Injektivität einer F. beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass g injektiv ist
g:[1,4] [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \bruch{x-1}{x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi
Wir haben diese Aufgabe als Mathe Übung bekommen (besuche WING Uni-Bremen). In der Übung hat man mir gesagt, wir müssten das eher "zeigen" als wirklich "beweisen". Mir persönlich wäre beides recht, da ich Beweise in meiner Schulzeit nicht hatte und daher auch dort nachholbedarf habe. Also die Aufgabe allein zu beweisen bekomme ich überhaupt nicht hin.
Ich habe zuallererst die Funktion ein wenig vereinfacht hingeschrieben, dann wird aus:
x [mm] \mapsto \bruch{x-1}{x} [/mm] --> [mm] 1-\bruch{1}{x}
[/mm]
Ich habe weiterhin den Tip bekommen, dass ich das mit einem der folgenden Sätze zeigen könnte wobei es angeblich mit dem ersten einfacher sein soll. Ich persönlich verstehe aber leider nicht, warum man mit beiden Injektivität zeigen kann:
[mm] x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)
[/mm]
oder
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 \Rightarrow f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)
[/mm]
Zu dem ersten Satz:
Da steht doch:
Wenn [mm] x_1 [/mm] ungleich [mm] x_2, [/mm] dann sind auch die zugehörigen y-Werte immer unterschiedlich.
Es reicht doch an dieser Stelle nicht einfach Werte von 1-4 in meine Funktion einzusetzen und dann zu sagen "hm ja das sind dann immer andere y-Werte oder?"
Ich will das gern in einem geschlossenen ´system´ zeigen, also schon eher in Richtung Beweis.
MfG
Metin G.
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> Beweisen Sie, dass g injektiv ist
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> g:[1,4] [mm]\to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto \bruch{x-1}{x}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Hi
>
> Wir haben diese Aufgabe als Mathe Übung bekommen (besuche
> WING Uni-Bremen). In der Übung hat man mir gesagt, wir
> müssten das eher "zeigen" als wirklich "beweisen". Mir
> persönlich wäre beides recht, da ich Beweise in meiner
> Schulzeit nicht hatte und daher auch dort nachholbedarf
> habe. Also die Aufgabe allein zu beweisen bekomme ich
> überhaupt nicht hin.
> Ich habe zuallererst die Funktion ein wenig vereinfacht
> hingeschrieben, dann wird aus:
>
> x [mm]\mapsto \bruch{x-1}{x}[/mm] --> [mm]1-\bruch{1}{x}[/mm]
Merke: diese Funktion ist im fraglichen Bereich streng monoton fallend, was aus der Form [mm] $1-\frac{1}{x}$ [/mm] sogleich abgelesen werden kann.
>
> Ich habe weiterhin den Tip bekommen, dass ich das mit einem
> der folgenden Sätze zeigen könnte wobei es angeblich mit
> dem ersten einfacher sein soll. Ich persönlich verstehe
> aber leider nicht, warum man mit beiden Injektivität zeigen
> kann:
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> [mm]x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)[/mm]
>
> oder
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2 \Rightarrow f(x_1)[/mm] = [mm]f(x_2)[/mm]
>
> Zu dem ersten Satz:
>
> Da steht doch:
>
> Wenn [mm]x_1[/mm] ungleich [mm]x_2,[/mm] dann sind auch die zugehörigen
> y-Werte immer unterschiedlich.
>
> Es reicht doch an dieser Stelle nicht einfach Werte von 1-4
> in meine Funktion einzusetzen und dann zu sagen "hm ja das
> sind dann immer andere y-Werte oder?"
Nein, das reicht in der Tat nicht. Denn wenn Du alle in Frage kommenden (unendlich vielen) Werte einestzen wolltest, hättest sehr, sehr lange zu tun - zu lange für ein Menschenleben.
> Ich will das gern in einem geschlossenen ´system´ zeigen,
> also schon eher in Richtung Beweis.
Der Punkt ist, das streng monoton wachsende
[mm]x_1< x_2\Rightarrow f(x_1)< f(x_2)[/mm]
und streng monoton fallende Funktionen
[mm]x_1< x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)[/mm]
stets injektiv sind: weil man aus diesen strengen Monotonieeigenschaften eben die Bedingung
[mm] [center]$x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$[/center]
[/mm]
für Injektivität von $f$ leicht beweisen kann.
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Also die Tatsache, dass streng monotone Funktionen injektiv sind, kannte ich schon aus papula. Aber wenn ich das schreibe reicht das denke ich noch nicht als Beweis. Kann jemand so einen Beweis formulieren für meine Aufgabenstellung? Ich hatte beweise wie gesagt nicht :-(
Trotzdem danke erstmal für die schnelle Antwort
Grüße
M.G.
