Inklusion m. Hilfe d. Durchsch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Di 21.10.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Folgende Behauptung soll gezeigt werden:
[mm]A\subset B\gdw (A\cap B) = A [/mm] |
Hi, ich habe obige Übungsaufgabe zu lösen und weiss eigentlich gar nicht, wie ich da ran gehen soll.
Folgenden Lösungsweg habe ich mir überlegt:
[mm]A\cap B = A[/mm]
[mm]\Rightarrow x\in A \wedge x\in B [/mm]
da laut Aufgabenstellung gelten soll, dass der Durchschnitt gleich A sein soll, gilt:
[mm]\Rightarrow \forall x\in A: x\in B[/mm]
[mm]\Rightarrow A\subset B[/mm]
Kann man das so machen, oder ist das zu einfach gedacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 22.10.2008 | | Autor: | dennschu |
Ich habe nochmal drüber nachgedacht und bin nun auf folgendes gekommen:
[mm](A \cap B): x \in A \wedge x \in B \Rightarrow x \in A \Rightarrow A \subset (A \cap B)[/mm]
[mm]A : x \in A \wedge \neg(x \not\in B) \Rightarrow x \in A \wedge x \in B \Rightarrow (A \cap B) \subset A[/mm]
[mm](A \subset B) \gdw (A \cap B) = A[/mm]
[mm](A \subset B) : \forall x \in A: x \in B \gdw x \in A \wedge \neg(x \not\in B) \gdw x \in A \wedge x \in B \gdw (A \cap B) = A[/mm]
Darf ich das so machen, oder muss ich das anders schreiben?
MfG Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
siehe andere Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dennis,
> Folgende Behauptung soll gezeigt werden:
> [mm]A\subset B\gdw (A\cap B) = A[/mm]
> Hi, ich habe obige
> Übungsaufgabe zu lösen und weiss eigentlich gar nicht, wie
> ich da ran gehen soll.
>
> Folgenden Lösungsweg habe ich mir überlegt:
>
> [mm]A\cap B = A[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in A \wedge x\in B[/mm]
>
> da laut Aufgabenstellung gelten soll, dass der Durchschnitt
> gleich A sein soll, gilt:
>
> [mm]\Rightarrow \forall x\in A: x\in B[/mm]
> [mm]\Rightarrow A\subset B[/mm]
>
> Kann man das so machen, oder ist das zu einfach gedacht?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
also was mir auffällt, obgleich sicher einige Deiner Gedankengänge (wohl auch bei Deiner zweiten Frage) richtig sind, ist einfach die fehlende Struktur in Deinem "Beweis", so dass man gar nicht wirklich, ohne selbst genauer drüber nachzudenken, weiß, was Du eigentlich an welcher Stelle warum machst.
Ich selbst hatte schon nach dem ersten Blick keine Lust mehr, Deine Gedankengänge nachzuvollziehen. Nimm' mir das bitte nicht übel. Aber wenn ein Beweis mehr oder weniger "chaotisch" notiert wird, macht es den anderen Leuten das nachvollziehen des Beweises nicht leichter.
Ich gebe Dir mal eine genaue Vorlage, was Du zu zeigen hast:
$ [mm] A\subset B\gdw (A\cap [/mm] B) = A $
Eine Bemerkung vorneweg:
Für zwei Mengen $X,Y$ gilt $X=Y$ genau dann, wenn sowohl [mm] $\alpha)$ [/mm] $X [mm] \subset [/mm] Y$ als auch [mm] $\beta)$ [/mm] $Y [mm] \subset [/mm] X$ gilt.
Hier sind zwei Folgerungen zu zeigen (da oben ein [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] steht):
1.) [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Unter der Voraussetzung, dass $A [mm] \subset [/mm] B$ gilt, ist zu zeigen, dass dann auch folgt, dass $A [mm] \cap [/mm] B=A$ gilt.
2.) [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] Unter der Voraussetzung, dass $A [mm] \cap [/mm] B=A$ gilt, hast Du zu zeigen, dass dann auch $A [mm] \subset [/mm] B$ sein muss.
