Injektivität nachweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachtet wird die Abbildung f: [mm] \IN [/mm] → [mm] \IN_{0} [/mm] definiert durch f(n) := [mm] n^3 [/mm] − n , [mm] n\in\IN
[/mm]
Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f von [mm] \IN [/mm] auf [mm] \IN_{0} [/mm] erweitert wird? |
Hallo zusammen,
meine Lösung:
zu zeigen: [mm] f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}
[/mm]
[mm] (x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}
[/mm]
[mm] (x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1
[/mm]
[mm] (x_{1}+x_{2})^2=1
[/mm]
[mm] x_{1}+x_{2}=\pm1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1.) [mm] x_{1}=1-x_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 2.) [mm] x_{1}=-1-x_{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] für jedes [mm] x_{2}\in\IN [/mm] ist [mm] x_{1}\not\in\IN \Rightarrow [/mm] f = injektiv!
Erweiterung des Definitionsbereichs auf [mm] \IN_{0}:
[/mm]
f nicht injektiv, da für [mm] x_{2}=1, x_{1}=0 [/mm] ist, also f(1)=f(0) und [mm] 1\not=0
[/mm]
Das stimmt soweit, oder?
Meine Frage hierzu ist, wie die beiden Ergebnisse 1.) und 2.) zu interpretieren sind. Wenn ich z.B. für [mm] x_{2}=1 [/mm] nehme, ist nach 1.) [mm] x_{1}=0. [/mm] Wenn ich jedoch [mm] x_{2}=1 [/mm] in 2.) einsetze dann kommt für [mm] x_{1}=-2 [/mm] raus.
Aber [mm] f(1)\not=f(-2). [/mm] Da kapier ich nicht, warum für [mm] x_{1}=-2 [/mm] herauskommt? Sind die beiden Gleichungen falsch? oder kann ich die 2.) Gleichung nur für den Intervall [mm] x_{2}\in (0,-\infty) [/mm] verwenden?
lg, nitro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Betrachtet wird die Abbildung f: [mm]\IN[/mm] → [mm]\IN_{0}[/mm] definiert
> durch f(n) := [mm]n^3[/mm] − n , [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die
> Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f
> von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird?
> Hallo zusammen,
>
> meine Lösung:
>
> zu zeigen: [mm]f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
>
> [mm]x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}[/mm]
> [mm](x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}[/mm]
Hier teilst Du durch [mm] x_1-x_2 [/mm] !!
Das kannst Du nur wenn [mm] x_1 \ne x_2 [/mm]
> [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm]
> [mm](x_{1}+x_{2})^2=1[/mm]
Lerne nochmal die binomischen Formeln !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
> [mm]x_{1}+x_{2}=\pm1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1.) [mm]x_{1}=1-x_{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2.) [mm]x_{1}=-1-x_{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für jedes [mm]x_{2}\in\IN[/mm] ist [mm]x_{1}\not\in\IN \Rightarrow[/mm]
> f = injektiv!
Das hast Du nicht gezeigt!
FRED
>
> Erweiterung des Definitionsbereichs auf [mm]\IN_{0}:[/mm]
> f nicht injektiv, da für [mm]x_{2}=1, x_{1}=0[/mm] ist, also
> f(1)=f(0) und [mm]1\not=0[/mm]
>
> Das stimmt soweit, oder?
>
> Meine Frage hierzu ist, wie die beiden Ergebnisse 1.) und
> 2.) zu interpretieren sind. Wenn ich z.B. für [mm]x_{2}=1[/mm]
> nehme, ist nach 1.) [mm]x_{1}=0.[/mm] Wenn ich jedoch [mm]x_{2}=1[/mm] in 2.)
> einsetze dann kommt für [mm]x_{1}=-2[/mm] raus.
> Aber [mm]f(1)\not=f(-2).[/mm] Da kapier ich nicht, warum für
> [mm]x_{1}=-2[/mm] herauskommt? Sind die beiden Gleichungen falsch?
> oder kann ich die 2.) Gleichung nur für den Intervall
> [mm]x_{2}\in (0,-\infty)[/mm] verwenden?
>
> lg, nitro
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> > Betrachtet wird die Abbildung f: [mm]\IN[/mm] → [mm]\IN_{0}[/mm] definiert
> > durch f(n) := [mm]n^3[/mm] − n , [mm]n\in\IN[/mm]
> >
> > Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die
> > Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f
> > von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird?
> > Hallo zusammen,
> >
> > meine Lösung:
> >
> > zu zeigen: [mm]f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> >
> > [mm]x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}[/mm]
> > [mm]x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}[/mm]
> >
> [mm](x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}[/mm]
>
>
> Hier teilst Du durch [mm]x_1-x_2[/mm] !!
>
> Das kannst Du nur wenn [mm]x_1 \ne x_2[/mm]
Ok, gut, das stimmt. Aber das muß ich ja annehmen oder?
