Inhomogene Ladungsdichte < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 13.05.2010 | | Autor: | haploid |
| Aufgabe | | Ein nichtleitender, massiver Zylinder mit Radius R = 4 cm und der Länge L ist mit einer inhomogenen Raumladungsdichte [mm]\rho(r)=Ar^2 [/mm] geladen (A = 2,5 [mm] \bruch{\mu C}{m^5}). [/mm] Wie groß ist der Betrag des elektrischen Feldes im radialen Abstand von [mm] r_1 [/mm] = 3 cm und [mm] r_2 [/mm] = 5 cm von der Zylinderachse? Hinweis: Wir nehmen an, dass die Länge L groß ist gegenüber den übrigen Abmessungen. |
Hallo,
meine Rechung lautet:
[mm]Q = \integral {\rho (r) dV} = \integral {A * r^2 * \pi L r dr } = \bruch{1}{4}AL \pi r^4
Q = \varepsilon E * r^2 \pi [/mm]
also ist
[mm] E= \bruch{1}{4}* \bruch {ALr^2}{\varepsilon} [/mm]
Mein Problem ist, dass L ja aber nicht gegeben ist. Wie soll ich das dann rechnen?
Grüße und einen schönen Feiertag!
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Hallo!
> Ein nichtleitender, massiver Zylinder mit Radius R = 4 cm
> und der Länge L ist mit einer inhomogenen
> Raumladungsdichte [mm]\rho(r)=Ar^2[/mm] geladen (A = 2,5 [mm]\bruch{\mu C}{m^5}).[/mm]
> Wie groß ist der Betrag des elektrischen Feldes im
> radialen Abstand von [mm]r_1[/mm] = 3 cm und [mm]r_2[/mm] = 5 cm von der
> Zylinderachse? Hinweis: Wir nehmen an, dass die Länge L
> groß ist gegenüber den übrigen Abmessungen.
> Hallo,
> meine Rechung lautet:
>
> [mm]Q = \integral {\rho (r) dV} = \integral {A * r^2 * \pi L r dr } = \bruch{1}{4}AL \pi r^4
Q = \varepsilon E * r^2 \pi[/mm]
> also ist
> [mm]E= \bruch{1}{4}* \bruch {ALr^2}{\varepsilon}[/mm]
Ich erhalte hier einen Faktor [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten lautet [mm] dV=\rho{d\rho}d\varphi{dz} [/mm] mit [mm] \rho,z\in[0,\infty) [/mm] und [mm] \varphi\in[0,2\pi)
[/mm]
> Mein Problem ist, dass L ja aber nicht gegeben ist. Wie
> soll ich das dann rechnen?
Der letzte Satz in der Aufgabenstellung gibt Aufschluß: Du kannst hier unter Vernachlässigung der Randeffekte in z-Richtung (auch in [mm] \varphi- [/mm] Richtung) rechnen. Es gilt also [mm] \Phi=\Phi(\rho) [/mm] sowie [mm] \vec{E}=-grad\Phi(\rho)
[/mm]
Gruß, Marcel
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> Grüße und einen schönen Feiertag!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 16.05.2010 | | Autor: | haploid |
Muss ich dann das Integral gar nicht lösen? (Hätte jetzt auch den Faktor [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
Aber reicht dann nicht folgende Rechnung?
[mm]\Phi= - \bruch{\rho(r)}{\epsilon} = - \bruch{A*r^2}{\epsilon}[/mm]
[mm]E=-grad\Phi=\bruch{2Ar}{\epsilon}[/mm]
Und wie berücksichtigt man, dass ein Radius nicht mehr im Zylinder liegt?
Grüße!
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Hallo!
Mir scheint hier fast, du hast den Bezug zwischen Formeln und Geometrie ein wenig verloren.
Gehen wir mal davon aus, daß die Länge des Stabes bekannt wäre, dann könntest du auch die Ladung berechnen.
Du kannst um deinen Stab einen Zylindermantel legen. Der Fluß integriert über die Oberfläche des Zylindermantels gibt dir die eingeschlossene Ladung, also die Ladung des Stabes. Da der Stab lang sein soll, kannst du den Fluß durch die Stirnflächen des Zylinders vernachlässigen.
Wegen der Symmetrie des ganzen brauchst du nicht integrieren, du multiplizierst einfach die Manteloberfläche mit dem überall konstant gleich großen Fluß. Weil das sowas wie die eingeschlossene Ladung ist, muß dieses Produkt immer gleich groß sein - solange der Stab komplett innerhalb des Zylindermantels liegt.
Nun, wenn du einen größeren Mantel hast, muß der Fluß kleiner sein. Welchem Abstandsgesetz folgt daher der Fluß? Und wenn du den Fluß kennst, kennst du auch das E-Feld. Wie sieht dessen Abstandsgesetz aus?
Jetzt machen wir den Zylindermantel kleiner als den Stab. Die Sache mit dem Integral über die Oberfläche bzw mit dm Produkt gilt immernoch. Zwar erzeugt die Ladung außerhalb des Mantels auch einen Fluß, der durchströmt den Mantel aber völlig, das Feld eines einzelnen Ladungsträgers geht auf einer Seite rein, und auf der anderen Seite raus.
Weil das also immernoch so symmetrisch ist, gilt immernoch, daß der Fluß sich aus der Zylindermanteloberfläche und der eingeschlossenen Ladung ergibt - nur, daß die Ladung sich nun mit dem Radius ändert.
Es ist also genauso wie die Frage, wie es um die Gravitation bestellt ist, wenn man sich zum Mittelpunkt der Erde vorarbeitet. Bei Kugeln wächst das Feld linear mit dem Abstand zum Mittelpunkt bis zur Oberfläche an, um dann mit 1/r² kleiner zu werden.
Nun noch eine letzte Sache, das mit der Gesamtladung. Selbst, wenn du die Länge kennen würdest, könntest du die Ladung nicht berechnen, denn die Dichte ist ja auch nicht richtig gegeben, da steckt auch noch ein unbekanntes A drin.
Damit könntest du höchstens sowas wie Ladung pro scheibchen der Dicke d des Stabes angeben. Von daher wird kein Zahlenwert als Ergebnis gefragt sein, sondern eine Formel.
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