Injektivität, Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich derzeit mit Aufgaben zu Abbildungen und dabei haben sich mal wieder einige Probleme bzw. Schwierigkeiten...
Zunächst einmal geht es um Injektivität, Surjektivität und Umkehrabbildungen von Funktionen... Damit komm ich auch soweit klar, jedoch habe ich nun eine Funktion mit einem kartesischen Produkt gegeben, das bei mir noch zu leichter Verwirrung führt
Also gegeben ist die Funktion
h: [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN \to \IZ, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x - y
Mir fällts schon schwer mir darunter überhaupt eine Abbildung vorzustellen und vielleicht entstehen dadurch auch meine Probleme...
zunächst einmal überprüfe ich also auf injektivität.
Dazu bin ich eigentlich immer so vorgegangen, dass ich von [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2) [/mm] und dann umgeformt habe und geschaut habe, ob daraus [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] folgt.
In diesem Fall hakt es da aber bereits aufgrund des kartesischen Produkts bereits...
kann ich jetzt [mm] h(x_1,y)= h(x_2,y) [/mm] betrachten, und damit folglich darauf kommen, dass [mm] x_1=x_2, [/mm] die Fkt also injektiv ist? Oder muss (x,y) als ganzes betrachtet werden?
Vielen Dank schonmal im Voraus!
LG Pia
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Hallo Pia,
> Hallo zusammen,
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> ich beschäftige mich derzeit mit Aufgaben zu Abbildungen
> und dabei haben sich mal wieder einige Probleme bzw.
> Schwierigkeiten...
>
> Zunächst einmal geht es um Injektivität, Surjektivität
> und Umkehrabbildungen von Funktionen... Damit komm ich auch
> soweit klar, jedoch habe ich nun eine Funktion mit einem
> kartesischen Produkt gegeben, das bei mir noch zu leichter
> Verwirrung führt
> Also gegeben ist die Funktion
> h: [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN \to \IZ,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x - y
>
> Mir fällts schon schwer mir darunter überhaupt eine
> Abbildung vorzustellen und vielleicht entstehen dadurch
> auch meine Probleme...
>
> zunächst einmal überprüfe ich also auf injektivität.
> Dazu bin ich eigentlich immer so vorgegangen, dass ich von
> [mm]f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm] und dann umgeformt habe und geschaut habe,
> ob daraus [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] folgt.
> In diesem Fall hakt es da aber bereits aufgrund des
> kartesischen Produkts bereits...
> kann ich jetzt [mm]h(x_1,y)= h(x_2,y)[/mm] betrachten, und damit
> folglich darauf kommen, dass [mm]x_1=x_2,[/mm] die Fkt also injektiv
> ist? Oder muss (x,y) als ganzes betrachtet werden?
Na klar, für Injektivität musst du zeigen, dass aus [mm]h(x_1,y_1)=h(x_2,y_2)[/mm] folgt, dass [mm](x_1,y_1)=(x_2,y_2)[/mm]
Für einen Gegenbeweis genügt ein Gegenbsp.
(das lässt sich doch schnell finden)
Für Surjektivität musst du zu jedem [mm]z\in\IZ[/mm] ein Paar [mm](x,y)\in\IN\times\IN[/mm] finden mit [mm]h(x,y)=z[/mm]
Versuche mal eine Fallunterscheidung bzgl. [mm]z[/mm] zu machen:
1) [mm]z\le 0[/mm], also [mm]z\in\IZ\setminus\IN[/mm]
2) [mm]z\in\IN[/mm]
> Vielen Dank schonmal im Voraus!
>
> LG Pia
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Also für die Injektivität hab ich jetzt h(2,1) = 1 = h(3,2) => h nicht inj.
Das ist so richtig, oder?
Jetzt zur Surjektivität.
ich fange also an mit 1.) z [mm] \le [/mm] 0, also [mm] \IZ \backslash \IN
[/mm]
Also: Sei z [mm] \in \IZ \backslash \IN, [/mm] finde (x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] mit h(x,y)=z
soweit der ansatz...
bisher habe ich dann mein x definiert, indem ich die Funktion nach x aufgelöst habe also z.B. y=x+2, dann def. ich x als [mm] \bruch{y}{2} [/mm] ...
