Injektiver Gruppenhomo. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe.
Zu zeigen: Es gibt für ein n [mm] \in \IN [/mm] einen injektiven Gruppenhomomorphismus G [mm] \to A_{n}. [/mm] |
Hallo,
wie ich einen Gruppenhomomorphismus (also [mm] \phi(a*b)= \phi(a)*\phi(b)) [/mm] und die Injektivität (also dass kern [mm] \phi [/mm] = e, wobei e das neutrale Element)zeige ist mir klar; mein Problem bei der Aufgabe ist es, eine passende Abbildung von G [mm] \to A_{n} [/mm] zu finden. [mm] A_{n} [/mm] ist ja die alternierende Gruppe, also alle geraden Permutationen in [mm] S_{n}.
[/mm]
Kann mir da jemand einen Tipp geben, welche konkrete Abb. ich mir da anschauen muss? Was ist das neutrale Element der [mm] A_{n}? [/mm] Das brauch ich ja, um die Injektivität zu zeigen.
Vielen Dank für die Hilfe!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Sei G eine endliche Gruppe.
> Zu zeigen: Es gibt für ein n [mm]\in \IN[/mm] einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus G [mm]\to A_{n}.[/mm]
>
> Hallo,
> wie ich einen Gruppenhomomorphismus (also [mm]\phi(a*b)= \phi(a)*\phi(b))[/mm]
> und die Injektivität (also dass kern [mm]\phi[/mm] = e, wobei e das
> neutrale Element)zeige ist mir klar; mein Problem bei der
> Aufgabe ist es, eine passende Abbildung von G [mm]\to A_{n}[/mm] zu
> finden. [mm]A_{n}[/mm] ist ja die alternierende Gruppe, also alle
> geraden Permutationen in [mm]S_{n}.[/mm]
> Kann mir da jemand einen Tipp geben, welche konkrete Abb.
> ich mir da anschauen muss? Was ist das neutrale Element der
> [mm]A_{n}?[/mm] Das brauch ich ja, um die Injektivität zu zeigen.
> Vielen Dank für die Hilfe!
Ich hoff mal das folgende ist jetzt nicht zu abstrakt :) Ich hab versucht das Problem in einfachere Probleme zu zerlegen bzw. darauf zu reduzieren. Versuch das mal Schritt fuer Schritt nachzuvollziehen.
Das neutrale Element von [mm] $A_n$ [/mm] ist das gleiche wie das neutrale Element von [mm] $S_n$, [/mm] naemlich die Identitaet.
Kennst du diese Aussage schon (Darstellungssatz von Cayely)? Ist $|G| = m$, so gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm] $\phi_G [/mm] : G [mm] \to S_m$.
[/mm]
Damit kannst du diese Aufgabe naemlich schon loesen, ohne viel zu rechnen.
Erste Idee waer vielleicht zu zeigen, dass [mm] $\phi_G(G) \subseteq A_m \subseteq S_m$ [/mm] gilt; dann warst du bereits fertig. Aber das gilt im Allgemeinen wohl nicht...
Aber mit einem Trick kann man das ganze erreichen: und zwar kannst du [mm] $S_m$ [/mm] injektiv in [mm] $A_n$ [/mm] abbilden mit $n = 2 m$. Ist [mm] $\psi [/mm] : [mm] S_m \to A_n$ [/mm] ein solcher injektiver Gruppenhomomorphismus, so ergibt [mm] $\psi \circ \phi_G [/mm] : G [mm] \to A_n$ [/mm] den geforderten injektiven Gruppenhomomorphismus.
Du musst dir also ``nur'' ueberlegen, wie du eine solche Einbettung [mm] $A_m \to S_{2 m}$ [/mm] findest.
Dazu konstruiere zwei injektive Homomorphismen: [mm] $\psi_1 [/mm] : [mm] S_m \to S_m \times S_m$ [/mm] mit [mm] $\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)$, [/mm] und [mm] $\psi_2 [/mm] : [mm] S_m \times S_m \to S_{2 m}$. [/mm] Du hast dann [mm] $\hat{\psi} [/mm] := [mm] \psi_2 \circ \psi_1 [/mm] : [mm] S_m \to S_{2 m}$ [/mm] und kannst, wenn du [mm] $\psi_2$ [/mm] richtig konstruiert hast, zeigen, dass [mm] $\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_{2 m}$ [/mm] ist; damit bekommst du einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm] $\psi [/mm] : [mm] S_m \to A_{2 m}$, $\sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)$.
[/mm]
Nun zu [mm] $\psi_2 [/mm] : [mm] S_m \times S_m \to S_{2 m}$. [/mm] Dazu erstmal zu [mm] $S_m$: [/mm] das ist ja die Menge der bijektiven Abbildungen [mm] $\{ 1, \dots, m \} \to \{ 1, \dots, m \}$. [/mm] Du kannst nun fuer [mm] $\sigma, \tau \in S_m$ [/mm] die Bijektion [mm] $\psi_2(\sigma, \tau) [/mm] : [mm] \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}$ [/mm] so zusammenbasteln, dass [mm] $\sigma$ [/mm] die Elemente [mm] $\{ 1, \dots, m \}$ [/mm] permutiert und [mm] $\tau$ [/mm] die Elemente [mm] $\{ m + 1, \dots, 2 m \}$.
[/mm]
Wenn du das hast, rechnest du leicht nach dass dies ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Danach musst du dir noch ueberlegen, dass fuer [mm] $\sigma \in S_m$ [/mm] gilt, dass [mm] $\psi_2(\sigma, \sigma) \in A_{2 m}$ [/mm] liegt. Aber das folgt aus der Ueberlegung [mm] $sign(\psi_2(\sigma, \tau)) [/mm] = [mm] sign(\sigma) \cdot sign(\tau)$. [/mm] (Es reicht, das fuer Transpositionen zu schreiben, da $sign$ ein Gruppenhomomorphismus ist.)
Da [mm] $A_{2 m} [/mm] = [mm] sign^{-1}(\{ 1 \})$ [/mm] ist, folgt damit [mm] $(\psi_2 \circ \psi_1)(S_m) \subseteq A_{2 m}$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo felixf,
vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort. Aber ich habe nicht alles verstanden 
> Ich hoff mal das folgende ist jetzt nicht zu abstrakt :)
> Ich hab versucht das Problem in einfachere Probleme zu
> zerlegen bzw. darauf zu reduzieren. Versuch das mal Schritt
> fuer Schritt nachzuvollziehen.
>
> Das neutrale Element von [mm]A_n[/mm] ist das gleiche wie das
> neutrale Element von [mm]S_n[/mm], naemlich die Identitaet.
Ja das ist mir klar.
> Kennst du diese Aussage schon (Darstellungssatz von
> Cayely)? Ist [mm]|G| = m[/mm], so gibt es einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus [mm]\phi_G : G \to S_m[/mm].
Den Satz hatten wir in der Vorlesung noch nicht und sollten eigentlich auch nichts unbekanntes verwenden. Würde es auch ohne den Satz gehen?
Aber ich habe versucht, nachzuvollziehen, was du mir geschrieben hast.
>
> Damit kannst du diese Aufgabe naemlich schon loesen, ohne
> viel zu rechnen.
>
> Erste Idee waer vielleicht zu zeigen, dass [mm]\phi_G(G) \subseteq A_m \subseteq S_m[/mm]
> gilt; dann warst du bereits fertig. Aber das gilt im
> Allgemeinen wohl nicht...
>
> Aber mit einem Trick kann man das ganze erreichen: und zwar
> kannst du [mm]S_m[/mm] injektiv in [mm]A_n[/mm] abbilden mit [mm]n = 2 m[/mm]. Ist
> [mm]\psi : S_m \to A_n[/mm] ein solcher injektiver
> Gruppenhomomorphismus, so ergibt [mm]\psi \circ \phi_G : G \to A_n[/mm]
> den geforderten injektiven Gruppenhomomorphismus.
Warum ist [mm] \psi: S_{m} \to A_{n}, [/mm] mit n = 2m injektiv? Und warum ist n = 2m? Ich meine, warum darf man das so definieren?
>
> Du musst dir also ''nur'' ueberlegen, wie du eine solche
> Einbettung [mm]A_m \to S_{2 m}[/mm] findest.
Ich versteh diese Einbettung nicht so ganz. Muss sie nicht [mm] S_{m} \to A_{2m} [/mm] lauten? Weil das [mm] \psi [/mm] ist ja [mm] \psi: S_{m} \to A_{n}. [/mm]
>
> Dazu konstruiere zwei injektive Homomorphismen: [mm]\psi_1 : S_m \to S_m \times S_m[/mm]
> mit [mm]\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)[/mm], und [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm].
> Du hast dann [mm]\hat{\psi} := \psi_2 \circ \psi_1 : S_m \to S_{2 m}[/mm]
> und kannst, wenn du [mm]\psi_2[/mm] richtig konstruiert hast,
> zeigen, dass [mm]\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm] ist; damit
> bekommst du einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm]\psi : S_m \to A_{2 m}[/mm],
> [mm]\sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)[/mm].
Mir ist nicht klar, warum [mm] \hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{2m} [/mm] ist. Ist es nicht [mm] \subset [/mm] von [mm] S_{2m}, [/mm] da [mm] \hat{\psi} [/mm] : [mm] S_{m} \to S_{2m}? [/mm] Und warum bekommt man dadurch einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm] \psi [/mm] : [mm] S_m \to A_{2 m}, \sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)?
