Injektiv, surjektiv, bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V = [mm] R^N. [/mm] Betrachten Sie die zwei Abbildungen:
1 : V --> V ; (x1; x2;...) --> (x2; x3;...)
2 : V´ --> V´ ; (x1; x2;...) --> (1; x2; x3;...)
Welche dieser Abbildungen sind injektiv? Welche sind surjektiv? Welche sind R-linear? |
Ich weiß schon, was injenktiv, surjektiv und bijektiv ist und welche definition sie haben. Zu 1: würde ich sagen, dass die Bildmenge mehr Elemente enthält als die zielmenge und somit ein Element zweimal getroffen wird, also surjektiv. Bei der 2: würd ich sagen ink. + surj. = Bijektiv.
Ich weiß nicht, obs richtig ist, aber ich weiß auch nciht wie ich es mathematisch aufschreiben kann.
Wäre super, wenn mir das einer erklären könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 04.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei V = [mm]R^N.[/mm] Betrachten Sie die zwei Abbildungen:
> 1 : V --> V ; (x1; x2;...) --> (x2; x3;...)
> 2 : V´ --> V´ ; (x1; x2;...) --> (1; x2; x3;...)
> Welche dieser Abbildungen sind injektiv? Welche sind
> surjektiv? Welche sind R-linear?
>
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> Ich weiß schon, was injenktiv, surjektiv und bijektiv ist
> und welche definition sie haben. Zu 1: würde ich sagen,
> dass die Bildmenge mehr Elemente enthält als die zielmenge
Neijn, das ist Unfug !
> und somit ein Element zweimal getroffen wird,
Unfug.
> also
> surjektiv.
Da stimmt. Wir nennen die Abbildung mal f. Nimm [mm] (y_1,y_2, [/mm] ...) [mm] \in [/mm] V. Dann ist [mm] f(0,y_1,y_2, [/mm] ...)= [mm] (y_1,y_2, [/mm] ...)
Bei der 2: würd ich sagen ink. + surj. =
Nein, weder noch ! Wir nennen die Abbildung g: Liegt denn (0,0,0,...= im Bild von g ?
Weiter ist g(0,0,0,...)=g(1,0,0,..)
FRED
> Bijektiv.
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> Ich weiß nicht, obs richtig ist, aber ich weiß auch nciht
> wie ich es mathematisch aufschreiben kann.
> Wäre super, wenn mir das einer erklären könnte.
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Ich habs ehrlich gesagt immer noch nicht gerafft. Wie gehe ich an so eine Aufgabe grundsätzlich heran?
Wir nehmen mal die erste Abbildung:
<font class="ForumMessage" color="#000000">g. V-->V (x1; x2;...) --> (x2;
x3;...)
g(x1,x2,...)=(x2,x3,....) Muss ich das Komponenetweise betrachten? D.H
g(x1)=0, g(x2)=x2 usw. ? </font>
Ich weiß es nicht, hoffe auf eure hilfe :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 04.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sei eine Abbildung f:A [mm] \to [/mm] B gegeben.
Für Injektivität musst du zeigen:
Ist $x [mm] \not= [/mm] x'$ $(x, [mm] x'\in [/mm] A)$, so muss [mm] $f(x)\not=f(x')$ [/mm] sein. Oder in Worten: 2 verschiedene x-Werte werden auf 2 verschiedene y-Werte geworfen, für alle x. So was ist z.B. bei f(x)=x der Fall, aber nicht bei [mm] f(x)=x^2, [/mm] weil dort f(-1)=1=f(1) (f soll dabei von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] gehen).
Oder noch anders gesagt: Jeder Wert aus B wird höchstens einmal angenommen.
Für Surjektivität musst du zeigen, dass es für alle $b [mm] \in [/mm] B$ ein $a [mm] \in [/mm] A$ gibt mit f(a)=b. In Worten: Die Abbildung f muss jeden Wert aus b annehmen. Oder nochmal anders: Jeder Wert aus B wird mindestens einmal angenommen.
Beispiel: $f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x)=x$ ist surjektiv (und sogar bijektiv, weil es auch injektiv ist), $f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht surjektiv, weil z.B. die [mm] $-1\in\IR$ [/mm] nicht angenommen wird.
Alles klar?
Beispielsweise für die 1. Abbildung:
Injektivität:
Schau dir mal an, was die Bilder von z.B. (1,0,0,...) und (0,0,0,...) sind. Diese sind ja unterschiedlich, aber was passiert mit den Bildern? Was bedeutet das dann?
Surjektivität:
Versuch mal zu einem beliebiges Wert aus der Zielmenge (die ja gleich der Definitionsmenge ist) ein Urbild zu finden. Wenn du das schaffst, wäre die Abbildung surjektiv. Wenn nicht, dann nicht.
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Zunächst vielen dank für deine ausführlche Antwort was injektiv, surjektiv sind. Alles super verständlich nur kann ich mit den definitonen nicht richtig viel anfangen. Wenn ich ne Funktion gegeben habe, wie du es mir gezeigt hast als beispiel ist es keine Problem. Aber bei der 1. Abbildung stehe ich immer noch auf dem Schlauch:
g: V --> V , (x1; x2;...) --> (x2; x3;...)
Ich sollte mir (1,0,0....) anschauen
(1,0,0,...)--->(0,0,0,...) Für alle meine Elemente aus (1,0,0,...) gibt es höchstens ein Element aus (0,0,0...) Aber was nun? Hier ist mein Problem? Scxhaue ich mir das Paarsweise an also: g(1)=0 und g(0)=0, wegen g(x1)=x2 usw. Wäre echt super, wenn mir das mal einer zeigen könnte, die zweite Abbildung versuche ich dann aleine.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> g: V --> V , (x1; x2;...) --> (x2; x3;...)
> Ich sollte mir (1,0,0....) anschauen
> (1,0,0,...)--->(0,0,0,...) Für alle meine Elemente aus
> (1,0,0,...) gibt es höchstens ein Element aus (0,0,0...)
was soll das denn? was soll ein Element aus (1,0,0,...) sein, das hat doch keine elemente , sonder ist ein Element von V
sieh dir nochmal an, von wo nach wo du abbildest. es sieht aus als denkst du an ne Abbildung von R nach R?
Gruss leduart
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Genau das könnte mein problem sein, dass ich von R nach R denke. Wie ist es den sonst gemeint? Wie würdet ihr an diese abbildung rangehen. Einmal nur den weg dorthinh aufschreiben. die zweite abbildung mahc ich dann selbstständig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit V = $ [mm] R^N. [/mm] $ ist die Menge aller reellen Folgen gemeint. Sei [mm] (x_n) [/mm] eine solche Folge. Die este Abildung ordnet der Folge [mm] (x_n) [/mm] die Folge [mm] (x_{n+1}) [/mm] zu.
FRED
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