matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenInjektivität Surjektivität Abb
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Abbildungen" - Injektivität Surjektivität Abb
Injektivität Surjektivität Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Mi 22.07.2020
Autor: ichgast

Aufgabe
Sei [mm] M_{n,m}der [/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm] f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3} [/mm] gegeben durch:
[mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix} [/mm]
a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
b)untersuche ob f injektiv ist
c)untersuche ob f surjektiv ist


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]

Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen Ansatz.

a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} [/mm]
Dann habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} [/mm]
Und dann abgelesen das die Basis von bild von f = [mm] \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} [/mm] ist. Ist das korrekt?

b)Habe hier folgendes versucht:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} [/mm]
Hab dort rausbekommen:
Kern(f) = [mm] \begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix} [/mm]
also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht injektiv.

c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll



        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Mi 22.07.2020
Autor: fred97


> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>  
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>  Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?

Nein. Das kann ja nicht sein, denn das Bild  von  f  enthält doch 2x 3 -Matrizen.

>  
> b)Habe hier folgendes versucht:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hab dort rausbekommen:
>  Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]

Wieder falsch.  der  Kern von f enthält  2x2- Matrizen.  Welche  2x2 -Matrizen werden auf  die Nullmatrix im Raum der 2x3 -Matrizen abgebildet ?


> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.

>

Doch,  f ist  injektiv.


> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll

Tja,  wie die Aufgabe c) lautet hast du verschwiegen.

>  
>  


Bezug
        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>  
> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
>  b)untersuche ob f injektiv ist
>  c)untersuche ob f surjektiv ist
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>  
> Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht
> ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen
> Ansatz.
>
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
>  [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>  Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?
>  
> b)Habe hier folgendes versucht:
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hab dort rausbekommen:
>  Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.
>  
> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll
>  
>  

Jetzt ist die Aufgabenstellung vollständig. Meine gestrige Antwort war wohl etwas kurz.

Ich würde mit b) beginnen: wir bestimmen Kern(f):

Zeige:

$ [mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{pmatrix} \gdw [/mm] a=b=c=d=0.$

Damit haben wir: [mm] $kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}.$ [/mm]

Wir folgern: f ist injektiv.

Zu a) und c): Nach dem Dimensionssatz ist

$4= [mm] \dim M_{2,2}= \dim kern(f)+\dim [/mm] bild(f)= [mm] \dim [/mm] bild(f).$ Damit ist [mm] $\dim [/mm] bild(f) [mm] \ne [/mm] 6= [mm] \dim M_{2,3}.$ [/mm]

f ist also nicht surjektiv.

Das Folgende mache nun selbst: wähle eine Basis [mm] $\{B_1,B_2,B_3,B_4 \}$ [/mm] von [mm] M_{2,2}. [/mm] Suche Dir eine aus, aber möglichst einfach.

Da f injektiv ist sind [mm] $f(B_1),...,f(B_4)$ [/mm] l.u. in [mm] M_{2,3}. [/mm] Damit hast Du eine Basis von bild(f).




Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:53 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?

Bezug
                        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch
> eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?

Diese Antwort hier

https://matheraum.de/read?i=1098053

zeigt Dir, dass  $ [mm] \dim [/mm] bild(f) <6= [mm] \dim M_{2,3}$ [/mm] ist.

Damit ist f nicht surjektiv.


Bezug
                                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Du hast mir sehr geholfen. Danke dir.

Bezug
        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Tipp zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Do 23.07.2020
Autor: HJKweseleit

a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)

[mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]

Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber sehr einfach.

Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
>  
> [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm]
> =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur
> noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber
> sehr einfach.

Die lineare Unabhängigkeit dieser 4 Matrizen fogt sofort aus

    $ [mm] kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}. [/mm] $



Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

$ [mm] a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} [/mm] $
fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?

Bezug
                        
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Do 23.07.2020
Autor: fred97


> [mm]a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>  
> fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?

Ja, Du hast recht.


Bezug
                
Bezug
Injektivität Surjektivität Abb: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Do 23.07.2020
Autor: ichgast

Vielen dank HJKweseleit

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]