[/mm]
> Nun zu [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm]. Dazu erstmal zu
> [mm]S_m[/mm]: das ist ja die Menge der bijektiven Abbildungen [mm]\{ 1, \dots, m \} \to \{ 1, \dots, m \}[/mm].
> Du kannst nun fuer [mm]\sigma, \tau \in S_m[/mm] die Bijektion
> [mm]\psi_2(\sigma, \tau) : \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}[/mm]
> so zusammenbasteln, dass [mm]\sigma[/mm] die Elemente [mm]\{ 1, \dots, m \}[/mm]
> permutiert und [mm]\tau[/mm] die Elemente [mm]\{ m + 1, \dots, 2 m \}[/mm].
>
> Wenn du das hast, rechnest du leicht nach dass dies ein
> injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Muss ich da zeigen, dass der Kern( [mm] \hat{\psi}) [/mm] = e ist?
>
> Danach musst du dir noch ueberlegen, dass fuer [mm]\sigma \in S_m[/mm]
> gilt, dass [mm]\psi_2(\sigma, \sigma) \in A_{2 m}[/mm] liegt. Aber
> das folgt aus der Ueberlegung [mm]sign(\psi_2(\sigma, \tau)) = sign(\sigma) \cdot sign(\tau)[/mm].
> (Es reicht, das fuer Transpositionen zu schreiben, da [mm]sign[/mm]
> ein Gruppenhomomorphismus ist.)
>
> Da [mm]A_{2 m} = sign^{-1}(\{ 1 \})[/mm] ist, folgt damit [mm](\psi_2 \circ \psi_1)(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm].
Diese Folgerung ist mir auch noch nicht so klar.
Mir ist das alles noch relativ unklar, wie du bestimmt gemerkt hast. Ich hoffe, du findest Zeit mir auf meine vielen Fragen zu antworten.
Vielen Dank,
Milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> vielen Dank erstmal für deine ausführliche Antwort. Aber
> ich habe nicht alles verstanden
Das ist kein Problem :)
> > Kennst du diese Aussage schon (Darstellungssatz von
> > Cayely)? Ist [mm]|G| = m[/mm], so gibt es einen injektiven
> > Gruppenhomomorphismus [mm]\phi_G : G \to S_m[/mm].
>
> Den Satz hatten wir in der Vorlesung noch nicht und sollten
> eigentlich auch nichts unbekanntes verwenden. Würde es auch
> ohne den Satz gehen?
Ja schon, man kann natuerlich den Beweis selber machen oder das ganze direkt mit einbauen.
Der Beweis funktioniert uebrigens so, dass man zu $g [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung [mm] $\varphi_g [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$, $h [mm] \mapsto [/mm] g h$ definiert (Linkstranslation) und dann [mm] $\varphi_G [/mm] : G [mm] \to [/mm] S(G)$ durch $g [mm] \mapsto \varphi_g$. [/mm] Dabei ist $S(G)$ die Gruppe der Bijektionen $G [mm] \to [/mm] G$, also isomorph zu [mm] $S_m$ [/mm] mit $m = |G|$.
(Also nachrechnen dass die [mm] $\varphi_g$ [/mm] bijektiv sind, dass [mm] $\varphi_G$ [/mm] ein Homomorphismus und injektiv ist muss man natuerlich auch noch.)
Allerdings kann man das auch gleich mit dem ganzen von unten kombinieren, ist dann nicht viel mehr Aufwand als der Beweis oben (die Rechnungen werden halt etwas laenger), liefert aber gleich die Komposition [mm] $\psi \circ \varphi_G [/mm] : G [mm] \to S_{2 m}$, [/mm] deren Bild in [mm] $A_{2 m}$ [/mm] liegt.
> Aber ich habe versucht, nachzuvollziehen, was du mir
> geschrieben hast.
>
> > Damit kannst du diese Aufgabe naemlich schon loesen, ohne
> > viel zu rechnen.
> >
> > Erste Idee waer vielleicht zu zeigen, dass [mm]\phi_G(G) \subseteq A_m \subseteq S_m[/mm]
> > gilt; dann warst du bereits fertig. Aber das gilt im
> > Allgemeinen wohl nicht...
> >
> > Aber mit einem Trick kann man das ganze erreichen: und zwar
> > kannst du [mm]S_m[/mm] injektiv in [mm]A_n[/mm] abbilden mit [mm]n = 2 m[/mm]. Ist
> > [mm]\psi : S_m \to A_n[/mm] ein solcher injektiver
> > Gruppenhomomorphismus, so ergibt [mm]\psi \circ \phi_G : G \to A_n[/mm]
> > den geforderten injektiven Gruppenhomomorphismus.
>
> Warum ist [mm]\psi: S_{m} \to A_{n},[/mm] mit n = 2m injektiv? Und
> warum ist n = 2m? Ich meine, warum darf man das so
> definieren?
Weil es mit $n = 2 m$ am einfachsten geht. Es geht sicher im Allgemeinen auch mit kleinerem $n$, aber man soll bei der Aufgabe ja nicht das kleinste finden, sondern irgendeins das geht
Die Idee ist halt, das man anstelle der Einbettung $G [mm] \to S_m$ [/mm] die ``Doppeleinbettung'' $G [mm] \to S_m \times S_m \to S_{2 m} [/mm] = [mm] S_n$ [/mm] benutzt (wie unten beschrieben), da das Bild dann auf recht einfache Weise in [mm] $A_{2 m}$ [/mm] liegt.
> > Du musst dir also ''nur'' ueberlegen, wie du eine solche
> > Einbettung [mm]A_m \to S_{2 m}[/mm] findest.
>
> Ich versteh diese Einbettung nicht so ganz. Muss sie nicht
> [mm]S_{m} \to A_{2m}[/mm] lauten? Weil das [mm]\psi[/mm] ist ja [mm]\psi: S_{m} \to A_{n}.[/mm]
Ah ja. Sorry, hab mich verschrieben! Gemeint war schon [mm] $S_m \to A_{2 m}$ [/mm]
> > Dazu konstruiere zwei injektive Homomorphismen: [mm]\psi_1 : S_m \to S_m \times S_m[/mm]
> > mit [mm]\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)[/mm], und [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm].
> > Du hast dann [mm]\hat{\psi} := \psi_2 \circ \psi_1 : S_m \to S_{2 m}[/mm]
> > und kannst, wenn du [mm]\psi_2[/mm] richtig konstruiert hast,
> > zeigen, dass [mm]\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm] ist; damit
> > bekommst du einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm]\psi : S_m \to A_{2 m}[/mm],
> > [mm]\sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)[/mm].
>
> Mir ist nicht klar, warum [mm]\hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{2m}[/mm]
> ist. Ist es nicht [mm]\subset[/mm] von [mm]S_{2m},[/mm] da [mm]\hat{\psi}[/mm] : [mm]S_{m} \to S_{2m}?[/mm]
Erstmal ja. Allerdings ist [mm] $sign(\hat{\psi}(\sigma)) [/mm] = 1$ fuer alle [mm] $\sigma \in S_m$, [/mm] und [mm] $A_{2 m}$ [/mm] sind ja gerade alle Elemente [mm] $\tau \in S_{2 m}$ [/mm] mit [mm] $sign(\tau) [/mm] = 1$.
> Und warum bekommt man dadurch einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus [mm]\psi[/mm] : [mm]S_m \to A_{2 m}, \sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)?[/mm]
Weil [mm] $\hat{\psi}$ [/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Und das wiederum ist der Fall, weil [mm] $\hat{\psi}$ [/mm] die Verkettung von injektiven Gruppenhomomorphismen ist. :)
> > Nun zu [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm]. Dazu erstmal zu
> > [mm]S_m[/mm]: das ist ja die Menge der bijektiven Abbildungen [mm]\{ 1, \dots, m \} \to \{ 1, \dots, m \}[/mm].
> > Du kannst nun fuer [mm]\sigma, \tau \in S_m[/mm] die Bijektion
> > [mm]\psi_2(\sigma, \tau) : \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}[/mm]
> > so zusammenbasteln, dass [mm]\sigma[/mm] die Elemente [mm]\{ 1, \dots, m \}[/mm]
> > permutiert und [mm]\tau[/mm] die Elemente [mm]\{ m + 1, \dots, 2 m \}[/mm].
>
> >
> > Wenn du das hast, rechnest du leicht nach dass dies ein
> > injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
>
> Muss ich da zeigen, dass der Kern( [mm]\hat{\psi})[/mm] = e ist?
Ja. Aber du kannst das auch fuer alle Abbildungen zwischendurch zeigen, da ist es einfach. Fuer [mm] $\hat{\psi}$ [/mm] ist es aber auch nicht viel schwerer...
> > Danach musst du dir noch ueberlegen, dass fuer [mm]\sigma \in S_m[/mm]
> > gilt, dass [mm]\psi_2(\sigma, \sigma) \in A_{2 m}[/mm] liegt. Aber
> > das folgt aus der Ueberlegung [mm]sign(\psi_2(\sigma, \tau)) = sign(\sigma) \cdot sign(\tau)[/mm].
> > (Es reicht, das fuer Transpositionen zu schreiben, da [mm]sign[/mm]
> > ein Gruppenhomomorphismus ist.)
> >
> > Da [mm]A_{2 m} = sign^{-1}(\{ 1 \})[/mm] ist, folgt damit [mm](\psi_2 \circ \psi_1)(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm].
