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Forum "Diskrete Mathematik" - Injektivität beweisen
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Injektivität beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 So 28.06.2015
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Gegeben sind die Funktionen f,g: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] und h,j: [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] durch
... h(x,y) = x+y , g(x) = ( [mm] \wurzel{x}, [/mm] x - [mm] \wurzel{x}) [/mm]
Untersuche die Injektivität von gh


Hallo,
ich soll die Injektivität von gh untersuchen und habe irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
gh heißt für mich g [mm] \circ [/mm] h , also g(h(x,y)).

Normalerweise würde ich jetzt einfach g(h(x,y))= [mm] \wurzel{x+y}, [/mm] x+y - [mm] \wurzel{x+y} [/mm] schreiben , aber das scheint mir falsch.

Bin dankbar für einen Denkanstoß. Liebe Grüße.

        
Bezug
Injektivität beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 So 28.06.2015
Autor: fred97


> Gegeben sind die Funktionen f,g: [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] und h,j:
> [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm] durch
>  ... h(x,y) = x+y , g(x) = ( [mm]\wurzel{x},[/mm] x - [mm]\wurzel{x})[/mm]
>  Untersuche die Injektivität von gh
>  
> Hallo,
>  ich soll die Injektivität von gh untersuchen und habe
> irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
>  gh heißt für mich g [mm]\circ[/mm] h , also g(h(x,y)).
>  
> Normalerweise würde ich jetzt einfach g(h(x,y))=
> [mm]\wurzel{x+y},[/mm] x+y - [mm]\wurzel{x+y}[/mm] schreiben , aber das
> scheint mir falsch.

Wieso ? Ist doch O.K.

FRED

>  
> Bin dankbar für einen Denkanstoß. Liebe Grüße.  


Bezug
        
Bezug
Injektivität beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 So 28.06.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Gegeben sind die Funktionen f,g: [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] und h,j:
> [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm] durch
>  ... h(x,y) = x+y , g(x) = ( [mm]\wurzel{x},[/mm] x - [mm]\wurzel{x})[/mm]
>  Untersuche die Injektivität von gh
>  
> Hallo,
>  ich soll die Injektivität von gh untersuchen und habe
> irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
>  gh heißt für mich g [mm]\circ[/mm] h , also g(h(x,y)).
>  
> Normalerweise würde ich jetzt einfach g(h(x,y))=
> [mm]\wurzel{x+y},[/mm] x+y - [mm]\wurzel{x+y}[/mm] schreiben , aber das
> scheint mir falsch.

da fehlen nur Klammern (nur die roten am Ende sind wichtig):

    $(g [mm] \circ h)(x,y)=g(h(x,y))=g(x+y)=\red{(}\sqrt{(x+y)},\,(x+y)-\sqrt{(x+y)}\red{)}$ [/mm]

Tipp zur Aufgabe: $h$ ist nicht injektiv, so ist etwa

    [mm] $\underbrace{h(1,2)}_{=h(\;(1,2)\;)}=3=\underbrace{h(2,1)}_{=h(\;(2,1)\;)}\,.$ [/mm]

(Allgemein $h(a,b)=h(b,a)$ auch für $a,b [mm] \in \red{\,\IN}$ [/mm] mit $a [mm] \neq [/mm] b$; beachte auch,
dass [mm] $h\,$ [/mm] nicht auf [mm] $\IZ \times \IZ$ [/mm] definiert wurde!)

Was bedeutet das für $g [mm] \circ [/mm] h$? (Werte mal an den gleichen Stellen aus!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Injektivität beweisen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 So 28.06.2015
Autor: pc_doctor

Ok, vielen Dank für eure Antworten. Ich dachte, ich mache da etwas falsch. Diskrete Mathematik ist lange her bei mir.

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