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| Aufgabe | [mm] \pmat{ 2x1 - x2 - x3 \\ x2 - x3 \\ -2x1 + x4 \\ x2+x3-x4 }
[/mm]
Bestimmen Sie Bild und Kern.
Ist die Abbilldung injektiv, surjektiv, bijektiv? |
Guten morgen erstmal :)
Meine Vorgehensweise war folgende.
Zuersteinmal stelle ich mir mein LGS auf um Kern und Bild zu bestimmen.
[mm] \pmat{ 2 & -1& -1 & 0 \\ 0 & 1 &-1& 0 \\ -2 & 0 & 0 &1 \\ 0 & 1 &1& -1 }
[/mm]
Jetzt Löse ich das LGS auf und komme auf die Form:
[mm] \pmat{ 2 & 0& 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0& -1/2 \\ 0 & 0 & 1 &-1/2 }
[/mm]
Mein Kern ist dann :
[mm] <\pmat{ 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1 }>
[/mm]
und mein Bild
[mm] <\pmat{ 2 \\ 0 \\ -2 \\ 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 } [/mm] >
Bisher alles kein Problem :)
Laut meinem Professor kann ich jetzt einfach "ablesen" ob das ganze injektiv, surjektiv bzw bijektiv ist?
Injektiv ist die Matrix doch wenn der Kern der Nullvektor also 0 ist?
Also wäre diese Matrix schonmal nicht injektiv?
Wie sehe ich jetzt die surjektivität, falss eine vorhanden ist?
In meinem Skript steht zwar die Definition doch ich kann irgendwie nix damit anfangen :/
Bijektiv wiederrum ist mir klar, sie wäre ja bijektiv wenn sie injektiv+surjektiv wäre.
Lg und schonmal danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Bisher alles kein Problem :)
War auch richtig =)
>
> Laut meinem Professor kann ich jetzt einfach "ablesen" ob
> das ganze injektiv, surjektiv bzw bijektiv ist?
Ja.
> Injektiv ist die Matrix doch wenn der Kern der Nullvektor
> also 0 ist?
Überleg's Dir einfach:
nimm die Vektoren x und y mit [mm] $x\neq [/mm] y$, dann gibt es ein z ungleich 0, so daß y=x+z.
Angenommen es gilt f(x)=f(y) für eine lineare Abbildung f, dann folgt
f(x)=f(y)=f(x+z)=f(x)+f(z)
also ist f(z)=0, d.h. z ist im Kern. Ist der Kern der Nullvektor, so kann das nicht sein, also ist f injektiv.
Ist der Kern nicht der Nullvektor, dann kannst Du Dir aber genau so x und y konstruieren und zeigen, daß f nicht injektiv ist.
> Also wäre diese Matrix schonmal nicht injektiv?
ja.
> Wie sehe ich jetzt die surjektivität, falss eine vorhanden
> ist?
$f:\ [mm] \IR^4\to\IR^4$ [/mm] ist surjektiv, falls das Bild der ganze [mm] $\IR^4$ [/mm] ist, d.h. Deine 4 Vektoren müßten ein Erzeugendensystem (hier sogar eine Basis) bilden.
Warum kann das nicht sein?
Ciao
Stefan
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> [mm]f:\ \IR^4\to\IR^4[/mm] ist surjektiv, falls das Bild der ganze
> [mm]\IR^4[/mm] ist, d.h. Deine 4 Vektoren müßten ein
> Erzeugendensystem (hier sogar eine Basis) bilden.
>
> Warum kann das nicht sein?
>
Achsooooo....Ich glaube jetzt ists mir klar!
Das kann aus dem Grunde nicht sein weil ja beim Lösen des LGS eine Zeile rausfällt -> Die 4 Vektoren sind linear abhängig können also keine Basis von R4 bilden.
Es wäre also surjektiv wenn beim Lösen meines LGS keine Zeile rausfällt also die Vektoren linear unabhänig wären.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Es wäre also surjektiv wenn beim Lösen meines LGS keine
> Zeile rausfällt also die Vektoren linear unabhänig wären.
Exakt. Das heißt damit auch, daß eine lineare Abb. $f:\ [mm] V\to [/mm] V$ injektiv ist genau dann wenn sie auch surjektiv ist, genau dann wenn die Matrix vollen Rang hat.
(V muß dafür endlichdimensional sein)
WICHTIG: Oben steht's richtig, aber vielleicht sollte ich es nochmal betonen, das gilt natürlich nur für [mm] $V\to [/mm] V$.
Natürlich kann eine Abbildung [mm] $\IR^4\to \IR^3$ [/mm] surjektiv sein, ohne injektiv zu sein, und andersrum für [mm] $\IR^3\to\IR^4$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Ganz großes DANKE für die schnelle Hilfe :)
Ich glaub ohne dieses Forum hätte ich ein Problem bei der Klausur...
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:08 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Blech |
Bitte, bitte.
Viel Glück bei der Klausur =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Danke :)
Werd aber glaube ich noch ein paar Fragen hier stellen müssen!
Lg
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