Inhomogene DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | Gegeben ist die Randwertaufgabe für natürliche Zahlen k
und n (k,n >0):
[mm] x''(t)+k^2*\pi^2*x(t)=sin n\pi [/mm] t, x(0)=x(1)=0. Für welche
Werte k und n ist diese Randwertaufgabe lösbar? Ermitteln
Sie dann alle Lösungen. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Habe bisher zuerst die homogene DGL durch Aufstellung charakt. Gleichung gelöst:
[mm] \lambda^2+k^2*\pi^2=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda_{1/2}=\pm i*k*\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow x=acos(k*\pi*t)+bsin(k*\pi*t);a,b\in [/mm] R
Jetzt die Lösungsansatz fur die partikuläre Lsg.:
[mm] x_{p}=t(ecos(n*\pi*t)+fsin(n*\pi*t)); e,f\in [/mm] R
Engesetzt:
[mm] 2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))+t(-e*n^2*\pi^2*cos(n*\pi*t)-f*n^2*\pi^2sin(n*\pi*t)=sin(n*\pi*t).
[/mm]
wie gehe ich jetzt weiter vor?
mfg,
lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
> Jetzt die Lösungsansatz fur die partikuläre Lsg.:
>
> [mm]x_{p}=t(ecos(n*\pi*t)+fsin(n*\pi*t)); e,f\in[/mm] R
>
Gilt nur wenn n=k, dann Resonanz vorhanden.
> Engesetzt:
>
> [mm]2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))+t(-e*n^2*\pi^2*cos(n*\pi*t)-f*n^2*\pi^2sin(n*\pi*t)=sin(n*\pi*t).[/mm]
>
oh lalala...da hab ich wohl so einiges unterschlagen. Müsste eigentlich lauten:
[mm] 2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))+t(-e*n^2*\pi^2*cos(n*\pi*t)-f*n^2*\pi^2sin(n*\pi*t)+k^2*\pi^2(t(ecos(n*\pi*t)+fsin(n*\pi*t)))=sin(n*\pi*t).
[/mm]
mfg,
lentio
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo!
> [mm]2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))+t(-e*n^2*\pi^2*cos(n*\pi*t)-f*n^2*\pi^2sin(n*\pi*t)+k^2*\pi^2(t(ecos(n*\pi*t)+fsin(n*\pi*t)))=sin(n*\pi*t).[/mm]
Da doch n=k gilt, müsste der obere Term doch auch zu
[mm] 2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))=sin(n*\pi*t) [/mm] vereinfacht werden können.
Koeffizientenvergleich liefert:
1) [mm] 2*e*n*\pi=0
[/mm]
2) [mm] -2*f*n*\pi=1
[/mm]
mit [mm] n\not=0 \Rightarrow [/mm] e=0 und [mm] f=\bruch{-1}{2*n*\pi}
[/mm]
Ist somit die partikuläre Lösung [mm] x_{p}=t(\bruch{-1}{2*n*\pi}cos(n*\pi*t))?
[/mm]
mfg,
lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
> Ist somit die partikuläre Lösung
> [mm]x_{p}=t(\bruch{-1}{2*n*\pi}cos(n*\pi*t))?[/mm]
wenn ich jetzt aber damit weiter rechne kommt nur Quark raus.
[mm] x(t)=Acos(n*\pi*t)+Bsin(n*\pi*t)-\bruch{t}{2*n*\pi}cos(n*\pi*t)
[/mm]
x(0)=0=A
x(1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] 0= [mm] Bsin(n*\pi)-\bruch{1}{2*n*\pi}cos(n*\pi)
[/mm]
[mm] \gdw Bsin(n*\pi)=\bruch{1}{2*n*\pi}cos(n*\pi)! [/mm] Und was nun, [mm] sin(n*\pi) [/mm] ist doch immer 0?!
Hab das jetzt schon so oft nachgerechnet, komme aber immr auf das Gleiche. Sollt ich vielleicht einen anderen Ansatz nutzen?
mfg,
lentio
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> Hallo!
>
> >
> [mm]2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))+t(-e*n^2*\pi^2*cos(n*\pi*t)-f*n^2*\pi^2sin(n*\pi*t)+k^2*\pi^2(t(ecos(n*\pi*t)+fsin(n*\pi*t)))=sin(n*\pi*t).[/mm]
>
>
> Da doch n=k gilt, müsste der obere Term doch auch zu
> [mm]2(-e*n*\pi*sin(n*\pi*t)+f*n*\pi*cos(n*\pi*t))=sin(n*\pi*t)[/mm]
> vereinfacht werden können.
