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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei f : M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung und M1;M2 [mm] \subseteq [/mm] M sowie N1 [mm] \subseteq [/mm] N. Zeigen Sie:
a) Falls f injektiv ist, gilt f (M1 [mm] \cap [/mm] M2) = f (M1) [mm] \cap [/mm] f (M2).
b) Falls f injektiv ist, gilt [mm] f^{-1}( [/mm] f (M1)) = M1.
c) Falls f surjektiv ist, gilt f ( [mm] f^{-1}(N1)) [/mm] = N1. |
Hallo,
Neben dem anderen Thema muss ich hier ja auch wieder was beweisen, jedoch weiß ich garnicht, wie ich da anfangen soll. Danke für jede Hilfe.
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> Es sei f : M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung und M1;M2 [mm]\subseteq[/mm] M
> sowie N1 [mm]\subseteq[/mm] N. Zeigen Sie:
> a) Falls f injektiv ist, gilt f (M1 [mm]\cap[/mm] M2) = f (M1) [mm]\cap[/mm]
> f (M2).
> b) Falls f injektiv ist, gilt [mm]f^{-1}([/mm] f (M1)) = M1.
> c) Falls f surjektiv ist, gilt f ( [mm]f^{-1}(N1))[/mm] = N1.
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> Hallo,
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> Neben dem anderen Thema muss ich hier ja auch wieder was
> beweisen, jedoch weiß ich garnicht, wie ich da anfangen
> soll. Danke für jede Hilfe.
Hallo,
ich gehe davon aus, daß Du weißt, was injektiv und surjektiv bedeutet.
Bei a) sollst Du unter der Voraussetzung, daß f injektiv ist, zeigen, daß die Mengen f(M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2) und [mm] f(M1)$\cap$f(M2) [/mm] gleich sind.
Für Mengengleichheit ist lt. Vorlesung zu zeigen, daß jede Menge Teilmenge der anderen ist.
Es ist also zu zeigen
a1)f(M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2) [mm] \subseteq f(M1)$\cap$f(M2)
[/mm]
und
[mm] a2)f(M1)$\cap$f(M2)\subseteq [/mm] f(M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2)
So etwas zeigt man meist elementweise, dh.
für [mm] a1)x\in [/mm] f(M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2) [mm] \Rightarrow x\in f(M1)$\cap$f(M2)
[/mm]
und
für a2) [mm] x\in f(M1)$\cap$f(M2)\Rightarrow. [/mm] f(M1 [mm] $\cap$ [/mm] M2)
Leg' mal los. Du wirst sehen, daß eine der Richtungen für alle f gilt, nicht nur für die injektiven.
Für die andere Richtung benötigst Du die Injektivität.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 So 31.10.2010 | | Autor: | SolRakt |
[mm] f(M_{1} \cap M_{2}) \subseteq f(M_{1}) \cap f(M_{2}) [/mm] ?
Wie beweist man das?
{x [mm] \varepsilon M_{1} \wedge [/mm] x [mm] \varepsilon M_{2}} [/mm] = ...?
Ich hab da noch ein paar Probleme.
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> [mm]f(M_{1} \cap M_{2}) \subseteq f(M_{1}) \cap f(M_{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
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> Wie beweist man das?
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> {x [mm]\varepsilon M_{1} \wedge[/mm] x [mm]\varepsilon M_{2}}[/mm] = ...?
>
> Ich hab da noch ein paar Probleme.
Hallo,
ich hatte doch zuvor geschrieben, daß Du zeigen mußt, daß jedes Element, welches in der Menge links ist, auch in der rechten Menge liegt, daß also zu zeigen ist
[mm] $x\in f(M_{1} \cap M_{2}) \Rightarrow f(M_{1}) \cap f(M_{2})$.
[/mm]
Beweis: Es sei f injektiv, und
es sei [mm] x\in f(M_{1} \cap M_{2}).
[/mm]
Jetzt mußt Du mal Deine Mitschrift bemühen und herausfinden, was es bedeutet, wenn x im Bild der Menge [mm] M_{1} \cap M_{2} [/mm] liegt.
Dann existiert ein [mm] y\in [/mm] ... mit ...
Also?
Jetzt mach mal was!
Mit "ich hab' ein paar Probleme" ist's nicht getan. Du mußt sie lösen, und zwar durch Aktivität.
Das Material, aus dem die beweise gebaut werden, sind die Definitionen und Sätze, die in der Vorlesung dran waren.
Gruß v. Angela
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