>
> Diese Folgerung ist mir auch noch nicht so klar.
Was genau, die letzte Zeile? Das erste ist die Definition von [mm] $A_{2 m}$, [/mm] und das hintere folgt direkt mit [mm] $sign(\psi_2 \circ \psi_1(\sigma)) [/mm] = 1$ fuer alle [mm] $\sigma \in S_m$ [/mm] und der Definition von [mm] $A_{2 m}$.
[/mm]
Wenn es was anderes war was dich stoert, sag bitte genau was :)
So, und jetzt mal dazu wie man das ganze vielleicht alles auf einmal machen kann. Die Verkettung von allen Abbildungen sieht so aus:
Zuerst fixierst du irgendeine Bijektion [mm] $\alpha [/mm] : G [mm] \to \{ 1, \dots, m \}$. [/mm] (Ganz egal welche; solche gibt es, wenn $|G| = m$ ist.)
Dann definierst du zu $g [mm] \in [/mm] G$ die Abbildung [mm] $\varphi_g [/mm] : [mm] \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}$ [/mm] durch $x [mm] \mapsto \begin{cases} \alpha(g \alpha^{-1}(x)) & \text{wenn } 1 \le x \le m, \\ m + \alpha(g \alpha^{-1}(x - m)) & \text{wenn } m < x \le 2 m \end{cases}$, [/mm] und dann [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to S_{2 m}$ [/mm] durch $g [mm] \mapsto \varphi_g$.
[/mm]
Du kannst jetzt auch einfach direkt nachrechnen, dass dies ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. (Also: zuerst zeigen, dass fuer jedes $g$ die Funktion [mm] $\varphi_g$ [/mm] eine Bijektion ist, also in [mm] $S_{2 m}$ [/mm] ist, und dass es tatsaechlich in [mm] $A_{2 m}$ [/mm] liegt; und dann zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.)
LG Felix
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Hallo felixf,
erstmal danke für deine Hilfe. Ich hab jetzt mal versucht, das zu machen, was du mir geschrieben hast. Aber mir ist das noch nicht ganz so klar.
> Der Beweis funktioniert uebrigens so, dass man zu [mm]g \in G[/mm]
> die Abbildung [mm]\varphi_g : G \to G[/mm], [mm]h \mapsto g h[/mm] definiert
> (Linkstranslation) und dann [mm]\varphi_G : G \to S(G)[/mm] durch [mm]g \mapsto \varphi_g[/mm].
> Dabei ist [mm]S(G)[/mm] die Gruppe der Bijektionen [mm]G \to G[/mm], also
> isomorph zu [mm]S_m[/mm] mit [mm]m = |G|[/mm].
Ich hab versucht, zu zeigen, dass [mm] \phi_{g} [/mm] bijektiv ist:
Injektiv: [mm] \phi_{g}(h) [/mm] = [mm] \phi_{g}(h'), [/mm] also gh = gh'.
Durch Linksmult. von [mm] g^{-1} [/mm] ergibt sich h = h'.
Surjektiv: Z.Z.: [mm] \exists [/mm] h [mm] \in [/mm] G [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] G : [mm] \phi_{g}(h) [/mm] = y.
wähle h := [mm] g^{-1}y.
[/mm]
Also ist [mm] \phi_{g} [/mm] bijektiv. Stimmt das?
> > > Aber mit einem Trick kann man das ganze erreichen: und zwar > > > kannst du [mm]S_m[/mm] injektiv in [mm]A_n[/mm] abbilden mit [mm]n = 2 m[/mm]. Ist
> > > [mm]\psi : S_m \to A_n[/mm] ein solcher injektiver
> > > Gruppenhomomorphismus, so ergibt [mm]\psi \circ \phi_G : G \to A_n[/mm]
> > > den geforderten injektiven Gruppenhomomorphismus.
> Die Idee ist halt, das man anstelle der Einbettung [mm]G \to S_m[/mm]
> die ''Doppeleinbettung'' [mm]G \to S_m \times S_m \to S_{2 m} = S_n[/mm]
> benutzt (wie unten beschrieben), da das Bild dann auf recht
> einfache Weise in [mm]A_{2 m}[/mm] liegt.
>
> > > Du musst dir also ''nur'' ueberlegen, wie du eine solche
> > > Einbettung [mm]A_m \to S_{2 m}[/mm] findest.
> >
> > Ich versteh diese Einbettung nicht so ganz. Muss sie
> nicht
> > [mm]S_{m} \to A_{2m}[/mm] lauten? Weil das [mm]\psi[/mm] ist ja [mm]\psi: S_{m} \to A_{n}.[/mm]
>
> Ah ja. Sorry, hab mich verschrieben! Gemeint war schon [mm]S_m \to A_{2 m}[/mm]
Jetzt konstruiert man sich eine Abb. [mm] \psi [/mm] : [mm] S_{m} \to A_{n}, \sigma \to \hat{\psi}(\sigma). [/mm] Und die ist injektiver Gruppenhomo., weil [mm] \hat{\psi} [/mm] injektiver Gruppenhomo. ist. Versteh ich das richtig?
Ich hab aber jetzt eine Frage zu der Doppeleinbettung. Du hast geschrieben, dass man statt der Einbettung G [mm] \to S_{m} [/mm] (Ist das [mm] \phi_{G}??)
[/mm]
die Doppeleinbettung G [mm] \to S_{m} \times S_{m} \to S_{n} [/mm] benutzt.
Diese Doppeleinbettung ist doch dieses [mm] \hat{\psi}, [/mm] welches doch so definiert ist [mm] \hat{\psi} [/mm] := [mm] \psi_{2} \circ \psi_{1}: S_{m} \to S_{n}, [/mm] oder?
Aber da ist die Ausgangsmenge [mm] S_{m} [/mm] und nicht wie oben angegeben G.
Das versteh ich nicht so ganz.
Nun um zu zeigen, dass [mm] \hat{\psi} [/mm] injektiv ist, muss ich doch zeigen, dass [mm] \psi_{1} [/mm] und [mm] \psi_{2} [/mm] injektiv sind. Ich hab das mal versucht mit dem Kern, aber ich krieg das irgendwie nicht hin. Was für konkrete Abb. sind das denn? Denn ich brauch doch eine bestimmte Abb. um z.B. zu zeigen, dass wenn [mm] \psi_{\sigma} [/mm] = (e,e), folgt [mm] \sigma [/mm] = e.
>
> > > Dazu konstruiere zwei injektive Homomorphismen: [mm]\psi_1 : S_m \to S_m \times S_m[/mm]
> > > mit [mm]\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)[/mm], und [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm].
> > > Du hast dann [mm]\hat{\psi} := \psi_2 \circ \psi_1 : S_m \to S_{2 m}[/mm]
> > > und kannst, wenn du [mm]\psi_2[/mm] richtig konstruiert hast,
> > > zeigen, dass [mm]\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm] ist; damit
> > > bekommst du einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm]\psi : S_m \to A_{2 m}[/mm],
> > > [mm]\sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)[/mm].
> >
> > Mir ist nicht klar, warum [mm]\hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{2m}[/mm]
> > ist. Ist es nicht [mm]\subset[/mm] von [mm]S_{2m},[/mm] da [mm]\hat{\psi}[/mm] : [mm]S_{m} \to S_{2m}?[/mm]
>
> Erstmal ja. Allerdings ist [mm]sign(\hat{\psi}(\sigma)) = 1[/mm]
> fuer alle [mm]\sigma \in S_m[/mm], und [mm]A_{2 m}[/mm] sind ja gerade alle
> Elemente [mm]\tau \in S_{2 m}[/mm] mit [mm]sign(\tau) = 1[/mm].
Warum gilt [mm] sign(\hat{\psi}(\sigma)) [/mm] = 1 für alle [mm] \sigma \in S_{m}? [/mm]
>
> > > Nun zu [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm]. Dazu erstmal zu
> > > [mm]S_m[/mm]: das ist ja die Menge der bijektiven Abbildungen [mm]\{ 1, \dots, m \} \to \{ 1, \dots, m \}[/mm].
> > > Du kannst nun fuer [mm]\sigma, \tau \in S_m[/mm] die Bijektion
> > > [mm]\psi_2(\sigma, \tau) : \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}[/mm]
> > > so zusammenbasteln, dass [mm]\sigma[/mm] die Elemente [mm]\{ 1, \dots, m \}[/mm]
> > > permutiert und [mm]\tau[/mm] die Elemente [mm]\{ m + 1, \dots, 2 m \}[/mm].
Ich versteh das nicht ganz, was mit dem Zusammenbasteln gemeint ist. Ich hoffe, du kannst mir das nochmal erklären.
> > > Danach musst du dir noch ueberlegen, dass fuer [mm]\sigma \in S_m[/mm]
> > > gilt, dass [mm]\psi_2(\sigma, \sigma) \in A_{2 m}[/mm] liegt. Aber
> > > das folgt aus der Ueberlegung [mm]sign(\psi_2(\sigma, \tau)) = sign(\sigma) \cdot sign(\tau)[/mm].
Fehlt bei den Faktoren nicht das [mm] \psi_{2}? [/mm] Und sind das [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] Permutationen oder nur Tranpositionen?
> > > (Es reicht, das fuer Transpositionen zu schreiben, da [mm]sign[/mm]
> > > ein Gruppenhomomorphismus ist.)
