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Injektivität im Komplexen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 26.05.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Seien G [mm] \subseteq \IC [/mm] ein konvexes Gebiet und F: [mm] G-->\IC [/mm] holomorph mit stetiger Ableitung F'. Zeige: Ist ReF' nullstellenfrei, so ist F Injektiv.
Genügt es zu verlangen, dass F' nullstellenfrei ist?

Hallo,

den eigentlichen Beweis habe ich gemeistert ;-) Allerdings fehlt mir ein passendes Gegenbeispiel zur der Frage, ob es genügt, dass F' nullstellenfrei ist... Könntet ihr mir diesbezüglich bitte auf die Sprünge helfen?

Danke!

        
Bezug
Injektivität im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:44 Mi 27.05.2015
Autor: fred97


> Seien G [mm]\subseteq \IC[/mm] ein konvexes Gebiet und F: [mm]G-->\IC[/mm]
> holomorph mit stetiger Ableitung F'.


Hä ? Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist immer stetig.





> Zeige: Ist ReF'
> nullstellenfrei, so ist F Injektiv.
> Genügt es zu verlangen, dass F' nullstellenfrei ist?
>  Hallo,
>  
> den eigentlichen Beweis habe ich gemeistert ;-) Allerdings
> fehlt mir ein passendes Gegenbeispiel zur der Frage, ob es
> genügt, dass F' nullstellenfrei ist... Könntet ihr mir
> diesbezüglich bitte auf die Sprünge helfen?


Spring mal auf die Expo.

FRED

>  
> Danke!


Bezug
                
Bezug
Injektivität im Komplexen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:39 Mi 27.05.2015
Autor: Trikolon


> > Seien G [mm]\subseteq \IC[/mm] ein konvexes Gebiet und F: [mm]G-->\IC[/mm]
> > holomorph mit stetiger Ableitung F'.
>
>
> Hä ? Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist immer
> stetig.
>  
>
> so lautet aber in der Tat die Aufgabenstellung...
>
>
> > Zeige: Ist ReF'
> > nullstellenfrei, so ist F Injektiv.
> > Genügt es zu verlangen, dass F' nullstellenfrei ist?
>  >  Hallo,
>  >  
> > den eigentlichen Beweis habe ich gemeistert ;-) Allerdings
> > fehlt mir ein passendes Gegenbeispiel zur der Frage, ob es
> > genügt, dass F' nullstellenfrei ist... Könntet ihr mir
> > diesbezüglich bitte auf die Sprünge helfen?
>  
>
> Spring mal auf die Expo.

>

Also f(z)=exp(z)=exp(x)*(cosy+isiny)=f'(z) ist nullstellenfrei. Aber doch auch injektiv, oder?

> FRED
>  >  
> > Danke!
>  


Bezug
                        
Bezug
Injektivität im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mi 27.05.2015
Autor: fred97


> > > Seien G [mm]\subseteq \IC[/mm] ein konvexes Gebiet und F: [mm]G-->\IC[/mm]
> > > holomorph mit stetiger Ableitung F'.
> >
> >
> > Hä ? Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist immer
> > stetig.
>  >  
> >
> > so lautet aber in der Tat die Aufgabenstellung...
>  >

> >
> > > Zeige: Ist ReF'
> > > nullstellenfrei, so ist F Injektiv.
> > > Genügt es zu verlangen, dass F' nullstellenfrei ist?
>  >  >  Hallo,
>  >  >  
> > > den eigentlichen Beweis habe ich gemeistert ;-) Allerdings
> > > fehlt mir ein passendes Gegenbeispiel zur der Frage, ob es
> > > genügt, dass F' nullstellenfrei ist... Könntet ihr mir
> > > diesbezüglich bitte auf die Sprünge helfen?
>  >  
> >
> > Spring mal auf die Expo.
>  >
>  
> Also f(z)=exp(z)=exp(x)*(cosy+isiny)=f'(z) ist
> nullstellenfrei. Aber doch auch injektiv, oder?

Nein. $exp(z+2k [mm] \pi [/mm] i)=exp(z)$  für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] und alle $k [mm] \in \IZ.$ [/mm]

FRED

>  
> > FRED
>  >  >  
> > > Danke!
> >  

>  


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