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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Inhomogene lineare DGL 2.Ord.
Inhomogene lineare DGL 2.Ord. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 So 19.10.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
1. y '' + y ' -2*y = -10   ;   y(0)= 12   ;   y ' (0)= -2

2. y '' y = 5   ; y(0)= 7   ;   y' (0)= 5

3. y '' - 8*y ' +16*y = 48  keine Anfangswerte gegeben !???

Allgemein

y '' + [mm] a_1*y [/mm] ' + [mm] a_2*y [/mm] = s

Lösung:  y = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm]          

[mm] y_h [/mm] : Allg. Lsg der homogenen DGL
[mm] y_p: [/mm] partikuläre Lsg der inhomogenen DGL


Aufgabe 1

1. [mm] y_h [/mm]  ermitteln

y '' + y ' -2*y = 0

=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] -2 = 0

[mm] \lambda_1 [/mm] = 1  
[mm] \lambda_2 [/mm] = -2

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x} [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{-2x} [/mm]

2. [mm] y_p [/mm]  ermitteln

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm]

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{-10}{-2} [/mm] = 5

3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL

y = [mm] C_1*e^x [/mm] + [mm] C_2*e^{-2x} [/mm] +5

=> y ' = [mm] C_1*e^x -2*C_2*e^{-2x} [/mm]


y(0) = 12    12 = [mm] C_1*e^0 [/mm] + [mm] C_2*e^{-2*0} [/mm] +5

y ' (0) = -2   -2 = [mm] C_1*e^0 -2*C_2*e^{2*0} [/mm]

12= [mm] C_1 +C_2 [/mm] +5  

-2 = [mm] C_1 +2*C_2 [/mm]

[mm] C_2 [/mm] = 3  ;  [mm] C_1 [/mm] = 4

Spezielle Lösung

y = [mm] 4*e^x [/mm] + [mm] 3*e^{-2x} [/mm] +5

***

Aufgabe 2

1. [mm] y_h [/mm]  ermitteln

y '' +y = 5

=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0

[mm] \lambda_1 [/mm] = 0  
[mm] \lambda_2 [/mm] = -1

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x} [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^0 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x} [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x} [/mm]

2. [mm] y_p [/mm]  ermitteln

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm]

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = 5

3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL

y = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x} [/mm] +5

=> y ' = [mm] -C_2*e^{-x} [/mm]


y(0) = 7    7 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-0} [/mm] +5

y ' (0) = 5   5 = - [mm] C_2*e^{-0} [/mm]

7= [mm] C_1 +C_2 [/mm] +5  

5 = - [mm] C_2 [/mm]

[mm] C_2 [/mm] = -5  ;  [mm] C_1 [/mm] = 7

Spezielle Lösung

y = 7 - [mm] 5*e^{-x} [/mm] +5

y = [mm] -5*e^{-x} [/mm] +12

***

Aufgabe 3

1. [mm] y_h [/mm]  ermitteln

y '' -8*y ' +16y = 48

=> [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] -8*\lambda [/mm] +16 = 0

[mm] \lambda [/mm] = 4  

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{\lambda*x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{\lambda*x} [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*e^{4*x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{4*x} [/mm]


2. [mm] y_p [/mm]  ermitteln

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm]

[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{48}{16} [/mm] = 3

3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL

y = [mm] C_1*e^{4x} [/mm] + [mm] C_2*x*e^{4x} [/mm] +3


Stimmt das soweit? Ist das die komplette Lösung bei Aufgabe 3; wie gesagt es sind keine Anfangswerte gegeben.


Danke & Gruß


        
Bezug
Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 So 19.10.2008
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> 1. y '' + y ' -2*y = -10   ;   y(0)= 12   ;   y ' (0)= -2
>  
> 2. y '' y = 5   ; y(0)= 7   ;   y' (0)= 5
>  
> 3. y '' - 8*y ' +16*y = 48  keine Anfangswerte gegeben
> !???
>  
> Allgemein
>  
> y '' + [mm]a_1*y[/mm] ' + [mm]a_2*y[/mm] = s
>
> Lösung:  y = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_p[/mm]          
>
> [mm]y_h[/mm] : Allg. Lsg der homogenen DGL
>  [mm]y_p:[/mm] partikuläre Lsg der inhomogenen DGL
>  
>
> Aufgabe 1
>  
> 1. [mm]y_h[/mm]  ermitteln
>  
> y '' + y ' -2*y = 0
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] -2 = 0
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1  
> [mm]\lambda_2[/mm] = -2
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm]
>  
> 2. [mm]y_p[/mm]  ermitteln
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{-10}{-2}[/mm] = 5
>  
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>  
> y = [mm]C_1*e^x[/mm] + [mm]C_2*e^{-2x}[/mm] +5
>  
> => y ' = [mm]C_1*e^x -2*C_2*e^{-2x}[/mm]
>  
>
> y(0) = 12    12 = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-2*0}[/mm] +5
>  
> y ' (0) = -2   -2 = [mm]C_1*e^0 -2*C_2*e^{2*0}[/mm]
>  
> 12= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5  
>
> -2 = [mm]C_1 +2*C_2[/mm]
>  
> [mm]C_2[/mm] = 3  ;  [mm]C_1[/mm] = 4
>  
> Spezielle Lösung
>  
> y = [mm]4*e^x[/mm] + [mm]3*e^{-2x}[/mm] +5
>  
> ***


Stimmt. [ok]


>
> Aufgabe 2
>  
> 1. [mm]y_h[/mm]  ermitteln
>  
> y '' +y = 5
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0


Es muss heissen:

[mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]

Da kein [mm]y'[/mm] in der DGL.


