Inhomogenes DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 15.10.2014 | | Autor: | babflab |
| Aufgabe | | x'+x/2 = [mm] 3e^{-1/2t} [/mm] |
Für den homogenen Teil habe ich berechnet:
[mm] x_{h}(t)= c*e^{-1/2t}
[/mm]
Partikulär Teil Ansatz:
x(t) [mm] =3e^{-1/2t} [/mm] I kommt 1/2 mal vor
x'(t)= -1.5 [mm] e^{-1/2t} [/mm] I kommt 1 mal vor
[mm] x_{p}(t)= -1.5e^{-1/2t} [/mm] + [mm] 1.5e^{-1/2t} [/mm]
Was hab ich schon wieder falsch? :(((((
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> x'+x/2 = [mm]3e^{-1/2t}[/mm]
> Für den homogenen Teil habe ich berechnet:
>
> [mm]x_{h}(t)= c*e^{-1/2t}[/mm]
Ja, das ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, falls Du mit [mm] e^{-1/2t} [/mm] das meinst: [mm] e^{- \bruch{1}{2}t} [/mm] und nicht das: [mm] e^{- \bruch{1}{2t}}.
[/mm]
>
> Partikulär Teil Ansatz:
> x(t) [mm]=3e^{-1/2t}[/mm]
Das ist doch kein Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung !!
> I kommt 1/2 mal vor
Was meinst Du damit ???
> x'(t)= -1.5 [mm]e^{-1/2t}[/mm] I kommt 1 mal vor
??????
> [mm]x_{p}(t)= -1.5e^{-1/2t}[/mm] + [mm]1.5e^{-1/2t}[/mm]
> Was hab ich schon wieder falsch? :(((((
Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (Variation der Konnstante):
[mm] x_p(t)=c(t) e^{- \bruch{1}{2}t}.
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 15.10.2014 | | Autor: | babflab |
> > x'+x/2 = [mm]3e^{-1/2t}[/mm]
> > Für den homogenen Teil habe ich berechnet:
> >
> > [mm]x_{h}(t)= c*e^{-1/2t}[/mm]
>
> Ja, das ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung,
> falls Du mit [mm]e^{-1/2t}[/mm] das meinst: [mm]e^{- \bruch{1}{2}t}[/mm]
Ja, das meine ich !
>
> Ansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen
> Gleichung (Variation der Konnstante):
>
> [mm]x_p(t)=c(t) e^{- \bruch{1}{2}t}.[/mm]
>
Okay ich habe was wohl gewaltig falsch verstanden, was den partikulär Teil betrifft!
Wenn das jetzt der Ansatz ist, habe ich ne Frage bevor ich wieder versuche etwas zu errechnen:
nehme ich für den part. ansatz die allgemeine Lösung oder schau ich mir den inhomogenen Teil an: [mm] 3e^{-1/2t}
[/mm]
Und suche hier nach den richtigen Ansatz?
-> [mm] x_p(t)=c(t) e^{- \bruch{1}{2}t}
[/mm]
wenn ich das habe, dann muss ich den Ansatz doch Noch ableiten richtig?
So, dann zum Stichwort Variation der Konstanten, in meinem Skript steht,
Das ich das anwende wenn meine Standard-Ansätze versagen
In was für einem Fall weiss ich das meine Ansätze versagt haben? Wenn ich für den partk.Teil Null habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 15.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Variation der Konstanten kann man immer anwenden, wenn einem kein guter Ansatz einfällt. Hier wäre auch der Ansatz [mm] x_p(t)=A*t*e^{-\bruch{1}{2}*t} [/mm] möglich gewesen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 15.10.2014 | | Autor: | babflab |
So, habe das nun soweit:
normaler Ansatz hat versagt, also nutze ich Variation der Konstanten
nehme die allgemeine Homogene Lösung
> > [mm]x_{h}(t)= c*e^{-1/2t}[/mm]
>
> Ja, das ist die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung,
Und mache aus der Konstanten eine Funktion c(t)
> Gleichung (Variation der Konnstante):
>
[mm] x_p(t)=c(t)e^{- \bruch{1}{2}t}
[/mm]
leite nun ab:
[mm] c'(t)e^{- \bruch{1}{2}t} [/mm] + [mm] c(t)e^{- \bruch{1}{2}t}* [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} +c(t)e^{- \bruch{1}{2}t}* \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] 3e^{- \bruch{1}{2}t}
[/mm]
=>
[mm] c'(t)e^{- \bruch{1}{2}t} [/mm] = [mm] 3e^{- \bruch{1}{2}t}
[/mm]
c'(t)= [mm] 3e^{- \bruch{1}{2}t}* \bruch{1}{e^{- \bruch{1}{2}t}}
[/mm]
Ab hier komm ich nicht ganz voran, wollte integral bilden mit stammfunktion aber ich sehe das ich hier nur noch c'(t)= 3 stehen habe
Wie gehts hier weiter ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mi 15.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit richtig, aber warum kannst du c'(t)=3 nicht integrieren, ein noch einfacheres Integral gibt es selten!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mi 15.10.2014 | | Autor: | babflab |
Hmmmm.... Einfach c(t)= c'(t)??? Und 3 = 3x
c(t) = 3x+c
Jetzt muss ich das ja als x(t)= xh + xp zusammenfassen..... Aber wie?
x(t)= [mm] c*e^{-1/2t} [/mm] +
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hmmmm.... Einfach c(t)= c'(t)???
Unsinn !!
> Und 3 = 3x
Unsinn !
> c(t) = 3x+c
Nein. Du brauchst ja nur eine Funktion c mit der Eigenschaft c'(t)=3. Also zum Beispiel
c(t)=3t.
Damit sieht die partikuliäre Lösung so aus:
[mm] x_p(t)=3t*e^{-1/2t}.
[/mm]
>
>
>
> Jetzt muss ich das ja als x(t)= xh + xp zusammenfassen.....
> Aber wie?
>
> x(t)= [mm]c*e^{-1/2t}[/mm] +
Die allgemeine Lösung der DGL lautet nun:
[mm] $x(t)=c*e^{-1/2t}+3t*e^{-1/2t}.$ [/mm] $(c [mm] \in \IR)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Mi 15.10.2014 | | Autor: | babflab |
Okay! danke!!!!
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