Wie soll ich das sonst nachweisen?????
>
> > [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm]
>
>
>
> > [mm](x_{1}+x_{2})^2=1[/mm]
>
>
> Lerne nochmal die binomischen Formeln
> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ups, danke für den Hinweis!
>
> > [mm]x_{1}+x_{2}=\pm1[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] 1.) [mm]x_{1}=1-x_{2}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] 2.) [mm]x_{1}=-1-x_{2}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] für jedes [mm]x_{2}\in\IN[/mm] ist [mm]x_{1}\not\in\IN \Rightarrow[/mm]
> > f = injektiv!
>
>
> Das hast Du nicht gezeigt!
Wie zeig ich das denn? Bräuchte da schon nen Tip...
>
> FRED
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Gl. richtig für x1=x2
2. falls [mm] x1\ne [/mm] x2 erzeuge einen Widerspruch, indem du die richtige bin Formel anwendest [mm] (x1+x2)^2=.....>0
[/mm]
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| Aufgabe | Betrachtet wird die Abbildung f: [mm]\IN[/mm] → [mm]\IN_{0}[/mm] definiert durch f(n) := [mm]n^3[/mm] − n , [mm]n\in\IN[/mm]
Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird? |
Ok, dann nochmal von vorn:
zu zeigen: [mm]x_{1}\not=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
[mm] f(x_{1})=f(x_{2})
[/mm]
[mm]x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}[/mm]
[mm]x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}[/mm]
[mm](x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}[/mm]
dann durch [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] teilen, was ja geht, da ich annehme [mm] x_{1}\not=x_{2}
[/mm]
[mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm]
so und hier häng ich jetzt...wie kann ich da jetzt weiter machen?
lg, nitro
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Hallo nitromath,
> Betrachtet wird die Abbildung f: [mm]\IN[/mm] → [mm]\IN_{0}[/mm] definiert
> durch f(n) := [mm]n^3[/mm] − n , [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die
> Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f
> von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird?
> Ok, dann nochmal von vorn:
>
> zu zeigen: [mm]x_{1}\not=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
>
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
> [mm]x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}[/mm]
> [mm](x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}[/mm]
>
> dann durch [mm](x_{1}-x_{2})[/mm] teilen, was ja geht, da ich
> annehme [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm]
>
> [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm]
>
> so und hier häng ich jetzt...wie kann ich da jetzt weiter
> machen?
Es sind [mm] $x_1,x_2\in\IN$, [/mm] also [mm] $x_1,x_2\ge [/mm] 1$
Damit [mm] $x_1^2\ge [/mm] 1, [mm] x_1x_2\ge [/mm] 1, [mm] x_2^2\ge [/mm] 1$
Also ist die linke Seite [mm] $x_1^2+x_1x_2+x_2^2\ge [/mm] 3$, kann also nicht $=1$ sein --> Widerspruch zur Annahme [mm] $f(x_1)=f(x_2)$
[/mm]
>
> lg, nitro
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nitromath,
>
>
> > Betrachtet wird die Abbildung f: [mm]\IN[/mm] → [mm]\IN_{0}[/mm] definiert
> > durch f(n) := [mm]n^3[/mm] − n , [mm]n\in\IN[/mm]
> >
> > Weisen Sie nach, dass f injektiv ist. Bleibt die
> > Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f
> > von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird?
> > Ok, dann nochmal von vorn:
> >
> > zu zeigen: [mm]x_{1}\not=x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2})[/mm]
>
> >
> > [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
> > [mm]x_{1}^3-x_{1}=x_{2}^3-x_{2}[/mm]
> > [mm]x_{1}^3-x_{2}^3=x_{1}-x_{2}[/mm]
> >
> [mm](x_{1}-x_{2})*(x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=x_{1}-x_{2}[/mm]
> >
> > dann durch [mm](x_{1}-x_{2})[/mm] teilen, was ja geht, da ich
> > annehme [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm]
> >
> > [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm]
> >
> > so und hier häng ich jetzt...wie kann ich da jetzt weiter
> > machen?
>
> Es sind [mm]x_1,x_2\in\IN[/mm], also [mm]x_1,x_2\ge 1[/mm]
>
> Damit [mm]x_1^2\ge 1, x_1x_2\ge 1, x_2^2\ge 1[/mm]
>
> Also ist die linke Seite [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2\ge 3[/mm], kann also
> nicht [mm]=1[/mm] sein --> Widerspruch zur Annahme [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm]
>
>
> >
> > lg, nitro
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Hi,
vielen Dank für die Antwort!
das ich das jetzt richtig verstehe:
[mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm] bedeutet das es keine [mm] x_{1},x_{2}\in\IN [/mm] gibt für die [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) [/mm] mit [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] gilt, da [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2\ge 3[/mm], oder?