> > >
> > > Da [mm]A_{2 m} = sign^{-1}(\{ 1 \})[/mm] ist, folgt damit [mm](\psi_2 \circ \psi_1)(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm].
>
> >
> > Diese Folgerung ist mir auch noch nicht so klar.
>
> Was genau, die letzte Zeile? Das erste ist die Definition
> von [mm]A_{2 m}[/mm], und das hintere folgt direkt mit [mm]sign(\psi_2 \circ \psi_1(\sigma)) = 1[/mm]
> fuer alle [mm]\sigma \in S_m[/mm] und der Definition von [mm]A_{2 m}[/mm].
Warum gilt [mm] sign(\psi_2 \circ \psi_1(\sigma)) [/mm] = 1?
Sorry, dass ich dir so viele Fragen stelle. Aber ich würd mich freuen, wenn du mir weiter hilfst, da mir noch vieles unklar ist.
Vielen Dank,
Milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 23.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> > Der Beweis funktioniert uebrigens so, dass man zu [mm]g \in G[/mm]
> > die Abbildung [mm]\varphi_g : G \to G[/mm], [mm]h \mapsto g h[/mm] definiert
> > (Linkstranslation) und dann [mm]\varphi_G : G \to S(G)[/mm] durch [mm]g \mapsto \varphi_g[/mm].
> > Dabei ist [mm]S(G)[/mm] die Gruppe der Bijektionen [mm]G \to G[/mm], also
> > isomorph zu [mm]S_m[/mm] mit [mm]m = |G|[/mm].
>
> Ich hab versucht, zu zeigen, dass [mm]\phi_{g}[/mm] bijektiv ist:
> Injektiv: [mm]\phi_{g}(h)[/mm] = [mm]\phi_{g}(h'),[/mm] also gh = gh'.
> Durch Linksmult. von [mm]g^{-1}[/mm] ergibt sich h = h'.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Surjektiv: Z.Z.: [mm]\exists[/mm] h [mm]\in[/mm] G [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] G :
> [mm]\phi_{g}(h)[/mm] = y.
> wähle h := [mm]g^{-1}y.[/mm]
>
> Also ist [mm]\phi_{g}[/mm] bijektiv. Stimmt das?
> > > > Aber mit einem Trick kann man das ganze erreichen: und zwar
> > > > kannst du [mm]S_m[/mm] injektiv in [mm]A_n[/mm] abbilden mit [mm]n = 2 m[/mm]. Ist
> > > > [mm]\psi : S_m \to A_n[/mm] ein solcher injektiver
> > > > Gruppenhomomorphismus, so ergibt [mm]\psi \circ \phi_G : G \to A_n[/mm]
> > > > den geforderten injektiven Gruppenhomomorphismus.
>
> > Die Idee ist halt, das man anstelle der Einbettung [mm]G \to S_m[/mm]
> > die ''Doppeleinbettung'' [mm]G \to S_m \times S_m \to S_{2 m} = S_n[/mm]
> > benutzt (wie unten beschrieben), da das Bild dann auf recht
> > einfache Weise in [mm]A_{2 m}[/mm] liegt.
> >
> > > > Du musst dir also ''nur'' ueberlegen, wie du eine solche
> > > > Einbettung [mm]A_m \to S_{2 m}[/mm] findest.
> > >
> > > Ich versteh diese Einbettung nicht so ganz. Muss sie
> > nicht
> > > [mm]S_{m} \to A_{2m}[/mm] lauten? Weil das [mm]\psi[/mm] ist ja [mm]\psi: S_{m} \to A_{n}.[/mm]
>
> >
> > Ah ja. Sorry, hab mich verschrieben! Gemeint war schon [mm]S_m \to A_{2 m}[/mm]
>
> Jetzt konstruiert man sich eine Abb. [mm]\psi[/mm] : [mm]S_{m} \to A_{n}, \sigma \to \hat{\psi}(\sigma).[/mm]
> Und die ist injektiver Gruppenhomo., weil [mm]\hat{\psi}[/mm]
> injektiver Gruppenhomo. ist. Versteh ich das richtig?
Genau. [mm] $\psi$ [/mm] ist sozusagen eine Einschraenkung (im Bild) von [mm] $\hat{\psi}$.
[/mm]
> Ich hab aber jetzt eine Frage zu der Doppeleinbettung. Du
> hast geschrieben, dass man statt der Einbettung G [mm]\to S_{m}[/mm]
> (Ist das [mm]\phi_{G}??)[/mm]
Ja, das ist [mm] $\phi_G$
[/mm]
> die Doppeleinbettung G [mm]\to S_{m} \times S_{m} \to S_{n}[/mm]
> benutzt.
Bzw. die Verkettung $G [mm] \to S_m \to S_m \times S_m \to A_n \subseteq S_n$.
[/mm]
> Diese Doppeleinbettung ist doch dieses [mm]\hat{\psi},[/mm] welches
> doch so definiert ist [mm]\hat{\psi}[/mm] := [mm]\psi_{2} \circ \psi_{1}: S_{m} \to S_{n},[/mm]
> oder?
Du musst noch [mm] $\phi_G$ [/mm] davorhaengen: dann bekommst du [mm] $\psi_2 \circ \psi_1 \circ \phi_G [/mm] : G [mm] \to S_n$.
[/mm]
> Aber da ist die Ausgangsmenge [mm]S_{m}[/mm] und nicht wie oben
> angegeben G.
> Das versteh ich nicht so ganz.
Ist es jetzt besser?
> Nun um zu zeigen, dass [mm]\hat{\psi}[/mm] injektiv ist, muss ich
> doch zeigen, dass [mm]\psi_{1}[/mm] und [mm]\psi_{2}[/mm] injektiv sind.
Genau.
> Ich hab das mal versucht mit dem Kern, aber ich krieg das
> irgendwie nicht hin. Was für konkrete Abb. sind das denn?
Also [mm] $\psi_1 [/mm] : [mm] S_m \to S_m \times S_m$ [/mm] ist durch [mm] $\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)$ [/mm] definiert. Dass das injektiv ist siehst du sofort; das neutrale Element in [mm] $S_m \times S_m$ [/mm] ist ja $(id, id)$.
Das [mm] $\psi_2$ [/mm] musst du dir ueberlegen, da hab ich bisher nur Hinweise zu gegeben :)
Du definierst im Prinzip [mm] $\psi_2(\sigma, \tau) \in S_n$ [/mm] fuer [mm] $\sigma, \tau \in S_m$ [/mm] durch $x [mm] \mapsto \begin{cases} \sigma(x), & x \in \{ 1, \dots, m \} \\ m + \tau(x - m), & x \in \{ m + 1, \dots, 2 m \} \end{cases}$.
[/mm]
> Denn ich brauch doch eine bestimmte Abb. um z.B. zu zeigen,
> dass wenn [mm]\psi_{\sigma}[/mm] = (e,e), folgt [mm]\sigma[/mm] = e.
> >
> > > > Dazu konstruiere zwei injektive Homomorphismen: [mm]\psi_1 : S_m \to S_m \times S_m[/mm]
> > > > mit [mm]\sigma \mapsto (\sigma, \sigma)[/mm], und [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm].
> > > > Du hast dann [mm]\hat{\psi} := \psi_2 \circ \psi_1 : S_m \to S_{2 m}[/mm]
> > > > und kannst, wenn du [mm]\psi_2[/mm] richtig konstruiert hast,
> > > > zeigen, dass [mm]\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm] ist; damit
> > > > bekommst du einen injektiven Gruppenhomomorphismus [mm]\psi : S_m \to A_{2 m}[/mm],
> > > > [mm]\sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)[/mm].
> > >
> > > Mir ist nicht klar, warum [mm]\hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{2m}[/mm]
> > > ist. Ist es nicht [mm]\subset[/mm] von [mm]S_{2m},[/mm] da [mm]\hat{\psi}[/mm] : [mm]S_{m} \to S_{2m}?[/mm]
> >
> > Erstmal ja. Allerdings ist [mm]sign(\hat{\psi}(\sigma)) = 1[/mm]
> > fuer alle [mm]\sigma \in S_m[/mm], und [mm]A_{2 m}[/mm] sind ja gerade alle
> > Elemente [mm]\tau \in S_{2 m}[/mm] mit [mm]sign(\tau) = 1[/mm].
>
> Warum gilt [mm]sign(\hat{\psi}(\sigma))[/mm] = 1 für alle [mm]\sigma \in S_{m}?[/mm]
Weil [mm] $sign(\hat{\psi}(\sigma)) [/mm] = sign(sigma) [mm] \cdot [/mm] sign(sigma)$ ist; beachte dafuer, dass [mm] $\psi_1(\sigma)) [/mm] = [mm] (\sigma, \sigma)$ [/mm] und [mm] $sign(\psi_2(\sigma, \tau)) [/mm] = [mm] sign(\sigma) sign(\tau)$ [/mm] ist (das letzte musst du noch ueberpruefen bzw. begruenden).
> > > > Nun zu [mm]\psi_2 : S_m \times S_m \to S_{2 m}[/mm]. Dazu erstmal zu
> > > > [mm]S_m[/mm]: das ist ja die Menge der bijektiven Abbildungen [mm]\{ 1, \dots, m \} \to \{ 1, \dots, m \}[/mm].
