} (0,25(\bruch{1}{2})^2+2 + 0,25 (2 * \bruch{1}{2})^2+2+0,25 (3 * \bruch{1}{2})^2+2+ \ldots +0,25 (8 * \bruch{1}{2})^2+2)[/mm]
> Ok und nun klammere ich 0,25 [mm](\bruch{1}{2})^2[/mm] + 2 aus und
> habe:
Ich glaube du verwechselst hier die Vorgehensweise mit der im allgemeinen Fall. Du brauchst weder ausklammern noch Summenformeln. Tipp den Term in den Taschenrechner und schreib das Ergebnis hin.
So einfach ist das 
Die Untersumme berechnet sich übrigens genauso. Nur, daß du die Stellen nicht von 1 bis 8 sondern von 0 bis 7 laufen läßt. Die Funktion ist nämlich streng monoton steigend über dem fraglichen Intervall.
Damit OK?
Gruß,
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Ridvo |
hey koepper, danke.
ok also habe ich es mir wieder einmal schwer gemacht als es in wirklichkeit ist.
Nur verstehe ich nicht, weshalb ich bei der Untersumme von 0 bis 7 gehen muss.....!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 03.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
skizzier dir die Funktion mal in ein Koordinatensystem und zeichne die Untersumme ein. Da der Graph str. mon. steigend ist, liegen die Funktionswerte an den linken Kanten der Rechtecke unter den Funktionswerten an den rechten Kanten. Das erste Rechteck ist also genau 2 hoch. Seine Höhe ist der Funktionswert bei 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Mi 03.10.2007 | | Autor: | Ridvo |
Ahhh also habs mir gerade gedanklich vorgestellt und hab es verstanden.
Kann man denn eigentlich nicht immer sagen, dass sie genau eine zahl weniger ist als die Obersumme, bei der wir von 0 bis 8 haben!?
Die Untersumme geht ja von 0-7.
Schönen Abend noch
Ridvo
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