Injektivität bei Verkettungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 24.10.2008 | | Autor: | L5er |
| Aufgabe | Es seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C Abbildungen.
Zeigen Sie: Wenn f ung g injektiv sind, dann ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv. |
Hallo liebe Leute,
in unserem letzten Tutorium wurde die obige Aufgabe besprochen. Jedoch habe ich ein Problem mit folgender "Musterlösung" dazu:
"Man nehme 2 Elemente aus C: g(f(x1)) und g(f(x2)) mit g(f(x1)) [mm] \not= [/mm] g(f(x2)).
Da g injektiv ist, folgt f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2).
Da f injektiv ist, folgt x1 [mm] \not= [/mm] x2."
Meines Wissens nach ist eine Abbildung doch dann injektiv, wenn gilt:
f(x1)=f(x2) [mm] \Rightarrow [/mm] x1 [mm] \not= [/mm] x2.
Wenn ich nun aber, wie in der Musterlösung, zwei ungleiche Elemente aus C nehme und dann darauf komme, dass in diesem Fall auch beide Elemente aus A ungleich sein müssen, inwiefern ist denn dann die Injektivität bewiesen?
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C Abbildungen.
> Zeigen Sie: Wenn f ung g injektiv sind, dann ist auch g
> [mm]\circ[/mm] f injektiv.
> Hallo liebe Leute,
>
> in unserem letzten Tutorium wurde die obige Aufgabe
> besprochen. Jedoch habe ich ein Problem mit folgender
> "Musterlösung" dazu:
>
> "Man nehme 2 Elemente aus C: g(f(x1)) und g(f(x2)) mit
> g(f(x1)) [mm]\not=[/mm] g(f(x2)).
> Da g injektiv ist, folgt f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2).
> Da f injektiv ist, folgt x1 [mm]\not=[/mm] x2."
>
> Meines Wissens nach ist eine Abbildung doch dann injektiv,
> wenn gilt:
> f(x1)=f(x2) [mm]\Rightarrow[/mm] x1 [mm]\not=[/mm] x2.
Hallo,
Du verwechselst hier etwas:
f ist injektiv genau dann, wenn aus
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Man kann dies auch so formulieren:
f ist injektiv genau dann, wenn aus
[mm] x_1\not=x_2 [/mm] folgt [mm] f(x_1)\not=f(x_2)
[/mm]
(Mach Dir das an einem Bildchen klar. Wenn man Injektivität so "begriffen" hat, ist's nicht mehr schwer zu merken)
Gruß v. Angela
> Wenn ich nun aber, wie in der Musterlösung, zwei ungleiche
> Elemente aus C nehme und dann darauf komme, dass in diesem
> Fall auch beide Elemente aus A ungleich sein müssen,
> inwiefern ist denn dann die Injektivität bewiesen?
>
> Viele Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Fr 24.10.2008 | | Autor: | L5er |
Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort, Du hast natürlich Recht!
Bildlich war mir der Begriff Injektivität zwar klar, aber ich habe konsequent Dinge gelesen, die da einfach nicht standen. Ich sollte mal eine Pause machen, bevor ich weiterlerne :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Sa 25.10.2008 | | Autor: | L5er |
Also, ich habe nun ja verstanden, dass f genau dann injektiv ist, wenn:
[mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} [/mm] bzw.
[mm] x_{1}\not=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})
[/mm]
Nun wurde in der Musterlösung (siehe ursprüngliche Frage) doch aber so vorgegangen, dass der Ausgangspunkt [mm] f(x_{1})\not=f(x_{2}) [/mm] ist und ich schließlich auf [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] komme. Das ist doch aber kein Beweis für die Injektivität.
Damit sage ich doch nur aus, dass nicht ein Element aus der Urmenge auf zwei ungleiche Elemente in der Abbildung zeigt, oder? Das alleine sagt doch aber nichts darüber aus, ob die Funktion injektiv ist.
Tut mir leid, ich bin gerade ziemlich verwirrt. Kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Sa 25.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also, ich habe nun ja verstanden, dass f genau dann
> injektiv ist, wenn:
>
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm] bzw.
> [mm]x_{1}\not=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
Genau.
> Nun wurde in der Musterlösung (siehe ursprüngliche Frage)
> doch aber so vorgegangen, dass der Ausgangspunkt
> [mm]f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm] ist und ich schließlich auf
> [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] komme. Das ist doch aber kein Beweis für
> die Injektivität.
Nein, ist es nicht. Das gilt fuer alle Funktionen $f, g$.
> Damit sage ich doch nur aus, dass nicht ein Element aus
> der Urmenge auf zwei ungleiche Elemente in der Abbildung
> zeigt, oder? Das alleine sagt doch aber nichts darüber aus,
> ob die Funktion injektiv ist.
Exakt. Es sagt nur aus, dass es tatsaechlich eine Funktion ist.
> Tut mir leid, ich bin gerade ziemlich verwirrt. Kann mir
> das jemand erklären?
Nun, wenn das wirklich so in der Musterloesung stand, ist es schlichweg falsch. Vielleicht solltest du den Autor der Musterloesung darueber informieren.
LG Felix
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