> > > > Du kannst nun fuer [mm]\sigma, \tau \in S_m[/mm] die Bijektion
> > > > [mm]\psi_2(\sigma, \tau) : \{ 1, \dots, 2 m \} \to \{ 1, \dots, 2 m \}[/mm]
> > > > so zusammenbasteln, dass [mm]\sigma[/mm] die Elemente [mm]\{ 1, \dots, m \}[/mm]
> > > > permutiert und [mm]\tau[/mm] die Elemente [mm]\{ m + 1, \dots, 2 m \}[/mm].
>
> Ich versteh das nicht ganz, was mit dem Zusammenbasteln
> gemeint ist. Ich hoffe, du kannst mir das nochmal
> erklären.
Schau mal weiter oben, zur konkreten Definition von [mm] $\psi_2$ [/mm] in dieser Antwort. Versuch damit mal das hier zu verstehen.
> > > > Danach musst du dir noch ueberlegen, dass fuer [mm]\sigma \in S_m[/mm]
> > > > gilt, dass [mm]\psi_2(\sigma, \sigma) \in A_{2 m}[/mm] liegt. Aber
> > > > das folgt aus der Ueberlegung [mm]sign(\psi_2(\sigma, \tau)) = sign(\sigma) \cdot sign(\tau)[/mm].
> Fehlt bei den Faktoren nicht das [mm]\psi_{2}?[/mm] Und sind das
> [mm]\sigma[/mm] und [mm]\tau[/mm] Permutationen oder nur Tranpositionen?
Nein, das fehlt nicht, das ist gerade der Sinn der Sache.
[mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\tau$ [/mm] sind hier allgemeine Permutatioen. Um diese Gleichung zu zeigen, kannst du es am besten erst einmal fuer Transpositionen und die Identitaet ueberpruefen; daraus folgt das dann fuer alle Permutationen, da du jede Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben kannst.
> > > > (Es reicht, das fuer Transpositionen zu schreiben, da [mm]sign[/mm]
> > > > ein Gruppenhomomorphismus ist.)
> > > >
> > > > Da [mm]A_{2 m} = sign^{-1}(\{ 1 \})[/mm] ist, folgt damit [mm](\psi_2 \circ \psi_1)(S_m) \subseteq A_{2 m}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Diese Folgerung ist mir auch noch nicht so klar.
> >
> > Was genau, die letzte Zeile? Das erste ist die Definition
> > von [mm]A_{2 m}[/mm], und das hintere folgt direkt mit [mm]sign(\psi_2 \circ \psi_1(\sigma)) = 1[/mm]
> > fuer alle [mm]\sigma \in S_m[/mm] und der Definition von [mm]A_{2 m}[/mm].
>
> Warum gilt [mm]sign(\psi_2 \circ \psi_1(\sigma))[/mm] = 1?
Weil [mm] $\psi_1(\sigma) [/mm] = [mm] (\sigma, \sigma)$ [/mm] ist; siehe oben.
> Sorry, dass ich dir so viele Fragen stelle. Aber ich
> würd mich freuen, wenn du mir weiter hilfst, da mir noch
> vieles unklar ist.
Ich versuch's :)
LG Felix
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Hallo felixf,
langsam wird mir die Sache etwas klarer wie am Anfang Danke!
Aber trotzdem habe ich noch einige Fragen, die du hoffentlich beantworten wirst
Ich versteh das mit der Einbettung noch nicht so ganz. Wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich doch statt der Abbildung [mm] \phi_{G} [/mm] : G [mm] \to S_{m}, [/mm] die Verkettung [mm] \hat{\psi} \circ \phi_{G}: [/mm] G [mm] \to S_{n} [/mm] (oder [mm] \phi_{2} \circ \phi_{1} \circ \phi_{G}: [/mm] G [mm] \to S_{n}) [/mm] betrachten. Richtig?
Aber warum muss ich das betrachten, wenn ich das im folgenden gar nicht mehr brauche? Ich versteh den Sinn und Zweck von [mm] \hat{\psi} \circ \phi_{G} [/mm] nicht.... Im folgenden muss ich doch nur zeigen, dass [mm] \hat{\psi} (S_{m}) \subset A_{n} [/mm] ist. Da ist das [mm] \phi_{G} [/mm] gar nicht mehr da....
Dann zur Injektivität von [mm] \psi_{1} [/mm] und [mm] \psi_{2}. [/mm] Um zu zeigen, dass [mm] \psi_{1} [/mm] injektiv ist, muss ich zeigen, wenn [mm] \psi_{1}(\sigma) [/mm] = (id, id), dann folgt [mm] \sigma [/mm] = id. Aber wie folgt das so schnell?
Ich versteh auch nicht, wie die Injektivität von [mm] \psi_{2} [/mm] folgt. Aus [mm] \psi_{2}(x) [/mm] = id folgt doch x = id oder? Aber wie geht das bei [mm] \psi_{2}(x) [/mm] = m + [mm] \tau(x-m)?
[/mm]
Ich versteh immer noch nicht, warum [mm] sign(\psi_{2}(\sigma, \sigma)) [/mm] = [mm] sign(\sigma) [/mm] * [mm] sign(\sigma) [/mm] ist, also warum das [mm] \psi_{2} [/mm] nicht mehr da ist.
Jetzt soll doch für [mm] sign(\psi(\sigma, \sigma)) [/mm] 1 herauskommen. Aber woher weiß ich, was [mm] sign(\sigma) [/mm] ist? Ich weiß ja nur, dass [mm] \sigma \in S_{m} [/mm] ist und das kann ja eine gerade oder ungerade Permutation sein.
Aber wenn man das zeigen konnte, dann folgt [mm] \hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{n}, [/mm] richtig? Ist das dann auch die Behauptung, die ich zeigen musste? Hier versteh ich auch nicht, warum ich am Anfang [mm] \hat{\psi} \circ \phi_{G} [/mm] betrachten musste, wenn das jetzt gar nicht mehr vorkommt.
Dann hätte ich noch eine Frage, warum ich noch zeigen muss, dass [mm] \psi_{2}(\sigma, \sigma) \in A_{n} [/mm] liegt, wenn ich doch schon gezeigt habe, dass die Verknüpfung [mm] \hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{n} [/mm] ist.
Tut mir leid für die vielen Fragen
Ich würde mich freuen, wenn du mir weiter hilfst.
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Fr 25.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> langsam wird mir die Sache etwas klarer wie am Anfang
> Danke!
Schoen!
> Aber trotzdem habe ich noch einige Fragen, die du
> hoffentlich beantworten wirst
Ich geb mir Muehe... :)
> Ich versteh das mit der Einbettung noch nicht so ganz.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich doch statt
> der Abbildung [mm]\phi_{G}[/mm] : G [mm]\to S_{m},[/mm] die Verkettung
> [mm]\hat{\psi} \circ \phi_{G}:[/mm] G [mm]\to S_{n}[/mm] (oder [mm]\phi_{2} \circ \phi_{1} \circ \phi_{G}:[/mm]
> G [mm]\to S_{n})[/mm] betrachten. Richtig?
Ja genau.
> Aber warum muss ich das betrachten, wenn ich das im
> folgenden gar nicht mehr brauche? Ich versteh den Sinn und
> Zweck von [mm]\hat{\psi} \circ \phi_{G}[/mm] nicht.... Im folgenden
> muss ich doch nur zeigen, dass [mm]\hat{\psi} (S_{m}) \subset A_{n}[/mm]
> ist. Da ist das [mm]\phi_{G}[/mm] gar nicht mehr da....
Weil es einfacher ist, als direkt die Komposition [mm] $\hat{\psi} \circ \phi_G$ [/mm] zu betrachten. Und wenn du schon weisst, dass [mm] $\hat{\psi} [/mm] : [mm] S_m \to A_n$ [/mm] eine Einbettung ist, und dass [mm] $\phi_G [/mm] : G [mm] \to S_m$ [/mm] eine Einbettung ist, dann ist auch die Verkettung eine Einbettung.
> Dann zur Injektivität von [mm]\psi_{1}[/mm] und [mm]\psi_{2}.[/mm] Um zu
> zeigen, dass [mm]\psi_{1}[/mm] injektiv ist, muss ich zeigen, wenn
> [mm]\psi_{1}(\sigma)[/mm] = (id, id), dann folgt [mm]\sigma[/mm] = id. Aber
> wie folgt das so schnell?
Weil [mm] $\psi_1(\sigma) [/mm] = [mm] (\sigma, \sigma)$ [/mm] ist. Aus [mm] $\psi_1(\sigma) [/mm] = (id, id)$ folgt dann [mm] $(\sigma, \sigma) [/mm] = (id, id)$, also insbesondere [mm] $\sigma [/mm] = id$.
> Ich versteh auch nicht, wie die Injektivität von [mm]\psi_{2}[/mm]
> folgt. Aus [mm]\psi_{2}(x)[/mm] = id folgt doch x = id oder? Aber
> wie geht das bei [mm]\psi_{2}(x)[/mm] = m + [mm]\tau(x-m)?[/mm]
Wenn [mm] $\psi_2(\sigma, \tau) [/mm] = id$ ist, dann gilt [mm] $\sigma(x) [/mm] = x$ fuer $x [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$, [/mm] und es gilt [mm] $\tau(x) [/mm] = x$ fuer $x [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$, [/mm] also [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau [/mm] = id$.
> Ich versteh immer noch nicht, warum [mm]sign(\psi_{2}(\sigma, \sigma))[/mm]
> = [mm]sign(\sigma)[/mm] * [mm]sign(\sigma)[/mm] ist, also warum das [mm]\psi_{2}[/mm]
> nicht mehr da ist.