>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 0  
> [mm]\lambda_2[/mm] = -1
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>  
> 2. [mm]y_p[/mm]  ermitteln
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
>  
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>  
> y = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm] +5
>  
> => y ' = [mm]-C_2*e^{-x}[/mm]
>  
>
> y(0) = 7    7 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-0}[/mm] +5
>  
> y ' (0) = 5   5 = - [mm]C_2*e^{-0}[/mm]
>  
> 7= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5  
>
> 5 = - [mm]C_2[/mm]
>  
> [mm]C_2[/mm] = -5  ;  [mm]C_1[/mm] = 7
>  
> Spezielle Lösung
>  
> y = 7 - [mm]5*e^{-x}[/mm] +5
>  
> y = [mm]-5*e^{-x}[/mm] +12
>  
> ***


Diese Teilaufgabe mußt Du nochmal nachrechnen.


>
> Aufgabe 3
>  
> 1. [mm]y_h[/mm]  ermitteln
>  
> y '' -8*y ' +16y = 48
>
> => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]-8*\lambda[/mm] +16 = 0
>  
> [mm]\lambda[/mm] = 4  
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda*x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{4*x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{4*x}[/mm]
>  
>
> 2. [mm]y_p[/mm]  ermitteln
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{48}{16}[/mm] = 3
>  
> 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>  
> y = [mm]C_1*e^{4x}[/mm] + [mm]C_2*x*e^{4x}[/mm] +3
>  


Das stimmt auch. [ok]


>
> Stimmt das soweit? Ist das die komplette Lösung bei Aufgabe
> 3; wie gesagt es sind keine Anfangswerte gegeben.
>
>
> Danke & Gruß
>  


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 So 19.10.2008
Autor: hase-hh

moin,

> >
> > Aufgabe 2
>  >  
> > 1. [mm]y_h[/mm]  ermitteln
>  >  
> > y '' +y = 5
> >
> > => [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] = 0
>  
>
> Es muss heissen:
>  
> [mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]
>  
> Da kein [mm]y'[/mm] in der DGL.
>  

1. Frage: falls y ' gemeint gewesen wäre, wäre die Lösung ok?

2. Frage:

Wenn ich die Gleichung [mm] \lambda^2 [/mm] + 1 =0 lösen soll, dann gibt es gar keine reellen Lösungen.

Habe keine Unterlagen über Komplexe Lösungsformeln für solche DGL (homogene lineare DGL 2. Ordnung).

Gibt es (relativ) einfache Lösungsformeln für den Fall, dass die Diskriminante wie in diesem Fall < 0  ist??? Wie lauten diese?  

Denke, da es hier um Mathe I bzw. Mathe II für WiWis geht, sollte es nicht zu schwer sein...

Gruß

> >  

> > [mm]\lambda_1[/mm] = 0  
> > [mm]\lambda_2[/mm] = -1
>  >  
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  >  
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*e^0[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>  >  
> > [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>  >  
> > 2. [mm]y_p[/mm]  ermitteln
>  >  
> > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm]
>  >  
> > [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
>  >  
> > 3. Allgemeine Lösung inhomogene DGL
>  >  
> > y = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm] +5
>  >  
> > => y ' = [mm]-C_2*e^{-x}[/mm]
>  >  
> >
> > y(0) = 7    7 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-0}[/mm] +5
>  >  
> > y ' (0) = 5   5 = - [mm]C_2*e^{-0}[/mm]
>  >  
> > 7= [mm]C_1 +C_2[/mm] +5  
> >
> > 5 = - [mm]C_2[/mm]
>  >  
> > [mm]C_2[/mm] = -5  ;  [mm]C_1[/mm] = 7
>  >  
> > Spezielle Lösung
>  >  
> > y = 7 - [mm]5*e^{-x}[/mm] +5
>  >  
> > y = [mm]-5*e^{-x}[/mm] +12
>  >  
> > ***
>
>
> Diese Teilaufgabe mußt Du nochmal nachrechnen.
>  


Bezug
                        
Bezug
Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 So 19.10.2008
Autor: leduart

