Injektive-,Surjektive Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Di 04.05.2010 | | Autor: | stffn |
Sind die folgenden Zuordnungen injektive, surjektive, bijektive oder gar keine
Funktionen? Begründen Sie Ihre Antwort anhand einer Skizze!
(a) f: [mm] \IR \to \IR^{+}, [/mm] f(x)= [mm] \begin{cases} x+1, & \mbox{für } x\ge 1 \mbox \\ 2, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
(b) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x)= [mm] \begin{cases} {e^{x}}, & \mbox{für } x\ge 0 \mbox \\ {x^{3}}, & \mbox{für } x\le 1 \end{cases}
[/mm]
Hi!
Die Fragen häufen sich...
Ich weiß zwar ungefähr was injektiv und surjektiv bedeutet, habe aber keine Ahnung wie ich das auf die Funktion anwenden soll, und was die geschweifte Klammer in dem Fall auf sich hat.
EDIT: SIeht man die Formelzeichen???
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Hallo,
das sind beides keine Funktionen.
Bei a) werden die Werte $ \ x [mm] \in [/mm] [0,1[ $ nicht abgebildet.
Bei b) machen die Nahtstellen keinen Sinn.
Sonst wäre $\ f(x) = [mm] e^x [/mm] = [mm] x^3 [/mm] $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] [0,1] $
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 05.05.2010 | | Autor: | stffn |
Also gut, das habe ich mir shcon gedacht! Danke!
Ich habe unterdessen mal ein bisschen weiter gemacht und habe jetzt noch 2 aufgaben übrig:
(a) f: [mm] [\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] \to [/mm] [0,1], f(x)=cos(x)
(b) f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x)=arctan(x)
bei diesen beiden bin ich mir nicht 100 prozentig sicher.
(a) denk ich ist surjektiv aber nicht injektiv und (b) denke ich ist weder injektiv noch surjektiv.
ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mi 05.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also gut, das habe ich mir shcon gedacht! Danke!
>
> Ich habe unterdessen mal ein bisschen weiter gemacht und
> habe jetzt noch 2 aufgaben übrig:
>
> (a) f: [mm][\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] \to[/mm] [0,1],
> f(x)=cos(x)
>
> (b) f: [mm]\IR \to \IR,[/mm] f(x)=arctan(x)
>
> bei diesen beiden bin ich mir nicht 100 prozentig sicher.
>
> (a) denk ich ist surjektiv aber nicht injektiv
Stimmt, kannst Du auch begründen warum ?
> und (b)
> denke ich ist weder injektiv noch surjektiv.
stimmt nicht ! f(x)=arctan(x) ist injektiv !!
FRED
> ist das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mi 05.05.2010 | | Autor: | stffn |
Ich habe das so verstanden, dass injektiv bedeutet dass f(x)=y für [mm] y\in\IR [/mm] max. eine lösung hat, und surjektiv, dass es für jedes [mm] y\in\IR [/mm] mind. eine Lösung gibt...?
Ja die arctan(x) funktion muss ich mir dann noch mal angucken, danke aber!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mi 05.05.2010 | | Autor: | javeda |
Also wenn die Funktion injektiv ist, hat jedes x genau ein f(x).
Z.B. die Fkt. f(x)=x+1 mit [mm] D=\IR [/mm] wäre injektiv.
die Fkt f(x) = x² mit [mm] D=\IR [/mm] ist nicht injektiv, da f(2)=f(-2)=4
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes f(x) mindestens ein x mit f(x)=y
besitzt.
Z.B. die Fkt f(x)=x+1 [mm] D=W=\IR [/mm] ist surjektiv, da jeder Funktionswert einen
x-Wert besitzt
die Fkt f(x) = x² mit [mm] D=\IR [/mm] ist nicht injektiv, da x² = -4 für [mm] x\in\IR [/mm] nicht
lösbar ist
Eine Funktion ist bijektiv, wenn es zu jedem x-Wert genau einen Funktionswert gibt und zu jedem Funktionswert genau einen x-Wert.
(Also, wenn sie injektiv und surjektiv ist)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Do 06.05.2010 | | Autor: | stffn |
Danke, ihr seid ne super hilfe... im gegensatz zu so manch einem tutor:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Fr 07.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also wenn die Funktion injektiv ist, hat jedes x genau ein
> f(x).
Diese Eigenschaft hat jede Funktion !!! Das hat mit "injektiv" gar nichts zu tun.
Sei f:A [mm] \to [/mm] B eine Funktion. f heißt injektiv, wenn aus a,b [mm] \in [/mm] A und f(a)=f(b) stets folgt, dass a=b ist.
> Z.B. die Fkt. f(x)=x+1 mit [mm]D=\IR[/mm] wäre injektiv.
> die Fkt f(x) = x² mit [mm]D=\IR[/mm] ist nicht injektiv, da
> f(2)=f(-2)=4
Das hat aber mit Deiner "Def." von oben nichts zu tun. Hier ist es wie bei jeder Funktion: jedem x wird genau ein Funktionswert f(x) zugeordnet
>
> Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes f(x) mindestens ein
> x mit f(x)=y
> besitzt.
Auch diese Eigenschaft hat jede Funktion ! Jeder Funktionswert f(x) hat mindestens ein Urbild x !!!
Sei f:A [mm] \to [/mm] B eine Funktion. f heißt surjektiv, wenn es zu jedem c [mm] \in [/mm] B ein a [mm] \in [/mm] A gibt mit f(a) = c
> Z.B. die Fkt f(x)=x+1 [mm]D=W=\IR[/mm] ist surjektiv, da jeder
> Funktionswert einen
> x-Wert besitzt
Ja, ja, und jeder Hundebesitzer besitzt einen Hund
> die Fkt f(x) = x² mit [mm]D=\IR[/mm] ist nicht injektiv, da
> x² = -4 für [mm]x\in\IR[/mm] nicht
> lösbar ist
>
> Eine Funktion ist bijektiv, wenn es zu jedem x-Wert genau
> einen Funktionswert gibt und zu jedem Funktionswert genau
> einen x-Wert.
Das beschreibt nur die Injektivität !!!!
FRED
> (Also, wenn sie injektiv und surjektiv ist)
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Injektivität