Das ist eine Aussage, die man beweisen muss. Mal ganz allgemein fuer [mm] $\psi_2$:
[/mm]
Wenn [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \sigma_i$ [/mm] und [mm] $\tau [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^\ell \tau_j$ [/mm] Produkte von Transpositionen sind, dann ist [mm] $\psi_2(\sigma, \tau) [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \psi_2(\sigma_i, [/mm] id) [mm] \cdot \prod_{j=1}^\ell \psi_2(id, \tau_j)$ [/mm] (da [mm] $\psi_2$ [/mm] ein Homomorphismus ist).
Jetzt musst du dir ueberlegen, dass [mm] $\psi_2(\sigma_i, [/mm] id)$ und [mm] $\psi_2(id, \tau_j)$ [/mm] jeweils auch Transpositionen sind.
Damit kann [mm] $\psi_2(\sigma, \tau)$ [/mm] in $k + [mm] \ell$ [/mm] Transpositionen zerlegt werden, und somit gilt [mm] $sign(\psi_2(\sigma, \tau)) [/mm] = [mm] (-1)^{k + \ell} [/mm] = [mm] (-1)^k \cdot (-1)^\ell [/mm] = [mm] sign(\sigma) \cdot sign(\tau)$.
[/mm]
> Jetzt soll doch für [mm]sign(\psi(\sigma, \sigma))[/mm] 1
> herauskommen. Aber woher weiß ich, was [mm]sign(\sigma)[/mm] ist?
Es ist entweder 1 oder -1. Und da [mm] $sign(\psi(\sigma, \sigma)) [/mm] = [mm] sign(\sigma) sign(\sigma) [/mm] = [mm] (sign(\sigma))^2$ [/mm] ist, kommt also immer 1 raus.
> Aber wenn man das zeigen konnte, dann folgt
> [mm]\hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{n},[/mm] richtig?
Genau.
> Ist das dann auch die Behauptung, die ich zeigen musste?
Es ist ein Teil davon 
> Hier versteh ich
> auch nicht, warum ich am Anfang [mm]\hat{\psi} \circ \phi_{G}[/mm]
> betrachten musste, wenn das jetzt gar nicht mehr vorkommt.
Du zeigst hier, dass [mm] $\psi [/mm] : [mm] S_m \to A_n$ [/mm] eine Einbettung ist. Und wenn du die mit [mm] $\phi_G$ [/mm] verkettest, bekommst du die gesuchte Einbettung $G [mm] \to A_n$.
[/mm]
Die grobe Idee ist, anstelle der Gruppe $G$ ersteinmal die Gruppe [mm] $S_m$ [/mm] zu betrachten, da man $G$ in [mm] $S_m$ [/mm] einbetten kann.
> Dann hätte ich noch eine Frage, warum ich noch zeigen muss,
> dass [mm]\psi_{2}(\sigma, \sigma) \in A_{n}[/mm] liegt, wenn ich
> doch schon gezeigt habe, dass die Verknüpfung
> [mm]\hat{\psi}(S_{m}) \subset A_{n}[/mm] ist.
Das zeigst du genau dafuer, damit [mm] $\hat{\psi}(S_m) \subseteq A_n$ [/mm] ist. Das ist ein und dasselbe.
LG Felix
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Hallo felixf,
vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen! Ich hab jetzt mal versucht, den Beweis niederzuschreiben und hätte dabei noch ein paar Fragen
Der gesuchte injektive Gruppenhomomorphismus ist ja am Ende [mm] \psi \circ \phi_{G} [/mm] : G [mm] \to A_{n}, [/mm] richtig?
D.h. ich muss zeigen, dass [mm] \psi [/mm] und [mm] \phi_{G} [/mm] injektiv sind und Gruppenhom. sind oder?
Für [mm] \psi: S_{m} \to A_{n}, \sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma) [/mm] folgt die Injektivität dann aus [mm] \hat{\psi} [/mm] := [mm] \psi_{2} \circ \psi_{1}, [/mm] dass dies injektiv ist. Man muss zeigen, dass [mm] \psi_{1} [/mm] und [mm] \psi_{2} [/mm] injektiv sind.
Nun muss ich doch noch zeigen, dass [mm] \psi [/mm] ein Gruppenhom. ist. Reicht es da, wenn ich zeige, dass [mm] \psi_{1} [/mm] und [mm] \psi_{2} [/mm] Gruppenhom sind?
Dass [mm] \psi_{1} [/mm] ein Gruppenhom ist, habe ich so gezeigt:
[mm] \psi_{1}(\sigma*\tau) [/mm] = [mm] (\sigma \tau, \sigma \tau) [/mm] = [mm] (\sigma [/mm] , [mm] \sigma) [/mm] * [mm] (\tau, \tau) [/mm] = [mm] \psi_{1}(\sigma) [/mm] * [mm] \psi_{1}(\tau)
[/mm]
Stimmt das so?
Für [mm] \psi_{2} [/mm] habe ich das noch nicht so ganz verstanden. [mm] \psi_{2} [/mm] ist doch so definiert: [mm] \psi_{2}: S_{m} \times S_{m} \to S_{m}.
[/mm]
ich versteh dann aber nicht, warum folgende Definition für [mm] \psi_{2} [/mm] nur x als Argument ist, obwohl die Eingangsmenge [mm] S_{m} \times S_{m} [/mm] ist. Fehlt da nicht ein Argument?
[mm] x\mapsto\begin{cases} \sigma(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ m + \tau(x-m), & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}
[/mm]
Damit [mm] \psi \circ \phi_{G} [/mm] : G [mm] \to A_{n} [/mm] injekt.Gruppenhom ist, muss dann auch [mm] \phi_{G} [/mm] injektiver Gruppenhom sein oder?
Dass [mm] \phi_{G} [/mm] injektiv folgt doch daraus,weil [mm] \phi_{g} [/mm] injektiv ist oder?
Dann habe ich versucht, zu zeigen, dass [mm] \phi_{G} [/mm] ein Gruppenhom ist, aber ich komme nicht mehr weiter:
[mm] \phi_{G}(g*h) [/mm] = [mm] \phi_{g}(g*h) [/mm] ggh
Wie folgt nun daraus, dass [mm] \phi_{G}(g*h) [/mm] = [mm] \phi_{G}(g) [/mm] * [mm] \phi_{G}(h) [/mm] ist?
Dann hast du mir geschrieben, dass [mm] \psi_{2}(\sigma_{i}, [/mm] id) Transpositionen sind. Ich versteh nicht, wie man das so leicht sieht.
Danke nochmals für deine große Hilfe.
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Fr 25.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> vielen Dank für deine ausführlichen Erklärungen! Ich hab
> jetzt mal versucht, den Beweis niederzuschreiben und hätte
> dabei noch ein paar Fragen
Oki :)
> Der gesuchte injektive Gruppenhomomorphismus ist ja am
> Ende [mm]\psi \circ \phi_{G}[/mm] : G [mm]\to A_{n},[/mm] richtig?
Genau.
> D.h. ich muss zeigen, dass [mm]\psi[/mm] und [mm]\phi_{G}[/mm] injektiv sind
> und Gruppenhom. sind oder?
Ja.
> Für [mm]\psi: S_{m} \to A_{n}, \sigma \mapsto \hat{\psi}(\sigma)[/mm]
> folgt die Injektivität dann aus [mm]\hat{\psi}[/mm] := [mm]\psi_{2} \circ \psi_{1},[/mm]
> dass dies injektiv ist. Man muss zeigen, dass [mm]\psi_{1}[/mm] und
> [mm]\psi_{2}[/mm] injektiv sind.
Ja.
> Nun muss ich doch noch zeigen, dass [mm]\psi[/mm] ein Gruppenhom.
> ist. Reicht es da, wenn ich zeige, dass [mm]\psi_{1}[/mm] und
> [mm]\psi_{2}[/mm] Gruppenhom sind?
Ja. Verkettungen von Gruppenhomomorphismen sind wieder Gruppenhomomorphismen.
> Dass [mm]\psi_{1}[/mm] ein Gruppenhom ist, habe ich so gezeigt:
> [mm]\psi_{1}(\sigma*\tau)[/mm] = [mm](\sigma \tau, \sigma \tau)[/mm] =
> [mm](\sigma[/mm] , [mm]\sigma)[/mm] * [mm](\tau, \tau)[/mm] = [mm]\psi_{1}(\sigma)[/mm] *
> [mm]\psi_{1}(\tau)[/mm]
> Stimmt das so?
> Für [mm]\psi_{2}[/mm] habe ich das noch nicht so ganz verstanden.
> [mm]\psi_{2}[/mm] ist doch so definiert: [mm]\psi_{2}: S_{m} \times S_{m} \to S_{m}.[/mm]
Nein, es geht von [mm] $S_m \times S_m$ [/mm] nach [mm] $S_{2 m} [/mm] = [mm] S_n$!
[/mm]
> ich versteh dann aber nicht, warum folgende Definition für
> [mm]\psi_{2}[/mm] nur x als Argument ist, obwohl die Eingangsmenge
> [mm]S_{m} \times S_{m}[/mm] ist. Fehlt da nicht ein Argument?
