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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 09.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Guten Tag, ich habe ein paar Aufgaben in Mathe. Ich bin mir bei den Lösungen nicht sicher und bei anderen komm ich gar nicht darauf. Kann mir jemand vielleicht helfen?
Also:Gesucht sind die Inhalte der abgebildeten Flächen.
1a.) f(x) = [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
g(x) = [mm] x^2
[/mm]
Meine Lösung: Schnittpunkte bei P(1/1) und Q(-1/1)
Dann habe ich integriert: F(1) - F(-1) = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
1b.) f(x) = 1 - [mm] x^3
[/mm]
g(x) = [mm] x^2 [/mm] - 1
Die Schnittpunkte mit der X-Achse von g(x) habe ich erst errechnet: P(1/0) und Q(-1/0).
P ist schon der eine Schnittpunkt, bei der anderen Nullstelle wird eine senkrechte Gerade hochgezogen zu f(x).
Den Schnittpunkt mit dieser Geraden ist H(-1/2).
Und jetzt weiß ich nicht richtig weiter.
1c.) f(x) = 2 - [mm] x^2
[/mm]
g(x) = -2x - [mm] x^2
[/mm]
s(x) = x
Ich habe jetzt die jeweiligen Schnittpunkte errechnet und an relevanten Schnittpunkte raus: C(-1/1), G(0/0), D(1/1)
Und an dieser Stelle komme ich wieder nicht weiter.
Und ich habe noch ein andere Aufgabe:
2.) Wie muss a [mm] \ge [/mm] 0 gewählt werden, damit die rote Fläche den Inhalt [mm] \bruch{1}{8} [/mm] hat?
f(x) = x
g(x) = a * [mm] x^3
[/mm]
Ich habe zuerst wieder die Schnittpunkte errechnet.
G(0/0), [mm] H(\bruch{-1}{\wurzel{a}}/y) [/mm] , [mm] J(\bruch{1}{\wurzel{a}}/y)
[/mm]
So, jetzt komm ich nicht weiter.
Ich wäre sehr glücklich über eine Antwort.
Vielen Dank schon mal. LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 09.10.2008 | | Autor: | maddhe |
hi! 1a) ist richtig
nun erstmal was allgemeines: Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen [mm]f, g[/mm] rechnest du aus, indem du die schnittpunkte berechnest und dann von einem zum nächsten integrierst über die Differenzfunktion [mm]f-g[/mm] der beiden Funktionen
bei der 1b) hast du beide Grenzen des Integrals: -1 bis 1 (wobei -1 hier anscheinend nicht durch einen schnittpunkt von f und g festgelegt ist).
zu lösen ist also [mm] \int_{-1}^1(1-x^3-x^2+1)dx.
[/mm]
1c) von -1 bis 0 liegt die fläche zwischen f und g, also [mm] A_1=\int_{-1}^0(-x^2+2+2x+x^2)dx [/mm] ist zu lösen
von 0 bis 1 ist die fläche zwischen f und s, also [mm] A_2=\int_0^1(-x^2+2-x)dx [/mm] ist zu lösen und [mm] A=A_1+A_2
[/mm]
2) Da beide Funktionen Punktsymmetrisch zu (0/0) sind, reicht es, sich eine der Beiden Flächenstücke anzugucken, nehmen wir das rechte. Dies soll dann [mm] \frac [/mm] {1}{16} groß sein.
zu lösen ist also [mm] \int_0^{\frac 1{\sqrt a}}(x-ax^3)dx=\frac{1}{16}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 15.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
So, ich habe die Aufgaben mit den Tipps jetzt noch einmal weiter gerechnet und bin auch zu Ergebnissen gekommen.
Vielleicht können die noch einmal auf Richtigkeit geprüft werden? Ich bin noch nicht so sicher in dem Thema und habe manchmal den Eindruck gehabt, mich vielleicht verrechnet zu haben. Vielen Dank schon mal.
1b.) Stammfunktionen : F(x) = x ¼ [mm] x^4
[/mm]
G(x) = 1/3 [mm] x^3 [/mm] x
( 2x 1/3 [mm] x^3 [/mm] [mm] 1/4x^4)
[/mm]
F(1)-F(-1) = 10/3
1c.) Stammfunktionen : A2 = [mm] (-1/3x^3 [/mm] + 2x ½ [mm] x^2)
[/mm]
F(1)-F(0) = 7/6
A1 = [mm] (-1/3x^3 [/mm] + 2x + [mm] x^2 [/mm] + 1/3 [mm] x^3)
[/mm]
F(0)-F(-1) = 1
A1+A2 = 2,1666
2.) Stammfunktion : (½ [mm] x^2 [/mm] 1/4 [mm] ax^4)
[/mm]
F(1/wurzel(a)) = ¼ a^-1
a^-1 = ¼
a = 4
Ist a dann auf jeden Fall 4, auch wenn man sich die untere Fläche nicht angesehen hat?
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Hallo sunny9,
schade, dass du uns die gesuchten Flächen nicht gezeigt hast. Dann wäre die Überprüfung viel einfacher gewesen...
> So, ich habe die Aufgaben mit den Tipps jetzt noch einmal
> weiter gerechnet und bin auch zu Ergebnissen gekommen.
> Vielleicht können die noch einmal auf Richtigkeit geprüft
> werden? Ich bin noch nicht so sicher in dem Thema und habe
> manchmal den Eindruck gehabt, mich vielleicht verrechnet zu
> haben. Vielen Dank schon mal.
