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Forum "Diskrete Mathematik" - Injektivität und Surjektivität
Injektivität und Surjektivität < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Injektivität und Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:22 Do 03.11.2016
Autor: DerPinguinagent

Moin allerseits!

hab mal wieder eine Frage an der ich mal wieder gegen die Wand laufe. Ich soll für die folgende Funktion f; [mm] \ZZ [/mm] x [mm] \ZZ [/mm] --> [mm] \ZZ [/mm] x [mm] \ZZ [/mm] , wobei (m,n) --> (m-n,m+n) abgebildet wird, Injektivität und Surjektivität zeigen.

Bei der Injektivität muss ich ja zeigen:

f(m)=f(m´) und f(n)=f(n´) <=> m=m´ und n=n´

wie gehe ich da vor und wie mache ich das bei der Surjektivität!

Vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Injektivität und Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Do 03.11.2016
Autor: Chris84


> Moin allerseits!

Huhu,

>  
> hab mal wieder eine Frage an der ich mal wieder gegen die
> Wand laufe. Ich soll für die folgende Funktion f; [mm]\ZZ[/mm] x

Was soll denn $X$ sein. Eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$? [/mm]

> [mm]\ZZ[/mm] --> [mm]\ZZ[/mm] x [mm]\ZZ[/mm] , wobei (m,n) --> (m-n,m+n) abgebildet
> wird, Injektivität und Surjektivität zeigen.
>
> Bei der Injektivität muss ich ja zeigen:
>  
> f(m)=f(m´) und f(n)=f(n´) <=> m=m´ und n=n´

Noa, praeziser musst du zeigen, dass

$f( (m,n) ) = f( (m',n') ) [mm] \Rightarrow [/mm] (m,n) = (m',n')$,

was dann aequivalent zu $m=m'$ und $n=n'$ ist.

>  
> wie gehe ich da vor und wie mache ich das bei der

Fang doch mal an:

Aus $f( (m,n) ) = f( (m',n') )$ folgt doch

$m-n = m'-n' $
$m+n = m'+n'$.

Nun hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Das sollte doch sicherlich machbar sein ;)

> Surjektivität!
>  
> Vielen Dank im Voraus!

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Injektivität und Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Do 03.11.2016
Autor: DerPinguinagent

Soweit bin ich auch gekommen. Komme aber beim Auflösen nicht so ganz klar. Wie funktioniert der Beweis für die Surjektivität?

Bezug
                        
Bezug
Injektivität und Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:24 Fr 04.11.2016
Autor: sinnlos123

Surjektivität zeigst du indem du:

zeigst, dass

für alle [mm] (a,b)\in X^2 [/mm] (Zielmenge) es ein mindestens ein [mm] (c,d)\in X^2 [/mm] (Definitionsmenge) gibt, so dass:

f(c,d)=(a,b)
f(c,d)=(c-d,c+d)=(a,b)

Dann erhalten wir:
c-d=a
c+d=b

Zeige nun, dass wenn ich dir ein beliebiges (a,b) gebe, du ein davon abhängiges Wertepaar (c,d) geben kannst, so dass beide Gleichungen erfüllt sind.

Zeige AUßERDEM: (c,d) liegt tatsächlich in [mm] X^2. [/mm] Ansonsten wärs ja keine Funktion mehr von [mm] X^2 [/mm] nach [mm] X^2 [/mm]

Ich schließe mich chris an, was ist denn [mm] X^2? [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Injektivität und Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:22 Fr 04.11.2016
Autor: Chris84

Huhu sinnlos,

> Surjektivität zeigst du indem du:
>  
> zeigst, dass
>  
> für alle [mm](a,b)\in X^2[/mm] (Zielmenge) es ein mindestens ein
> [mm](c,d)\in X^2[/mm] (Wertemenge) gibt, so dass:

Anstatt "Wertemenge" meinst du bestimmt "Definitionsmenge" ;)

>  
> f(c,d)=(a,b)
>  f(c,d)=(c-d,c+d)=(a,b)
>  
> Dann erhalten wir:
>  c-d=a
>  c+d=b
>  
> Zeige nun, dass wenn ich dir ein beliebiges (a,b) gebe, du
> ein davon abhängiges Wertepaar (c,d) geben kannst, so dass
> beide Gleichungen erfüllt sind.

Das haengt ganz stark davon ab, was $X$ (oder [mm] $X^2$ [/mm] oder oder oder...) ist.

>  
> Zeige AUßERDEM: (c,d) liegt tatsächlich in [mm]X^2.[/mm] Ansonsten
> wärs ja keine Funktion mehr von [mm]X^2[/mm] nach [mm]X^2[/mm]
>  

Genau :)

> Ich schließe mich chris an, was ist denn [mm]X^2?[/mm]  

Gruss,
Chris

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Bezug
Injektivität und Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:45 Fr 04.11.2016
Autor: sinnlos123

Hiho Chris,

Tatsächlich meinte ich Defintionsmenge.
Werd's mal editieren.

Viele guten Morgen Grüße
Jan


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Injektivität und Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Fr 04.11.2016
Autor: DerPinguinagent

[mm] X^{2} [/mm] ist Z

Bezug
                                        
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Injektivität und Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Fr 04.11.2016
Autor: leduart

Hallo
gib dir etwas mehr Mühe mit den Aufgaben:  offensichtlich ist doch
[mm] X\subseteq \IZ \times \IZ [/mm]
Gruß leduart

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Injektivität und Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Fr 04.11.2016
Autor: Chris84


> Soweit bin ich auch gekommen. Komme aber beim Auflösen
> nicht so ganz klar. Wie funktioniert der Beweis für die

Zum Aufloesen: Addiere doch 'mal beide Gleichungen :) Dann bist du doch quasi fertig :)

> Surjektivität?


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