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Hallo suburbian,
na, einfach mal starten, das ist nicht soo wild.
Du weißt ja, was du formal zeigen musst:
[mm] $\forall\, x_1,x_2\in [/mm] [1,4] : [mm] f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$
[/mm]
Nimm dir [mm] $x_1,x_2\in [/mm] [1,4]$ her mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)$
[/mm]
Also mit [mm] $\frac{x_1-1}{x_1}=\frac{x_2-1}{x_2}$
[/mm]
Nun musst du das solange umformen, bis da [mm] $x_1=x_2$ [/mm] steht.
So ist der Plan.
Dazu multipliziere mal mit [mm] $x_1$ [/mm] und mit [mm] $x_2$ [/mm] durch und rechne einfach.
Es sind nur 2 oder 3 Zeilen 
LG
schachuzipus
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Hi
Danke erstmal. Habe heute 3 Stunden Mathe Vorlesung und noch 3 zuhaus hinter mir (mit anderen Themen) und musste die Übung ja heute abgeben. Ich weiß grad nicht was wir abgegeben haben aber ich hab das jetzt mal so gemacht wie du gesagt hast und wenn ich nicht völlig vergessen hab wie man mit Gleichungen rechnet dann sieht das so aus oder:
[mm] \bruch{x_1 - 1}{x_1}=\bruch{x_2 - 1}{x_2}|*x_1
[/mm]
[mm] \to x_1-1=\bruch{(x_2 - 1)*x_1}{x_2}
[/mm]
[mm] \to x_1-1=\bruch{x_2*x_1-x_1}{x_2}|*x_2
[/mm]
[mm] \to (x_1 [/mm] - [mm] 1)*x_2=x_2*x_1-x_1
[/mm]
[mm] \to x_1*x_2-x_2=x_2*x_1-x_1 [/mm] | [mm] -(x_1*x_2) [/mm] ; *(-1)
[mm] \to x_1 [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Kann sein, dass ich schwer von Begriff bin. Aber wieso hab ich damit injektivität gezeigt. Warum tue ich das, was ich grade gemacht habt. Und warum kann ich das (laut Tutor) mit beiden Sätzen auch also auch mit dem [mm] \ne [/mm] Satz machen?
Vielen dank trotzdem erstmal
Grüße
Metin
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> Hi
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> Danke erstmal. Habe heute 3 Stunden Mathe Vorlesung und
> noch 3 zuhaus hinter mir (mit anderen Themen) und musste
> die Übung ja heute abgeben. Ich weiß grad nicht was wir
> abgegeben haben aber ich hab das jetzt mal so gemacht wie
> du gesagt hast und wenn ich nicht völlig vergessen hab wie
> man mit Gleichungen rechnet dann sieht das so aus oder:
>
> [mm]\bruch{x_1 - 1}{x_1}=\bruch{x_2 - 1}{x_2}|*x_1[/mm]
>
> [mm]\to x_1-1=\bruch{(x_2 - 1)*x_1}{x_2}[/mm]
>
> [mm]\to x_1-1=\bruch{x_2*x_1-x_1}{x_2}|*x_2[/mm]
>
> [mm]\to (x_1[/mm] - [mm]1)*x_2=x_2*x_1-x_1[/mm]
>
> [mm]\to x_1*x_2-x_2=x_2*x_1-x_1[/mm] | [mm]-(x_1*x_2)[/mm] ; *(-1)
>
> [mm]\to x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm]
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> Kann sein, dass ich schwer von Begriff bin. Aber wieso hab
> ich damit injektivität gezeigt. Warum tue ich das, was ich
> grade gemacht habt. Und warum kann ich das (laut Tutor) mit
> beiden Sätzen auch also auch mit dem [mm]\ne[/mm] Satz machen?
>
> Vielen dank trotzdem erstmal
Hallo,
Du hast gezeigt, daß, sofern bei Deiner Funktion die Funktionswerte an zwei Stellen übereinstimmen, es sich um ein und dieselbe Stelle handelt.
Es können also nicht zwei verschiedene Elemente des Def. bereiches auf denselben Wert abgebildet werden, und genau das ist ja Injektivität.
Dein Tutor meint sicher, daß Du auch mit [mm] x_1\not= x_2 [/mm] hättest starten können und die Verschiedenheit ihrer Funktionswerte zeigen. Mit somebodies Umformung ist das auch sehr einfach.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Do 08.11.2007 | | Autor: | suburbian |
Okay ich denke ich habe das jetzt verstanden. Danke für die Hilfe.
Grüße
Metin G.
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