>
> 1b.) Stammfunktionen : F(x) = x ¼ [mm]x^4[/mm]
> G(x) = 1/3 [mm]x^3[/mm] x
> ( 2x 1/3 [mm]x^3[/mm]
> [mm]1/4x^4)[/mm]
> F(1)-F(-1) = 10/3
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> 1c.) Stammfunktionen : A2 = [mm](-1/3x^3[/mm] + 2x ½ [mm]x^2)[/mm]
> F(1)-F(0) = 7/6
> A1 = [mm](-1/3x^3[/mm] + 2x +
> [mm]x^2[/mm] + 1/3 [mm]x^3)[/mm]
> F(0)-F(-1) = 1
> A1+A2 = 2,1666
ist wohl auch richtig, aber rechne besser mit Brüchen statt mit gerundeten Zahlen!
Als LK-ler solltest du auch deine Schreibweise sorgfältiger wählen. F wäre die Stammfunktion von f, nicht von der Differenzfunktion!
$f(x) = x$
g(x) = [mm] a*x^3 [/mm]
Ich habe zuerst wieder die Schnittpunkte errechnet.
G(0/0), $ [mm] H(\bruch{-1}{\wurzel{a}}/y) [/mm] $ , $ [mm] J(\bruch{1}{\wurzel{a}}/y) [/mm] $
>
> 2.) Stammfunktion : (½ [mm]x^2[/mm] 1/4 [mm]ax^4)[/mm]
> F(1/wurzel(a)) = ¼ a^-1
>
> a^-1 = ¼
> a = 4
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ist a dann auf jeden Fall 4, auch wenn man sich die untere
> Fläche nicht angesehen hat?
nein, du musst die beiden Flächen entweder getrennt betrachten - oder ausnutzen, dass beide Funktionen punktsymmetrisch sind, also die ganze Figur punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
[mm] A=2*|\integral_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{a}}}{f(x)-g(x)}|
[/mm]
[mm] A=2*|\left[\bruch{1}{2}x^2-\bruch{a}{4}x^4\right]_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{a}}}|
[/mm]
Jetzt ist verlangt, dass [mm] A=\bruch{1}{8} [/mm] ist.
Rechne also selbst weiter; ich erhalte [mm] a=\pm2.
[/mm]
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 22.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Hallo,
also schon mal vielen Dank für die gute Hilfe. Ich habe die erste Aufgabe nun hinbekommen.
Nur bei der zweiten habe ich doch nochmal eine Frage.
Also, ich habe also dieses errechnet:
$ [mm] A=2\cdot{}|\left[\bruch{1}{2}x^2-\bruch{a}{4}x^4\right]_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{a}}}| [/mm] $
also, im Prinzip erstmal [mm] D(\bruch{1}{\wurzel{a}}) [/mm] - D(0), wobei D für die Stammfunktion der Differenzfunktion steht.
Ich habe [mm] \bruch{1}{4a} [/mm] raus.
Dies habe ich nun * 2 genommen und mit dem [mm] \bruch{1}{8} [/mm] gleichgesetzt. Also:
[mm] \bruch{1}{2a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] alles *a
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{a}{8} [/mm] alles [mm] /\bruch{1}{8}
[/mm]
Dann erhalte ich a = 4.
Dies ist ja nun so eher nicht richtig. Unter dem letzten Tipp steht, dass $ [mm] a=\pm2. [/mm] $ ist.
Aber wo liegt bloß mein Fehler?
Naja, aber sonst vielen Dank schon mal
Herzliche Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
> also schon mal vielen Dank für die gute Hilfe. Ich habe
> die erste Aufgabe nun hinbekommen.
> Nur bei der zweiten habe ich doch nochmal eine Frage.
> Also, ich habe also dieses errechnet:
>
> [mm]A=2\cdot{}|\left[\bruch{1}{2}x^2-\bruch{a}{4}x^4\right]_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{a}}}|[/mm]
>
> also, im Prinzip erstmal [mm]D(\bruch{1}{\wurzel{a}})[/mm] - D(0),
> wobei D für die Stammfunktion der Differenzfunktion steht.
> Ich habe [mm]\bruch{1}{4a}[/mm] raus.
[mm] 2\cdot{}\left|\left[\bruch{1}{2}x^2-\bruch{a}{4}x^4\right]_{0}^{\bruch{1}{\wurzel{a}}}\right|=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{\wurzel{a}}\right)^{2}-\bruch{a}{4}*\left(\bruch{1}{\wurzel{a}}\right)^{4}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{1}{2}*\bruch{1²}{(\wurzel{a})²}-\bruch{a}{4}*\bruch{1^{4}}{(\wurzel{a})^{4}}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{1}{2}*\bruch{1}{a}-\bruch{a}{4}*\bruch{1}{a²}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{1}{2a}-\bruch{a}{4a²}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{2}{4a}-\bruch{1}{4a}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{2-1}{4a}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{4}*\left|\bruch{1}{a}\right|=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \left|\bruch{1}{a}\right|=\bruch{4}{16}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{|a|}=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \gdw \left|a\right|=4
[/mm]
[mm] \gdw a=\pm4
[/mm]
Also scheint dein Ergebnis zu stimmen.
Du kannst es ja mal anhand der Probe einsetzen, wenn du für [mm] a=\pm4 [/mm] einsetzt, müsste sich ja der gewünschte Flächeninhalt ergeben.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Do 23.10.2008 | | Autor: | sunny9 |
Vielen Dank. Probe hat geklappt. Es hat mir sehr geholfen.
Herzliche Grüße
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