> Koeffizientenvergleich liefert:
hallo,
habe zwar nicht nachgerechnet, aber bei 1) ist doch e der vorfaktor von sin. deswegen muss rechts 1 statt 0 stehen
und bei 2), also den cos termen die 0
> 1) [mm]2*e*n*\pi=0[/mm]
> 2) [mm]-2*f*n*\pi=1[/mm]
> mit [mm]n\not=0 \Rightarrow[/mm] e=0 und [mm]f=\bruch{-1}{2*n*\pi}[/mm]
> Ist somit die partikuläre Lösung
> [mm]x_{p}=t(\bruch{-1}{2*n*\pi}cos(n*\pi*t))?[/mm]
>
>
> mfg,
> lentio
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
und vielen dank für die antwort.
Stimmt, da habe ich was durcheinander gebracht. Leider scheint aber das nicht allein der grund meines fehlers zu sein. Ich komme immer noch auf
[mm] >x(t)=Acos(n*\pi*t)+Bsin(n*\pi*t)-\bruch{t}{2*n*\pi}cos(n*\pi*t)[/mm]
[/mm]
>
> x(0)=0=A
> x(1)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] 0=
> [mm]Bsin(n*\pi)-\bruch{1}{2*n*\pi}cos(n*\pi)[/mm]
>
> [mm]\gdw Bsin(n*\pi)=\bruch{1}{2*n*\pi}cos(n*\pi)![/mm] Und was nun,
> [mm]sin(n*\pi)[/mm] ist doch immer 0?!
>
mfg,
lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:44 Do 26.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
oder soll das die Antwort sein, sprich es gibt kein B für das die Gleichung lösbar wär ;)
mfg,
lentio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 26.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Hallo,
Ich habe alles noch einmal durchgerechnet und verstehe einfach nicht, warum ich auf keinen grünen Zweig komme.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Do 26.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast raus: für k=n gibt es keine Lösung zu den randwerten.
jetzt untersuche die fälle [mm] k\ne [/mm] n.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 26.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Danke für die Antwort.
Für n ungleich k liegt dann auch keine Resonanz vor
Also ist der Ansatz der partikulären Lsg. [mm] Csin(n\pi*t) +Dcos(n\pi*t).
[/mm]
Ablteigungen eingesetzt liefern dann:
[mm] -Cn^2\pi^2 sin(n\pi*t)-Dn^2\pi^2 cos(n\pi*t)+k^2\pi^2(Csin(n\pi*t)+Dcos(n\pi*t))= [/mm] sin [mm] (n\pi*t)
[/mm]
Nach Koeff.vergleich:
[mm] D=\bruch{k^2}{n^2} [/mm] ; [mm] C=\bruch{k^2\pi^2 -1}{n^2\pi^2} [/mm]
x(t)= [mm] x_{hom} [/mm] + [mm] x_{pat}
[/mm]
x(t)= [mm] Asin(k\pi*t) +Bcos(k\pi*t) +\bruch{k^2\pi^2 -1}{n^2\pi^2}sin(n\pi*t)+ \bruch{k^2}{n^2}cos(n\pi*t) [/mm]
Mit x(0)=0 [mm] \Rightarrow B=-\bruch{k^2}{n^2}
[/mm]
x(1)=0
[mm] 0=Asin(k\pi) -\bruch{k^2}{n^2}cos(k\pi)+\bruch{k^2\pi^2 -1}{n^2\pi^2}sin(n\pi)+ \bruch{k^2}{n^2}cos(n\pi)
[/mm]
Tja, das sieht ja schon wieder recht seltsam aus. Also auf jeden fall darf k nicht aus N sein, da sonst ja wegfällt. ABer sonst....
mfg,
Lentio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab für C und D was anderes raus, rechne nach oder vor
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Lentio |
Stimmt, vielen Dank für den Hinweis.
Habe jetzt D=0 und [mm] C=\bruch{1}{\pi^2(k^2-n^2)}.
[/mm]
Wenn ich das aber dann weiter verfolge komme ich auf [mm] Asin(k\pi)+\bruch{1}{\pi^2(k^2-n^2)} sin(n\pi)=0.
[/mm]
Dasst doch nun auch wieder für kein k zu lösen. Oder sehe ich was falsch?
mfg,
lentio
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Habe jetzt D=0 und [mm]C=\bruch{1}{\pi^2(k^2-n^2)}.[/mm]
>
> Wenn ich das aber dann weiter verfolge komme ich auf
> [mm]Asin(k\pi)+\bruch{1}{\pi^2(k^2-n^2)} sin(n\pi)=0.[/mm]
Und B=0
> Dasst
> doch nun auch wieder für kein k zu lösen. Oder sehe ich
> was falsch?
ja, du siehst falsch! was ist [mm] sin(k\pi) [/mm] und [mm] sin(n\pi)??
[/mm]
Gruss leduart
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