> [mm]x\mapsto\begin{cases} \sigma(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ m + \tau(x-m), & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}[/mm]
Das ist nicht die Definition von [mm] $\psi_2$! [/mm] Das beschreibt das Element aus [mm] $S_{2 m} [/mm] = [mm] S_n$, [/mm] worauf [mm] $\psi_2$ [/mm] das Element [mm] $(\sigma, \tau) \in S_m \times S_m$ [/mm] abbildet! Die Elemente aus [mm] $S_n$ [/mm] sind ja Bijektionen der Menge [mm] $\{ 1, \dots, n \}$, [/mm] also Funktionen [mm] $\{ 1, \dots, n \} \to \{ 1, \dots, n \}$.
[/mm]
> Damit [mm]\psi \circ \phi_{G}[/mm] : G [mm]\to A_{n}[/mm] injekt.Gruppenhom
> ist, muss dann auch [mm]\phi_{G}[/mm] injektiver Gruppenhom sein
> oder?
Genau.
> Dass [mm]\phi_{G}[/mm] injektiv folgt doch daraus,weil [mm]\phi_{g}[/mm]
> injektiv ist oder?
Nein; [mm] $\phi_G$ [/mm] bildet ein Element $g [mm] \in [/mm] G$ auf die Permutation [mm] $\phi_g$ [/mm] ab. Du musst zeigen, dass aus [mm] $\phi_G(g) [/mm] = id$ schon folgt, dass $g = [mm] 1_G$ [/mm] ist. Dazu kannst du z.B. [mm] $(\phi_G(g))(1_G) [/mm] = [mm] \phi_g(1_G) [/mm] = g [mm] 1_G [/mm] = g$ benutzen. Wenn [mm] $\phi_G(g) [/mm] = id$ ist, dann ist [mm] $\phi_G(g)(1_G) [/mm] = [mm] id(1_G) [/mm] = [mm] 1_G$. [/mm] Aus den beiden Gleichungen folgt dann $g = [mm] 1_G$.
[/mm]
> Dann habe ich versucht, zu zeigen, dass [mm]\phi_{G}[/mm] ein
> Gruppenhom ist, aber ich komme nicht mehr weiter:
> [mm]\phi_{G}(g*h)[/mm] = [mm]\phi_{g}(g*h)[/mm]
Das stimmt schonmal nicht: [mm] $\phi_G(g [/mm] h) = [mm] \phi_{g h}$, [/mm] das ist also eine bijektive Funktion $G [mm] \to [/mm] G$, gegeben durch $x [mm] \mapsto [/mm] (g h) x$.
Da [mm] $\phi_G(g [/mm] h)$ und [mm] $\phi_G(g) \phi_G(h) [/mm] = [mm] \phi_G(g) \circ \phi_G(h)$ [/mm] Funktionen $G [mm] \to [/mm] G$ sind, musst du fuer jedes $x [mm] \in [/mm] G$ zeigen, dass [mm] $(\phi_G(g [/mm] h))(x) = [mm] (\phi_G(g) \circ \phi_G(h))(x)$ [/mm] ist.
> Dann hast du mir geschrieben, dass [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id)
> Transpositionen sind. Ich versteh nicht, wie man das so
> leicht sieht.
Wenn [mm] $\sigma_i$ [/mm] eine Transposition ist, dann gibt es ja $j, k [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$ [/mm] mit [mm] $\sigma_i(x) [/mm] = x$ fuer alle $x [mm] \in \{ 1, \dots, m \} \setminus \{ j, k \}$ [/mm] und [mm] $\sigma_i(j) [/mm] = k$, [mm] $\sigma_i(k) [/mm] = j$.
WIe sieht denn jetzt [mm] $\psi_2(\sigma_i, [/mm] id)$ aus? Und was bedeutet es, wenn dies wieder eine Transposition sein soll?
LG Felix
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Hallo felixf,
so langsam nähere ich mich dem Ziel, aber noch nicht ganz, weil ich immer noch nicht alles versteh Ich hoffe, du hilfst mir da weiter!
Ist das mit dem [mm] \psi_{2} [/mm] nun so gemeint:
[mm] \psi_{2} [/mm] : [mm] S_{m} \times S_{m} \to S_{n}, (\sigma, \tau) \mapsto [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} \sigma(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ m + \tau(x-m), & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases} [/mm] ?
>
> Das ist nicht die Definition von [mm]\psi_2[/mm]! Das beschreibt das
> Element aus [mm]S_{2 m} = S_n[/mm], worauf [mm]\psi_2[/mm] das Element
> [mm](\sigma, \tau) \in S_m \times S_m[/mm] abbildet! Die Elemente
> aus [mm]S_n[/mm] sind ja Bijektionen der Menge [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm],
> also Funktionen [mm]\{ 1, \dots, n \} \to \{ 1, \dots, n \}[/mm].
Du hast mir in einer früheren Antwort geschrieben, dass ich für die Injektivität das so machen muss:
Wenn [mm] \psi_{2}(\sigma, \tau) [/mm] = id, dann gilt [mm] \sigma(x) [/mm] = x für x [mm] \in [/mm] { 1,...,m} und es gilt [mm] \tau(x) [/mm] = x für x [mm] \in [/mm] { 1,...,m}, also [mm] \sigma [/mm] = [mm] \tau [/mm] = id.
Das versteh ich irgendwie nicht ganz, vorallem das mit dem [mm] \tau.
[/mm]
Wie muss ich denn genau anfangen, wenn ich die Injektivität von [mm] \psi_{2} [/mm] zeigen will? Wieso kommt bei dem [mm] \tau [/mm] nirgendwo m + [mm] \tau(x-m) [/mm] für {m+1, ..., n} vor?
Ich hab hier so in der Art praktisch 2 Funktionen miteinander verkettet. Das verwirrt mich irgendwie voll. Wie muss ich das denn ansetzen, um die Gruppenhomo. zu zeigen?
> > Dann hast du mir geschrieben, dass [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id)
> > Transpositionen sind. Ich versteh nicht, wie man das so
> > leicht sieht.
>
> Wenn [mm]\sigma_i[/mm] eine Transposition ist, dann gibt es ja [mm]j, k \in \{ 1, \dots, m \}[/mm]
> mit [mm]\sigma_i(x) = x[/mm] fuer alle [mm]x \in \{ 1, \dots, m \} \setminus \{ j, k \}[/mm]
> und [mm]\sigma_i(j) = k[/mm], [mm]\sigma_i(k) = j[/mm].
Das ist mir klar.
> WIe sieht denn jetzt [mm]\psi_2(\sigma_i, id)[/mm] aus? Und was
> bedeutet es, wenn dies wieder eine Transposition sein
> soll?
[mm] \psi_{2}(\sigma_{i}, [/mm] id) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases} \sigma_{i}(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ x, & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}
[/mm]
Stimmt das so? Wenn es wieder eine Transposition ist, dann werden doch wieder 2 Elemente miteinander vertauscht oder?
Vielen Dank nochmal!!
Lg, Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Di 29.05.2007 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo felixf,
ich hoffe, du kannst mir bei der Aufgabe etwas weiter helfen. Mir ist jetzt die Lösungsidee klar, aber einiges versteh ich noch nicht ganz und komm auch so nicht weiter. Meine Fragen stehen in meinem letzten Beitrag.
Ich danke dir für deine Hilfe.
Lg, Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Mi 30.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> Ist das mit dem [mm]\psi_{2}[/mm] nun so gemeint:
>
> [mm]\psi_{2}[/mm] : [mm]S_{m} \times S_{m} \to S_{n}, (\sigma, \tau) \mapsto[/mm]
> x [mm]\mapsto \begin{cases} \sigma(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ m + \tau(x-m), & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}[/mm]
> ?
Genau!
> > Das ist nicht die Definition von [mm]\psi_2[/mm]! Das beschreibt das
> > Element aus [mm]S_{2 m} = S_n[/mm], worauf [mm]\psi_2[/mm] das Element
> > [mm](\sigma, \tau) \in S_m \times S_m[/mm] abbildet! Die Elemente
> > aus [mm]S_n[/mm] sind ja Bijektionen der Menge [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm],
> > also Funktionen [mm]\{ 1, \dots, n \} \to \{ 1, \dots, n \}[/mm].
>
>
> Du hast mir in einer früheren Antwort geschrieben, dass ich
> für die Injektivität das so machen muss:
> Wenn [mm]\psi_{2}(\sigma, \tau)[/mm] = id, dann gilt [mm]\sigma(x)[/mm] = x
> für x [mm]\in[/mm] { 1,...,m} und es gilt [mm]\tau(x)[/mm] = x für x [mm]\in[/mm] {
> 1,...,m}, also [mm]\sigma[/mm] = [mm]\tau[/mm] = id.
> Das versteh ich irgendwie nicht ganz, vorallem das mit dem
> [mm]\tau.[/mm]
Es ist doch [mm] $\sigma(x) [/mm] = [mm] \psi_2(\sigma, \tau)(x)$ [/mm] und [mm] $\tau(x) [/mm] = [mm] \psi_2(\sigma, \tau)(x [/mm] + m) - m$ (siehe die Definition von [mm] $\psi_2$ [/mm] oben). Setz hier mal [mm] $\psi_2(\sigma, \tau) [/mm] = id$ ein.
> Wie muss ich denn genau anfangen, wenn ich die
> Injektivität von [mm]\psi_{2}[/mm] zeigen will? Wieso kommt bei dem
> [mm]\tau[/mm] nirgendwo m + [mm]\tau(x-m)[/mm] für {m+1, ..., n} vor?
Das kommt indirekt vor, siehe oben.
