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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen, inhomogenen Differentialgleichungsystems
[mm] y'_{1}=-2y_{1}+3y_{2}+x
[/mm]
[mm] y'_{2}=3y_{1}-2y_{2}+e^{x} [/mm] |
Also, ich weiß schonmal das man erst die homogene Lösung bestimmen muss und dann die spezielle und die beiden addiert ergeben dann die gesammtlösung.
Zuerst lass ich den x-term weg und löse das homogene system mit der Formel y'=A y wobei A die Matrix der Koeffizienten ist. Die Matrix ist hier [mm] \pmat{ -2 & 3 \\ 3 & -2 }
[/mm]
Für die Eigenwerte bekomme ich dann [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-5
[/mm]
Meine Eigenvektoren sind [mm] c_{1}=\vektor{1 \\ 1}\bruch{1}{\wurzel{3}}
[/mm]
aber bei dem zweiten kommt bei mir iwie nur [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] raus.
Ich setze ein in [mm] (A-\lambaE)x=0
[/mm]
erstmal: A-5E= [mm] \pmat{ -7 & 3 \\ 3 & -7 } [/mm] und dann hab ich
[mm] \pmat{ -7 & 3 \\ 3 & -7 }\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] das ich lösen muss und da kommt bei mir 0 raus, kann das sein? wenn ich den zweiten eigenvekor jetzt auch noch hab, wie muss ich denn dann weitermachen? Also wie bekomme ich die spezielle Lösung? und wie setzt ich das zusammen?
vielleicht kann mir jemand helfen!
Ich habe diese Frage in kein anderes Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen,
> inhomogenen Differentialgleichungsystems
>
> [mm]y'_{1}=-2y_{1}+3y_{2}+x[/mm]
> [mm]y'_{2}=3y_{1}-2y_{2}+e^{x}[/mm]
> Also, ich weiß schonmal das man erst die homogene Lösung
> bestimmen muss und dann die spezielle und die beiden
> addiert ergeben dann die gesammtlösung.
>
> Zuerst lass ich den x-term weg und löse das homogene system
> mit der Formel y'=A y wobei A die Matrix der Koeffizienten
> ist. Die Matrix ist hier [mm]\pmat{ -2 & 3 \\ 3 & -2 }[/mm]
> Für die
> Eigenwerte bekomme ich dann [mm]\lambda_{1}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-5[/mm]
richtig.
> Meine Eigenvektoren sind [mm]c_{1}=\vektor{1 \\ 1}\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
wieso die [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}?
[/mm]
> aber bei dem zweiten kommt bei mir iwie nur [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> raus.
> Ich setze ein in [mm](A-\lambaE)x=0[/mm]
> erstmal: A-5E= [mm]\pmat{ -7 & 3 \\ 3 & -7 }[/mm] und dann hab ich
hier ist dein Fehler A-(-5)E=A+5E da +5 kein Eigenwert konntest du auch keinen Eigenvektor finden!
> die spezielle Lösung? und wie setzt ich das zusammen?
> vielleicht kann mir jemand helfen!
Den Rest siehst du vielleicht in deinem Skript oder Buch an, ich hab grad nicht so viel Zeit. lass es aber auf halb beantwortet.
Ich verschieb die Frage ins Matheforum, sie mag zwar aus ner Physikvorlesung stammen, hat aber im Matheforum sicher mehr Helfer.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 16.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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