Injektivität und Surjektivität < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Hi,
ich hab folgende Aufgab zu lösen und komme auf keinen Ansatz
Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivit¨at und Surjektivität:
a.) Q : [mm] N\mapsto [/mm] N wobei Q(n) die Quersumme von n ist, also die Summe der Ziiffern von n in der Dezimaldarstellung.
b.) f : [mm] R^2 [/mm] → R gegeben durch f(x, y) = [mm] x^2 [/mm] + xy + y2.
c.) g : [mm] R^2 [/mm] → [mm] R^2 [/mm] gegeben durch (x, y) 7→ (x − y, x + y).
d.) XQ : R → {0, 1} definiert durch Q(x) [mm] =\{ 0 falls x 6 nicht element Q, 1
falls x element Q,\}
[/mm]
Leider hab ich das mit dem Einfügen von mathematischen Zeichen noch nicht so drauf, ich hoffe, man kann die Aufgabenstellung trotzdem verstehen.
Mein Ansatz ist der allgemeine Beweis zur Surjektivität
f(X) = Y falls es zu jedem y Element Y ein x Element X gibt mit y =f(x) dann ist Surjektivität gegeben.
Leider finde ich aber bei keiner der Teilaufgaben, dadurch einen Ansatz!
Ich wäre für ein paar gute Tips / Lösungsansätze sehr dankbar!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt!
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> Hi,
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> ich hab folgende Aufgab zu lösen und komme auf keinen
> Ansatz
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> Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivit¨at und
> Surjektivität:
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> a.) Q : [mm]N\mapsto[/mm] N wobei Q(n) die Quersumme von n ist,
> also die Summe der Ziiffern von n in der
> Dezimaldarstellung.
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> b.) f : [mm]R^2[/mm] → R gegeben durch f(x, y) = [mm]x^2[/mm] + xy +
> y2.
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> c.) g : [mm]R^2[/mm] → [mm]R^2[/mm] gegeben durch (x, y) 7→ (x
> − y, x + y).
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> d.) XQ : R → {0, 1} definiert durch Q(x) [mm]=\{ 0 falls x 6 nicht element Q, 1
falls x element Q,\}[/mm]
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> Leider hab ich das mit dem Einfügen von mathematischen
> Zeichen noch nicht so drauf, ich hoffe, man kann die
> Aufgabenstellung trotzdem verstehen.
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> Mein Ansatz ist der allgemeine Beweis zur Surjektivität
>
> f(X) = Y falls es zu jedem y Element Y ein x Element X
> gibt mit y =f(x) dann ist Surjektivität gegeben.
>
> Leider finde ich aber bei keiner der Teilaufgaben, dadurch
> einen Ansatz!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Schauen wir uns die Aufgabe a) an.
Die Funktion Q ordnet jeder natürlichen Zahl ihre Quersumme zu.
Interessiert man sich für die Surjektivität, muß man sich fragen: ist jede natürliche Zahl n die Quersumme irgendeiner natürlichen Zahl x? Gibt es also für jedes [mm] n\in \IN [/mm] ein [mm] x\in \IN [/mm] mit Q(x)=n?
Wenn ja: gib irgendein ein x an, welches auf n abgebildet wird.
Zur Injektivität: Injektiv ist eine Funktion, wenn jedes Element der Zielmenge von höchstens einem Element der Definitionsmenge "getroffen" wird.
Ist das der Fall? Wird z.B. auf die 5 nur ein Element abgebildet oder gibt es womöglich mehrere Elemente, deren Funktionswert =5 ist?
Wenn Du das hast, kannst Du ja mal versuchen, Dich in ähnlichem Stile den anderen Funktionen zu nähern, und erstmal versuchen festzustellen, welche Fragen Du beantworten mußt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Di 28.10.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo Angela =)
Ich hoffe ich darf mich hier kurz einmischen.
Du hast geschrieben:
>
> Zur Injektivität: Injektiv ist eine Funktion, wenn jedes
> Element der Zielmenge von höchstens einem Element der
> Definitionsmenge "getroffen" wird.
> Ist das der Fall? Wird z.B. auf die 5 nur ein Element
> abgebildet oder gibt es womöglich mehrere Elemente, deren
> Funktionswert =5 ist?
>
Schließe ich somit richtig, dass folgende Funktion:
> > b.) f : [mm]R^2[/mm] → R gegeben durch f(x, y) = [mm]x^2[/mm] + xy +
> > y2.
nicht Injektiv sein kann, da die Lösung von:
5=x²+x*y+y²
immer in Abhängigkeit von x oder y ist. Einer der beiden Paramter kann somit für die Lösung =5 immer frei gewählt werden - somit gibt es keine exakte Lösung für x/y und die Lösung 5 wird "mehr als 1 mal getroffen".
lg
Zuggel
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> > Zur Injektivität: Injektiv ist eine Funktion, wenn jedes
> > Element der Zielmenge von höchstens einem Element der
> > Definitionsmenge "getroffen" wird.
> Schließe ich somit richtig, dass folgende Funktion:
>
> > > b.) f : [mm]R^2[/mm] → R gegeben durch f(x, y) = [mm]x^2[/mm] + xy +
> > > y2.
>
> nicht Injektiv sein kann, da die Lösung von:
>
> 5=x²+x*y+y²
>
> immer in Abhängigkeit von x oder y ist. Einer der beiden
> Paramter kann somit für die Lösung =5 immer frei gewählt
> werden - somit gibt es keine exakte Lösung für x/y und die
> Lösung 5 wird "mehr als 1 mal getroffen".
Hallo,
richtig, die Funktion ist nicht injektiv.
Injektivität bedeutet ja : Funktionswerte gleich ==> Argumente gleich,
und die kann hier schnell wiederlegt werden durch ein Gegenbeipiel:
Es ist z.B. f(2,-3)=f(-2,3), aber [mm] (2,-3)\not=(-2,3).
[/mm]
Gruß v. Angela
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