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Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mi 22.07.2020
Autor: ichgast

Aufgabe
Sei [mm] M_{n,m}der [/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm] f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3} [/mm] gegeben durch:
[mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix} [/mm]
a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
b)untersuche ob f injektiv ist
c)untersuche ob f surjektiv ist


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]

Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen Ansatz.

a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} [/mm]
Dann habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} [/mm]
Und dann abgelesen das die Basis von bild von f = [mm] \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} [/mm] ist. Ist das korrekt?

b)Habe hier folgendes versucht:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} [/mm]
Hab dort rausbekommen:
Kern(f) = [mm] \begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix} [/mm]
also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht injektiv.

c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll



        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mi 22.07.2020
Autor: fred97


> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>  
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>  Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?

Nein. Das kann ja nicht sein, denn das Bild  von  f  enthält doch 2x 3 -Matrizen.

>  
> b)Habe hier folgendes versucht:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hab dort rausbekommen:
>  Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]

Wieder falsch.  der  Kern von f enthält  2x2- Matrizen.  Welche  2x2 -Matrizen werden auf  die Nullmatrix im Raum der 2x3 -Matrizen abgebildet ?


> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.

>

Doch,  f ist  injektiv.


> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll

Tja,  wie die Aufgabe c) lautet hast du verschwiegen.

>  
>  


Bezug
        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>  
> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
>  b)untersuche ob f injektiv ist
>  c)untersuche ob f surjektiv ist
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>  
> Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht
> ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen
> Ansatz.
>
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>  Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?
>  
> b)Habe hier folgendes versucht:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hab dort rausbekommen:
>  Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.
>  
> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll
>  
>  

Jetzt ist die Aufgabenstellung vollständig. Meine gestrige Antwort war wohl etwas kurz.

Ich würde mit b) beginnen: wir bestimmen Kern(f):

Zeige:

$ [mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{pmatrix} \gdw [/mm] a=b=c=d=0.$

Damit haben wir: [mm] $kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}.$ [/mm]

Wir folgern: f ist injektiv.

Zu a) und c): Nach dem Dimensionssatz ist

$4= [mm] \dim M_{2,2}= \dim kern(f)+\dim [/mm] bild(f)= [mm] \dim [/mm] bild(f).$ Damit ist [mm] $\dim [/mm] bild(f) [mm] \ne [/mm] 6= [mm] \dim M_{2,3}.$ [/mm]

f ist also nicht surjektiv.

Das Folgende mache nun selbst: wähle eine Basis [mm] $\{B_1,B_2,B_3,B_4 \}$ [/mm] von [mm] M_{2,2}. [/mm] Suche Dir eine aus, aber möglichst einfach.

Da f injektiv ist sind [mm] $f(B_1),...,f(B_4)$ [/mm] l.u. in [mm] M_{2,3}. [/mm] Damit hast Du eine Basis von bild(f).




Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?

Bezug
                        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch
> eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?

Diese Antwort hier

https://matheraum.de/read?i=1098053

zeigt Dir, dass  $ [mm] \dim [/mm] bild(f) <6= [mm] \dim M_{2,3}$ [/mm] ist.

Damit ist f nicht surjektiv.


Bezug
                                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Du hast mir sehr geholfen. Danke dir.

Bezug
        
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Injektivität Surjektivität Abb: Tipp zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Do 23.07.2020
Autor: HJKweseleit

a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)

[mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]

Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber sehr einfach.

Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
>  
> [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm]
> =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur
> noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber
> sehr einfach.

Die lineare Unabhängigkeit dieser 4 Matrizen fogt sofort aus

    $ [mm] kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}. [/mm] $



Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

$ [mm] a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} [/mm] $
fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?

Bezug
                        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> [mm]a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  
> fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?

Ja, Du hast recht.


Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Vielen dank HJKweseleit

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