> Ich hab hier so in der Art praktisch 2 Funktionen
> miteinander verkettet. Das verwirrt mich irgendwie voll.
> Wie muss ich das denn ansetzen, um die Gruppenhomo. zu
> zeigen?
Wo meinst du das jetzt? Bei [mm] $\psi_2$? [/mm] Du hast nicht zwei Funktionen verkettet, sondern eine Funktion, die Paare von Funktionen auf Funktionen abbildet (die Elemente aus [mm] $S_m$ [/mm] bzw. [mm] $S_{2m}$ [/mm] sind ja Funktionen).
Damit es ein Gruppenhomomorphismus ist, musst du zeigen, dass [mm] $\psi_2((\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2)) [/mm] = [mm] \psi_2(\sigma_1, \tau_1) \circ \psi_2(\sigma_2, \tau_2)$ [/mm] ist; dabei ist [mm] $(\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2) [/mm] = [mm] (\sigma_1 \circ \sigma_2, \tau_1 \circ \tau_2)$ [/mm] (Definition der Gruppenoperation auf [mm] $S_m \times S_m$).
[/mm]
> > WIe sieht denn jetzt [mm]\psi_2(\sigma_i, id)[/mm] aus? Und was
> > bedeutet es, wenn dies wieder eine Transposition sein
> > soll?
>
> [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id) [mm]\mapsto[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} \sigma_{i}(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ x, & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. Aber ueber [mm] $\sigma_i(x)$ [/mm] kannst du noch viel mehr aussagen.
> Wenn es wieder eine Transposition ist, dann
> werden doch wieder 2 Elemente miteinander vertauscht oder?
Genau.
LG Felix
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Hallo felixf,
danke für deine Antwort; hab gedacht, du antwortest mir nicht mehr :)
Hab noch eine Frage zum Homomorphismus von [mm] \psi_{2}:
[/mm]
> Damit es ein Gruppenhomomorphismus ist, musst du zeigen,
> dass [mm]\psi_2((\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2)) = \psi_2(\sigma_1, \tau_1) \circ \psi_2(\sigma_2, \tau_2)[/mm]
> ist; dabei ist [mm](\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2) = (\sigma_1 \circ \sigma_2, \tau_1 \circ \tau_2)[/mm]
> (Definition der Gruppenoperation auf [mm]S_m \times S_m[/mm]).
Hab mit der linken Seite angefangen: [mm] \psi_2((\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2))(x) [/mm] = [mm] \psi_{2}(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}, \tau_{1} \circ \tau_{2} [/mm] ) (x) = [mm] \begin{cases}( \sigma_{1} \circ \sigma_{2} (x) & \mbox{} \mbox{} \\ m + ( \tau_{1} \circ \tau_{2}) (x-m) & \mbox{} \mbox {}\end{cases}
[/mm]
Jetzt kommt mein Problem, und zwar wie komme ich von dem Schritt auf [mm] \psi_{2}(\sigma_{1}, \tau_{1}) \circ \psi_{2}(\sigma_{2}, \tau_{2})?
[/mm]
Wenn ich von rechts anfange, habe ich:
[mm] \psi_{2}(\sigma_{1}, \tau_{1}) [/mm] (x) = [mm] \begin{cases}\sigma_{1}(x) \\ m + \tau_{1} (x-m) \end{cases}
[/mm]
und
[mm] \psi_{2}(\sigma_{2}, \tau_{2}) [/mm] (x) = [mm] \begin{cases}(\sigma_{2}(x) & \mbox{} \mbox{} \\ m + \tau_{2} (x-m) & \mbox{} \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Folgt dann daraus, dass [mm] \psi_{2} [/mm] ein Hom. ist? Wie sieht man denn so schnell, dass beide Richtungen dasselbe ergeben?
>
> > > WIe sieht denn jetzt [mm]\psi_2(\sigma_i, id)[/mm] aus? Und was
> > > bedeutet es, wenn dies wieder eine Transposition sein
> > > soll?
> >
> > [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id) [mm]\mapsto[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} \sigma_{i}(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ x, & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Stimmt das so?
>
> Ja. Aber ueber [mm]\sigma_i(x)[/mm] kannst du noch viel mehr
> aussagen.
[mm] \sigma_i(x) [/mm] ist die i-te Transposition von x oder? Aber was bedeutet das für [mm] \psi_{2}(\sigma_{i}, [/mm] id)? Den Zusammenhang hab ich noch nicht ganz verstanden.
Ich danke dir für deine Hilfe.
Lg,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Do 31.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> danke für deine Antwort; hab gedacht, du antwortest mir
> nicht mehr :)
Hab momentan recht viel um die Ohren, deswegen antworte ich ein wenig unregelmaessig... :)
> Hab noch eine Frage zum Homomorphismus von [mm]\psi_{2}:[/mm]
> > Damit es ein Gruppenhomomorphismus ist, musst du zeigen,
> > dass [mm]\psi_2((\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2)) = \psi_2(\sigma_1, \tau_1) \circ \psi_2(\sigma_2, \tau_2)[/mm]
> > ist; dabei ist [mm](\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2) = (\sigma_1 \circ \sigma_2, \tau_1 \circ \tau_2)[/mm]
> > (Definition der Gruppenoperation auf [mm]S_m \times S_m[/mm]).
>
> Hab mit der linken Seite angefangen: [mm]\psi_2((\sigma_1, \tau_1) \circ (\sigma_2, \tau_2))(x)[/mm]
> = [mm]\psi_{2}(\sigma_{1} \circ \sigma_{2}, \tau_{1} \circ \tau_{2}[/mm]
> ) (x) = [mm]\begin{cases}( \sigma_{1} \circ \sigma_{2} (x) & \mbox{} \mbox{} \\ m + ( \tau_{1} \circ \tau_{2}) (x-m) & \mbox{} \mbox {}\end{cases}[/mm]
Genau.
> Jetzt kommt mein Problem, und zwar wie komme ich von dem
> Schritt auf [mm]\psi_{2}(\sigma_{1}, \tau_{1}) \circ \psi_{2}(\sigma_{2}, \tau_{2})?[/mm]
>
> Wenn ich von rechts anfange, habe ich:
> [mm]\psi_{2}(\sigma_{1}, \tau_{1})[/mm] (x) =
> [mm]\begin{cases}\sigma_{1}(x) \\ m + \tau_{1} (x-m) \end{cases}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\psi_{2}(\sigma_{2}, \tau_{2})[/mm] (x) =
> [mm]\begin{cases}(\sigma_{2}(x) & \mbox{} \mbox{} \\ m + \tau_{2} (x-m) & \mbox{} \mbox{} \end{cases}[/mm]
Berechne doch mal [mm] $\psi_2(\sigma_1, \tau_1) \circ \psi_2(\sigma_2, \tau_2)$ [/mm] explizit. Nimm dir ein $x [mm] \in \{ 1, \dots, 2 m \}$ [/mm] und schau was rauskommt wenn du es da einsetzt. Mach dazu ne Fallunterscheidung ob $x [mm] \in \{ 1, \dots, m \}$ [/mm] oder $x [mm] \in \{ m + 1, \dots, 2 m }$ [/mm] ist. Das ist wirklich ganz einfach, du musst es nur mal konkret einsetzen!
> Folgt dann daraus, dass [mm]\psi_{2}[/mm] ein Hom. ist?
Ja.
> Wie sieht man denn so schnell, dass beide Richtungen dasselbe
> ergeben?
Einsetzen. Es ist wirklich nicht schwer, es sieht nur schlimm aus :)
Wenn dich das immer noch abschreckt, nimm doch etwa $n = 3$, waehle dir zwei beliebige Permutationen [mm] $\sigma, \tau$ [/mm] und ueberleg dir, welche Permutation [mm] $\psi_2(\sigma, \tau)$ [/mm] ist. Mal das mal explizit auf, mit zwei Mengen mit je $2 m$ Elementen und Pfeilen dazwischen was worauf abgebildet wird.
> > > > WIe sieht denn jetzt [mm]\psi_2(\sigma_i, id)[/mm] aus? Und was
> > > > bedeutet es, wenn dies wieder eine Transposition sein
> > > > soll?
> > >
> > > [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id) [mm]\mapsto[/mm] x [mm]\mapsto \begin{cases} \sigma_{i}(x), & \mbox{für } x \in\{ 1,..., m \} \mbox{} \\ x, & \mbox{für }x \in \{m+1,..., 2m\} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Stimmt das so?
> >
> > Ja. Aber ueber [mm]\sigma_i(x)[/mm] kannst du noch viel mehr
> > aussagen.
> [mm]\sigma_i(x)[/mm] ist die i-te Transposition von x oder?
Es ist [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \prod_{i=1}^k \sigma_i$. $\sigma_i$ [/mm] ist irgendeine Transposition.
> Aber
> was bedeutet das für [mm]\psi_{2}(\sigma_{i},[/mm] id)? Den
> Zusammenhang hab ich noch nicht ganz verstanden.
Wie schon oben: waehl dir eine beliebige (aber feste) Transposition [mm] $\sigma_i$, [/mm] etwa fuer $n = 4$, und ueberlege dir genau, wie [mm] $\psi_2(\sigma_i, [/mm] id)$ aussieht, indem du fuer jedes $x [mm] \in \{ 1, \dots, 2 m \}$ [/mm] schaust worauf es durch [mm] $\psi_2(\sigma_i, [/mm] id)$ abgebildet wird.
LG Felix
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