Aber ich habe ja angenommen, dass [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] gilt und dann durch [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] geteilt. Das bedeutet doch, dass ich in die Gleichung keine [mm] x_{1},x_{2} [/mm] eingeben darf für die [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] gilt, weil ich ja sonst mit [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] durch 0 geteilt hätte, was ja nicht fuktioniert.
Aber du hast oben ja für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] 1 eingesetzt um mit [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2[/mm] auf das Ergebnis 3 zu kommen. Darf man dort doch belibige Werte mit [mm] x_{1}=x_{2} [/mm] einsetzen?
Zu der Frage: Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der Definitionsbereich von f von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert wird?
Nein, denn sei [mm] x_{1}=0 [/mm] und [mm] x_{2}=1 [/mm] so würde [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1[/mm] korrekt sein, was bedeutet [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] für [mm] x_1\not=x_2.
[/mm]
Ist das so korrekt?
lg, nitro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 01.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> >
>
> Hi,
> vielen Dank für die Antwort!
>
> das ich das jetzt richtig verstehe:
> [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm] bedeutet das es keine
> [mm]x_{1},x_{2}\in\IN[/mm] gibt für die [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] mit
> [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] gilt, da [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2\ge 3[/mm], oder?
Yep
>
> Aber ich habe ja angenommen, dass [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] gilt und
> dann durch [mm](x_{1}-x_{2})[/mm] geteilt. Das bedeutet doch, dass
> ich in die Gleichung keine [mm]x_{1},x_{2}[/mm] eingeben darf für
> die [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] gilt, weil ich ja sonst mit [mm](x_{1}-x_{2})[/mm]
> durch 0 geteilt hätte, was ja nicht fuktioniert.
Klar
> Aber du hast oben ja für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] 1 eingesetzt um
> mit [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2[/mm] auf das Ergebnis 3 zu kommen. Darf
> man dort doch belibige Werte mit [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] einsetzen?
Wenn [mm] x_{1}\ne x_{2} [/mm] gelten soll, ist
[mm] $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$ [/mm] sogar noch grösser als 3. Drei ist das Minimum des Ausdruckes [mm] $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$ [/mm] für [mm] x_{i}\in\IN
[/mm]
>
>
> Zu der Frage: Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der
> Definitionsbereich von f von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert
> wird?
>
> Nein, denn sei [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{2}=1[/mm] so würde
> [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1[/mm] korrekt sein, was bedeutet
> [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] für [mm]x_1\not=x_2.[/mm]
Richtig, damit hättest du das Gegenbeispiel zu deiner Behauptung f ist injektiv
>
> Ist das so korrekt?
>
> lg, nitro
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Mo 01.11.2010 | | Autor: | nitromath |
> Hallo
>
> > >
> >
> > Hi,
> > vielen Dank für die Antwort!
> >
> > das ich das jetzt richtig verstehe:
> > [mm](x_{1}^2+x_{1}*x_{2}+x_{2}^2)=1[/mm] bedeutet das es keine
> > [mm]x_{1},x_{2}\in\IN[/mm] gibt für die [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm] mit
> > [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] gilt, da [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2\ge 3[/mm], oder?
>
> Yep
>
> >
> > Aber ich habe ja angenommen, dass [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] gilt und
> > dann durch [mm](x_{1}-x_{2})[/mm] geteilt. Das bedeutet doch, dass
> > ich in die Gleichung keine [mm]x_{1},x_{2}[/mm] eingeben darf für
> > die [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] gilt, weil ich ja sonst mit [mm](x_{1}-x_{2})[/mm]
> > durch 0 geteilt hätte, was ja nicht fuktioniert.
>
> Klar
>
> > Aber du hast oben ja für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] 1 eingesetzt um
> > mit [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2[/mm] auf das Ergebnis 3 zu kommen. Darf
> > man dort doch belibige Werte mit [mm]x_{1}=x_{2}[/mm] einsetzen?
>
> Wenn [mm]x_{1}\ne x_{2}[/mm] gelten soll, ist
>
> [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2[/mm] sogar noch grösser als 3. Drei ist das
> Minimum des Ausdruckes [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2[/mm] für [mm]x_{i}\in\IN[/mm]
>
> >
> >
> > Zu der Frage: Bleibt die Injektivität erhalten, wenn der
> > Definitionsbereich von f von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN_{0}[/mm] erweitert
> > wird?
> >
> > Nein, denn sei [mm]x_{1}=0[/mm] und [mm]x_{2}=1[/mm] so würde
> > [mm]x_1^2+x_1x_2+x_2^2=1[/mm] korrekt sein, was bedeutet
> > [mm]f(x_1)=f(x_2)[/mm] für [mm]x_1\not=x_2.[/mm]
>
> Richtig, damit hättest du das Gegenbeispiel zu deiner
> Behauptung f ist injektiv
>
> >
> > Ist das so korrekt?
> >
> > lg, nitro
>
> Marius
>
Vielen Dank!!!
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