Nun beginnst Du mit dem Beweis:
1.) bzw. [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Vorausgesetzt sei hier also $A [mm] \subset [/mm] B$.
Du hast nun $A [mm] \cap [/mm] B=A$ zu zeigen, also wegen der Vorbemerkung zwei Dinge [mm] $\alpha)$ [/mm] und [mm] $\beta)$:
[/mm]
[mm] $\alpha)$ [/mm] Zeige, dass die Voraussetzung (die da war: $A [mm] \subset [/mm] B$) impliziert: $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset A\,.$
[/mm]
(Dass $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$ gilt, ist übrigens allgemeiner gültig. Also dafür benötigt man die Voraussetzung $A [mm] \subset [/mm] B$ nicht wirklich.)
[mm] $\beta)$ [/mm] Zeige, dass die Voraussetzung impliziert: $A [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$ [/mm]
Wenn Du [mm] $\alpha)$ [/mm] und [mm] $\beta)$ [/mm] gezeigt hast, hast Du gezeigt:
$A [mm] \subset [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)=A$.
Laut Aufgabenstellung ist nun auch noch zu zeigen:
Aus $(A [mm] \cap [/mm] B)=A$ folgt, dass $A [mm] \subset [/mm] B$.
Also 2.) bzw. [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Hier ist die Voraussetzung: Es gelte $(A [mm] \cap [/mm] B)=A$.
Und zu zeigen ist: Dann muss schon $A [mm] \subset [/mm] B$ gelten.
--
So, damit sollte Dir eine Beweisstruktur vorgegeben sein. Die einzelnen Schritte kannst Du dann ja so einfügen, wie Du sie für richtig hältst. Es kann durchaus sein, dass Deine, anders kann ich das nicht nennen: "Beweis-Notizen" auch schon alles dafür beinhalten. Aber ich selber finde es schwer, mich da zurechtzufinden, was Du wo machst, was die einzelnen Voraussetzungen sind und was Du eigentlich an welcher Stelle genau beweist (bzw. beweisen willst).
Übe Dich möglichst früh in der Beweisstruktur, das hilft Dir auch in Zukunft, den Überblick bei einem Beweis zu behalten. Hier finde ich einen "schlampigen Beweis" noch nicht so schlimm, wenn man alles findet und noch irgendwie zuordnen kann, so dass der Beweis ersichtlich wird. Aber wenn Du mal Beweise siehst, die über ein paar Seiten laufen... Naja, dann endet das im Chaos und man versteht am Ende gar nicht mehr, wodrum es eigentlich geht. Daher lieber von Anfang an lernen, sauber zu arbeiten!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 22.10.2008 | | Autor: | dennschu |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort. Ich werde versuchen meine Beweise demnächst strukturierter aufzuschreiben.
Kann man den Beweis der Aufgabe so schreiben? Ich kann mir bis jetzt immer noch nur sehr schwer vorstellen wie ich das beweisen kann, da Mengenlehre überhaupt nicht mein Lieblingsgebiet ist. Ich hoffe, ich konnte deine Ratschläge gut umsetzen.
(A [mm] \subset [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = A
zu zeigen: [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow"
[/mm]
1. [mm] "\Rightarrow": [/mm] (A [mm] \subset [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = A
a) (A [mm] \subset [/mm] B) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
b) (A [mm] \subset [/mm] B) [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A
Damit wäre [mm] "\Rightarrow" [/mm] bewiesen ???
2. [mm] "\Leftarrow": [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = A [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \subset [/mm] B)
(A [mm] \cap [/mm] B) = A [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \subset [/mm] B)
Damit wäre der 2. Teil auch bewiesen ???
MfG Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort. Ich werde versuchen meine Beweise
> demnächst strukturierter aufzuschreiben.
>
> Kann man den Beweis der Aufgabe so schreiben? Ich kann mir
> bis jetzt immer noch nur sehr schwer vorstellen wie ich das
> beweisen kann, da Mengenlehre überhaupt nicht mein
> Lieblingsgebiet ist. Ich hoffe, ich konnte deine Ratschläge
> gut umsetzen.
