Inhomogene Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mo 17.12.2007 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Ich habe folgende Gleichung
[mm] \bruch{1}{2}*y''+y'-4y=1+24*\cosh(4x) [/mm] |
So ich habe die homogene gelöst ( ist ja nicht so schwer) mit den Nullstellen bei -4 und 2.
==> [mm] y(x)=C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-4x}. [/mm] Bis dahin müsste es stimmen. Aber dann habe ich für die Lösung der Inhomogenen gleichung so ansätze, aber keiner passt. Da komme ich nicht weiter. Ich wollte den cosh in die e-Terme zerlegen. aber die 1 vorne stört.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Mo 17.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe folgende Gleichung
> [mm]\bruch{1}{2}y''+y'-4y=1+24cosh(4x)[/mm]
> So ich habe die homogene gelöst ( ist ja nicht so schwer)
> mit den Nullstellen bei -4 und 2.
> ==> [mm]y(x)=C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-4x}.[/mm] Bis dahin müsste es
> stimmen. Aber dann habe ich für die Lösung der Inhomogenen
> gleichung so ansätze, aber keiner passt. Da komme ich nicht
> weiter. Ich wollte den cosh in die e-Terme zerlegen. aber
> die 1 vorne stört.
Zunächst einmal kannst du die beiden Terme 1 und [mm]24\cosh(4x)[/mm] getrennt betrachten und die zugehörigen Lösungen der inhomogenen DGL einfach addieren.
Eine Konstante als inhomogener Term ist einfach, denn dazu gehört (bei konstanten Koeffizienten) die spezielle Lösung [mm]y=C[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 26.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Den 24cosh(4x)-teil würde ich zerlegen in [mm] 12*[e^{4x}+e^{-4x}]
[/mm]
und damit den Gesamtsansatz:
[mm] C_{1}+C_{2}*e^{4x}+C_{3}*e^{-4x}
[/mm]
Kann das jemand bestätigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mi 26.12.2007 | | Autor: | ullim |
Hi anna,
wenn Du Deinen Ansatz mal durchrechnest wirst Du sehen, das [mm] C_{3} [/mm] in der Lösung nicht mehr vorkommt, was nicht sein kann, da im inhomogenen Teil [mm] e^{-4x} [/mm] sehr wohl noch vorkommt. Der Grund liegt in der Tatsache begründet, dass [mm] e^{-4x} [/mm] schon als homogene Lösung vorkommt. Versuch es mal mit dem Ansatz
[mm] C_{1}+C_{2}\cdot{}e^{4x}+C_{3}\cdot{}x\cdot{}e^{-4x}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 26.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Kann ich allgemein sagen, wenn eine Lösung der inhomogenen gleichung schon lösung der homogenen war multipliziere ich sie einfach mit x?
Gibt es dafür eine Regel oder Formel?
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Hallo Anna,
angenommen, deine Störfunktion in deiner linearen inhomogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist eine Exponentialfunktion [mm] e^{cx}.
[/mm]
Dann kannst Du drei Fälle unterscheiden:
1.) c ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung.
Der Lösungsansatz lautet dann: [mm] $y_{p} [/mm] = A* [mm] e^{cx}.$
[/mm]
2.) c ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung (wie in deinem Fall hier).
Der Lösungsansatz lautet dann: [mm] $y_{p} [/mm] = A*x* [mm] e^{cx}.$
[/mm]
2.) c ist eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung.
Der Lösungsansatz lautet dann: [mm] $y_{p} [/mm] = [mm] A*x^2* e^{cx}.$
[/mm]
Vielleicht ist in einer Bibliothek in deiner Reichweite irgendwo der "Papula", Bd. 2, erhältlich. Da steht eine gute Einführung (auch für Schüler verständlich) in gewöhnliche DGL drin.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 31.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich brauche nochmal eine kleine Hilfe. Ich habe jetzt den Ansatz aber was soll ich jetzt genau machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
ullim hat Dir oben doch den Ansatz für die partikuläre Lösung geliefert mit:
[mm] $$y_P [/mm] \ = \ [mm] C_{1}+C_{2}\cdot{}e^{4x}+C_{3}\cdot{}x\cdot{}e^{-4x} [/mm] $$
Bestimme nun die beiden Ableitungen [mm] $y_P'$ [/mm] sowie [mm] $y_P''$ [/mm] und setze in die Ausgangs-DGL ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 01.01.2008 | | Autor: | anna_h |
Ich habe folgenede Ableitungen:
[mm] y'=4C_{2}e^{4x}-4xC_{3}e^{-4x}+C_{3}e^{-4x}
[/mm]
[mm] y''=16C_{2}e^{4x}+16xC_{3}e^{-4x}-8C_{3}e^{-4x}
[/mm]
Kann die erst mal jemand bestätigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Di 01.01.2008 | | Autor: | anna_h |
Die ableitungsstriche sind irgendwie verloren gegangen. Aber ich denke man kann das auch so zuordnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Mi 02.01.2008 | | Autor: | anna_h |
nach dem einsetzen und kürzen bleibt übrig:
[mm] -4C_{1}+8C_{2}e^{4x}-3C_{3}e^{-4x}
[/mm]
oder?
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Hallo Anna,
ja, ist richtig.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 03.01.2008 | | Autor: | anna_h |
Wenn ich jetzt die Lösung der homogenen und der inhomogenen DGL addiere bekomme ich:
[mm] C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-4x}-4C_{3}+8C_{4}e^{4x}-3C_{5}e^{-4x}
[/mm]
oder kann ich die noch zusammenrechnen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich jetzt die Lösung der homogenen und der inhomogenen
> DGL addiere bekomme ich:
>
> [mm]C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-4x}-4C_{3}+8C_{4}e^{4x}-3C_{5}e^{-4x}[/mm]
Das stimmt nicht. Die Lösung der homogenen DGL ist
[mm] y_h = C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-4x}[/mm]
Was du zu [mm]y_h[/mm] dazuaddiert hast, ist die Funktion, die sich ergibt, wenn du [mm]y_P[/mm] in die homogene DGL einsetzt.
Die Lösung der inhomogenen DGL ist
[mm] y_P = C_3 + C_4 e^{4x} +C_5 x e^{-4x} [/mm]
wobei die Konstanten [mm]C_3[/mm], [mm]C_4[/mm] und [mm]C_5[/mm] so zu bestimmen sind, dass es wirklich eine Lösung der inhomogenen DGL ist, was auf die Gleichung
[mm] -4C_{3}+8C_{4}e^{4x}-3C_{5}e^{-4x} = 1+ 24 \cosh (4x) = 1 + 12 e^{4x} + 12 e^{-4x} [/mm]
führt. Daraus rechnest du die drei Konstanten aus.
Deine Lösung ist dann:
[mm] y= y_h+y_P [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 03.01.2008 | | Autor: | anna_h |
das müsste dann:
[mm] C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-4x}-0,25+\bruch{3}{2}*e^{4x}-4*x*e^{-4x}
[/mm]
sein
oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> das müsste dann:
>
> [mm]C_{1}*e^{2x}+C_{2}*e^{-4x}-0,25+\bruch{3}{2}*e^{4x}-4*x*e^{-4x}[/mm]
> sein
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Anna,
jawohl, die Ableitungen sind richtig.
LG, Martinius
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