Hallo
Wenn du nicht komplex rechnen kannst machst du in dem Fall den ansatz A*sin(rt)+B*cos(rt)
weill du weisst, dass (sinx)''=-sinx ebenso (cosx)''=-cosx
hier sind deine Fundamentalloesungen sinx und cosx.
Aber zum prinzip: Ich setz immer meine Ergebnisse nochmal in die Dgl. ein, weil ja jeder mal dumme Fehler macht.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 So 19.10.2008
Autor: hase-hh

Moin,

ok. Also lautet die Allgemeine Lösung einer homogenen DGL 2. Ordnung bei konjugiert-komplexen Lösungen

[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{ax}*(C_1*cos(bx) [/mm] + [mm] C_2*sin(bx)) [/mm]

mit (aus der Charakteristischen Gleichung ermittelten)

a = - [mm] \bruch{p}{2} [/mm]

b = [mm] \wurzel{\bruch{p^2}{4}-q} [/mm]


zurück zu Aufgabe 2


y '' + y = 5     bzw.  homogene Gleichung  

y '' + y = 0  

1. Charakteristische Gleichung

[mm] \lambda^2 [/mm] + 1 = 0

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{0}{2} \pm \wurzel{0 -1} [/mm]

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = 0 [mm] \pm \wurzel{-1} [/mm]

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = 0 [mm] \pm [/mm] 1*i

Hier ist  0 = a   und  1 = b  !!


2. a und b einsetzen in  [mm] y_h [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] e^{0*x}*(C_1*cos(1*x) [/mm] + [mm] C_2*sin(1*x)) [/mm]

[mm] y_h [/mm] = [mm] C_1*cos(x) [/mm] + [mm] C_2*sin(x) [/mm]


[mm] y_p [/mm] = [mm] \bruch{s}{a_2} [/mm] = [mm] \bruch{5}{1} [/mm] = 5

Allgemeine Lösung

y = [mm] C_1*cos(x) [/mm] + [mm] C_2*sin(x) [/mm] +5


Bilde Ableitung

=> y ' = - [mm] C_1*sin(x) [/mm] + [mm] C_2*cos(x) [/mm]


3. Anfangswerte einsetzen


y(0)= 7   7 = [mm] C_1*cos(0) [/mm] + [mm] C_2*sin(0) [/mm] +5  ; 2 = [mm] C_1 [/mm]

y ' (0)= 5   5 = - [mm] C_1*sin(0) [/mm] + [mm] C_2*cos(0) [/mm]  ; 5 = [mm] C_2 [/mm]


Spezielle Lösung

y = 2*cos(x) +5*sin(x) +5


Gruß
















Bezug
                                        
Bezug
Inhomogene lineare DGL 2.Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 So 19.10.2008
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Moin,
>  
> ok. Also lautet die Allgemeine Lösung einer homogenen DGL
> 2. Ordnung bei konjugiert-komplexen Lösungen
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]e^{ax}*(C_1*cos(bx)[/mm] + [mm]C_2*sin(bx))[/mm]



Ja.


>
> mit (aus der Charakteristischen Gleichung ermittelten)
>
> a = - [mm]\bruch{p}{2}[/mm]
>  
> b = [mm]\wurzel{\bruch{p^2}{4}-q}[/mm]
>  
>
> zurück zu Aufgabe 2
>  
>
> y '' + y = 5     bzw.  homogene Gleichung  
>
> y '' + y = 0  
>
> 1. Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2[/mm] + 1 = 0
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{0}{2} \pm \wurzel{0 -1}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 [mm]\pm \wurzel{-1}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = 0 [mm]\pm[/mm] 1*i
>  
> Hier ist  0 = a   und  1 = b  !!
>  
>
> 2. a und b einsetzen in  [mm]y_h[/mm]
>  
> [mm]y_h[/mm] = [mm]e^{0*x}*(C_1*cos(1*x)[/mm] + [mm]C_2*sin(1*x))[/mm]
>
> [mm]y_h[/mm] = [mm]C_1*cos(x)[/mm] + [mm]C_2*sin(x)[/mm]
>
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]\bruch{s}{a_2}[/mm] = [mm]\bruch{5}{1}[/mm] = 5
>  
> Allgemeine Lösung
>  
> y = [mm]C_1*cos(x)[/mm] + [mm]C_2*sin(x)[/mm] +5
>  
>
> Bilde Ableitung
>  
> => y ' = - [mm]C_1*sin(x)[/mm] + [mm]C_2*cos(x)[/mm]
>
>
> 3. Anfangswerte einsetzen
>  
>
> y(0)= 7   7 = [mm]C_1*cos(0)[/mm] + [mm]C_2*sin(0)[/mm] +5  ; 2 = [mm]C_1[/mm]
>  
> y ' (0)= 5   5 = - [mm]C_1*sin(0)[/mm] + [mm]C_2*cos(0)[/mm]  ; 5 = [mm]C_2[/mm]
>  
>
> Spezielle Lösung
>  
> y = 2*cos(x) +5*sin(x) +5
>  


Stimmt. [ok]


>
> Gruß


Gruß
MathePower

Bezug
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