Inhomogenes System < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Mo 14.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | | Lösen sie das Inhomogene System [mm] A_{x}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , indem Sie zubnächst die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Systems [mm] Ax_{h}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ermitteln und irgendeine spezielle Lösung [mm] x_{p} [/mm] des inhomogenen Systems [mm] Ax=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] bestimmen. Es ist dann [mm] x_{allg}=x_{h}+x_{p} [/mm] |
Ich weiss dass das ganze eigentlih absolut kein Problem sein sollte aber ich steige einfach nicht einmal hinter die Basics.
Zuerst versuche ich das homogene System zu lösen:
[mm] Ax_{h}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
kann man hierfür folgendes schreiben?
[mm] \pmat{ x & y & -z & 0 \\ 0 & x & -2z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Oder ist dieser Schritt schon falsch?
Falls dieser Schritt richtig ist, kann ich dann sagen dass aus Zeile 2 folgt x=2z ? und das in Zeile 1 eingesetzt -> z=-y ?
dann wähle ich einfach irgend ein beliebiges z z.B. z=b
-> y=-b [mm] x=\bruch{b}{2} [/mm] ?
Ist irgend was hier nur im Ansatz richtig?
Bitte bringt einen kleinen Lichtkegel in das tiefe schwarze nichts :D
Vielen Dank im Vorraus an die die sich hier die mühe machen. Das ist echt nicht selbstverständlich und deswegen ist dieses Forum so klasse!
Habe die Frage natürlich nicht wo anderes geschrieben!
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Hallo tobe,
> Lösen sie das Inhomogene System [mm]A_{x}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , indem Sie zubnächst die allgemeine
> Lösung des zugehörigen homogenen Systems [mm]Ax_{h}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ermitteln und irgendeine spezielle
> Lösung [mm]x_{p}[/mm] des inhomogenen Systems [mm]Ax=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> bestimmen. Es ist dann [mm]x_{allg}=x_{h}+x_{p}[/mm]
> Ich weiss dass das ganze eigentlih absolut kein Problem
> sein sollte aber ich steige einfach nicht einmal hinter die
> Basics.
> Zuerst versuche ich das homogene System zu lösen:
> [mm]Ax_{h}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> kann man hierfür folgendes schreiben?
> [mm]\pmat{ x & y & -z & 0 \\ 0 & x & -2z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Nein.
Das System [mm]Ax_{h}=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } \vektor{x \\ y \\ z} =\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist gleichbedeutend mit
[mm]1*x+1*y+\left(-1\right)*z=0[/mm]
[mm]0*x+1*y+\left(-2\right)*z=0[/mm]
[mm]0*x+0*y+0*z=0[/mm]
>
> Oder ist dieser Schritt schon falsch?
Richtig erkannt. Dieser Schritt ist schon falsch.
> Falls dieser Schritt richtig ist, kann ich dann sagen dass
> aus Zeile 2 folgt x=2z ? und das in Zeile 1 eingesetzt ->
> z=-y ?
> dann wähle ich einfach irgend ein beliebiges z z.B. z=b
> -> y=-b [mm]x=\bruch{b}{2}[/mm] ?
>
> Ist irgend was hier nur im Ansatz richtig?
> Bitte bringt einen kleinen Lichtkegel in das tiefe
> schwarze nichts :D
>
> Vielen Dank im Vorraus an die die sich hier die mühe
> machen. Das ist echt nicht selbstverständlich und deswegen
> ist dieses Forum so klasse!
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> Habe die Frage natürlich nicht wo anderes geschrieben!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 14.04.2008 | | Autor: | tobe |
Kann ich hier dann wenigstens schreiben:
z=a , [mm] a\varepsilon \IR [/mm] (z beliebig bestimmt)
aus II: y=2z=2a y=2a
Aus III: x=-z=-a x=-a
z=a
y=2a
x=-a
Lösungsvektor [mm] a\vektor{1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
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Hallo tobe,
> Kann ich hier dann wenigstens schreiben:
> z=a , [mm]a\varepsilon \IR[/mm] (z beliebig bestimmt)
>
> aus II: y=2z=2a y=2a
> Aus III: x=-z=-a x=-a
>
> z=a
> y=2a
> x=-a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Lösungsvektor [mm]a\vektor{1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
[mm]\vektor{x \\ y \\ z}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Mo 14.04.2008 | | Autor: | tobe |
Und wenn ich jetzt die Aufgabe komplett lösen will, geht das folgendermaßen:
Aus oben weiss ich bereits die Lösung des homogoenen Systems!
[mm] x_{h}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
jetzt benötige ich noch eine spezielle Lösung [mm] x_{p}
[/mm]
I. x + y -z = 1
II. y - 2z = 1
aus II. y=2z+1
Festlegen von z: z=1
-> y=3
II in I: x+2z+1-z=1
x=-z
x=-1
-> [mm] x_{p}=\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
[mm] =>x_{allg}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}+\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
Ich frage mich nur, wieso ich die Lösung über eine allgemeine und über eine spezielle angeben muss. Würde die spezielle nicht reichen? Und was hat das ganze in einem Studium zu tun. Ist ja Niveau eines Gymnasiums, die paar doofen gleichungen zu Lösen.
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Hallo tobe,
> Und wenn ich jetzt die Aufgabe komplett lösen will, geht
> das folgendermaßen:
> Aus oben weiss ich bereits die Lösung des homogoenen
> Systems!
> [mm]x_{h}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
> jetzt benötige ich noch eine spezielle Lösung [mm]x_{p}[/mm]
>
> I. x + y -z = 1
> II. y - 2z = 1
>
> aus II. y=2z+1
> Festlegen von z: z=1
> -> y=3
>
> II in I: x+2z+1-z=1
> x=-z
> x=-1
>
> -> [mm]x_{p}=\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]=>x_{allg}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ -1}+\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
[mm]\Rightarrow x_{allg}=a\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}+\vektor{-1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
Stimmt.
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> Ich frage mich nur, wieso ich die Lösung über eine
> allgemeine und über eine spezielle angeben muss. Würde die
> spezielle nicht reichen? Und was hat das ganze in einem
> Studium zu tun. Ist ja Niveau eines Gymnasiums, die paar
> doofen gleichungen zu Lösen.
Die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems setzt sich nun mal aus der Lösung des homogenen Gleichungssystems und einer speziellen Lösung des inhomogen Gleichungssystems zusammen.
Sicher, so ein Gleichungssystem zu lösen lernt man schon in der Schule. Das wird aber auch in einem entsprehenden Studium gebraucht.
Gruß
MathePower
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