Nun muss ich ja dann (x,y) definieren, bin aber noch unschlüssig, wie ich das anstellen kann...
wenn ich es analog zu meinen "einfachen" Funktionen tun würde, dann müsste ich z=x-y auflösen... aber das kann man ja nicht nach (x,y) auflösen... habe ich an der stelle einen denkfehler oder muss ich irgendeinen Trick anwenden?
theoretisch müsste es meiner Meinung nach surjektiv sein, denn jede ganze Zahl lässt sich doch aus einer Differenz von natürlichen Zahlen darstellen, oder sehe ich das falsch?
Aber das zeigt natürlich noch garnichts ;)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, für die Injektivität hast du ein Gegenbeispiel gefunden.
Zur Surjektivität:
1. Fall: $z [mm] \in \IZ \backslash \IN=\{-1, -2, -3, ...\}$.
[/mm]
Du willst also z in der Form x-y darstellen, wobei x und y natürliche Zahlen sind. Dann kannst du einfach y=-z und x=0 setzen!
2. Fall: [mm] $z\in\IN=\{0, 1, 2, 3, ...\}$.
[/mm]
Das schaffst du nun sicher. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
> 1. Fall: [mm]z \in \IZ \backslash \IN=\{-1, -2, -3, ...\}[/mm].
> Du
> willst also z in der Form x-y darstellen, wobei x und y
> natürliche Zahlen sind. Dann kannst du einfach y=-z und
> x=0 setzen!
Ohja, das klappt wahrhaftig :) Da wäre ich aber niemals drauf gekommen ...
>
> 2. Fall: [mm]z\in\IN=\{0, 1, 2, 3, ...\}[/mm].
> Das schaffst du nun
> sicher. :)
>
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das schaffe...
Kann ich y= z-1 und x=1 setzen? Aber das gäbe ein Problem für z = 0, oder... weil y dann ja nicht mehr [mm] \in \IN [/mm] wäre...
Also für Fall 2 nicht surjektiv?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Do 28.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Pia,
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> > 1. Fall: [mm]z \in \IZ \backslash \IN=\{-1, -2, -3, ...\}[/mm].
>
> > Du
> > willst also z in der Form x-y darstellen, wobei x und y
> > natürliche Zahlen sind. Dann kannst du einfach y=-z und
> > x=0 setzen!
>
> Ohja, das klappt wahrhaftig :) Da wäre ich aber niemals
> drauf gekommen ...
>
> >
> > 2. Fall: [mm]z\in\IN=\{0, 1, 2, 3, ...\}[/mm].
> > Das schaffst du
> nun
> > sicher. :)
> >
>
> Ich bin mir nicht sicher, ob ich das schaffe...
> Kann ich y= z-1 und x=1 setzen? Aber das gäbe ein Problem
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
> für z = 0, oder... weil y dann ja nicht mehr [mm]\in \IN[/mm]
> wäre...
> Also für Fall 2 nicht surjektiv?
Lässt sich die Gleichung
z = 0 = x - y
für x,y [mm] $\in \IN$ [/mm] lösen?
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 28.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
> Lässt sich die Gleichung
> z = 0 = x - y
> für x,y [mm]\in \IN[/mm] lösen?
prinzipiell doch eigentlich ja, wenn x=y [mm] \in \IN
[/mm]
ich hab x und y jetzt mal anders definiert und glaube, das ist so klarer... also Wähle y=1 und x = z+1
Dann h(z+1,1)=z+1-1= z und daraus folgt ja die surjektivität...
Ich möchte nochmal vorsichtig nachfragen, ob ich auch keinen Denkfehler habe... Die Abbildung ist also nicht injektiv, aber in beiden Fällen surjektiv?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 28.04.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen Dank!
Ich denke, dann habe ich die Aufgabe nun verstanden :)
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