>
> (A [mm]\subset[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = A
>
> zu zeigen: [mm]"\Rightarrow"[/mm] und [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>
> 1. [mm]"\Rightarrow":[/mm] (A [mm]\subset[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = A
>
> a) (A [mm]\subset[/mm] B) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
Das Ende sieht komisch aus. Ich meine "$(A [mm] \cap [/mm] B)$" alleine sagt ja nichts aus. Dort willst Du vll. $x [mm] \in [/mm] A$ hinschreiben, und damit dann folgern:
$(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$?
Schauen wir mal, wie das ganze "in Worten" ausschaut, was Du schreibst und ergänzen wir es mal:
Es gelte also $A [mm] \subset [/mm] B$. Dann gilt: Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt auch $x [mm] \in [/mm] B$. Daher folgt:
(Das hier in Klammern in Blau geschrieben fehlt bei Dir, das sollte man ergänzen:
Ist nun $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ beliebig, so gilt sowohl $x [mm] \in [/mm] A$ als auch $x [mm] \in [/mm] B$.)
Für $x$ so, dass sowohl $x [mm] \in [/mm] A$ als auch $x [mm] \in [/mm] B$ gilt, gilt aber insbesondere $x [mm] \in [/mm] A$.
Also erfüllt jedes $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ auch $x [mm] \in [/mm] A$, und daher gilt $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$.
Wenn Du es mal "nur" symbolisch notieren willst:
1.) Voraussetzung: Es gelte $A [mm] \subset [/mm] B$.
a) Zu zeigen ist zunächst $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$. Dies gilt allerdings auch ohne die Voraussetzung, denn:
Sei $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ beliebig
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] A$.
Da $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ beliebig war, folgt somit:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B): x [mm] \in A\,.$ [/mm]
Also gilt $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset A\,.$ [/mm]
> b) (A [mm]\subset[/mm] B) [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] A
>
> Damit wäre [mm]"\Rightarrow"[/mm] bewiesen ???
Auch hier steht am Ende ja nichts "überprüfbares". Was soll denn [mm] "$\black{A}$" [/mm] alleine für einen Sinn haben?
Zu zeigen ist hier: Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt: $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$. Bzw. äquivalent dazu: Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt: $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$.
Bei a) haben wir die Voraussetzung $A [mm] \subset [/mm] B$ nicht gebraucht, um $(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] A$ zu folgern.
Bei b) benötigen wir sie. Ich schreibe es mal kurz so:
Sei $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig. Zu zeigen ist nun, dass $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$.
Für $x [mm] \in [/mm] A$ gilt aber insbesondere auch $x [mm] \in [/mm] B$, da nach Voraussetzung $A [mm] \subset [/mm] B$ ist. Damit gilt aber für $x [mm] \in [/mm] A$ dann $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$, also $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$.
Da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, ist $A [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cap B)\,.$
[/mm]
> 2. [mm]"\Leftarrow":[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = A [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\subset[/mm] B)
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) = A [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\subset[/mm]
> B)
>
> Damit wäre der 2. Teil auch bewiesen ???
Hier blicke ich, ehrlich gesagt, auch wieder nicht ganz durch.
Voraussetzung:
Es gelte $(A [mm] \cap [/mm] B)=A$.
Zu zeigen ist nun, dass dann $A [mm] \subset [/mm] B$ gilt, also, dass:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] B$ gilt.
Jetzt nimm' mal irgendein $x [mm] \in [/mm] A$ her. Aus $x [mm] \in [/mm] A$ folgt, da nach Voraussetzung $A=(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt, dann auch $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$. Nach Definition von $(A [mm] \cap [/mm] B)$ heißt dass dann aber, dass für dieses $x$ dann gilt: $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$. Also gilt damit auch $x [mm] \in [/mm] B$.
Was zeigt diese Überlegung? Sie zeigt (da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war):
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \in [/mm] B$, also: $A [mm] \subset [/mm] B$.
Ist das ganze jetzt klarer?
Gruß,
Marcel
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