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Forum "Differentiation" - Inklusion stetig/diff.bar.
Inklusion stetig/diff.bar. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inklusion stetig/diff.bar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 25.09.2018
Autor: mathestudent222

Für Funktionen, die auf einem kompakten Intervall definiert sind, gilt folgende Inklusion:

Continuously differentiable ⊂ Lipschitz continuous ⊂ α-Hölder continuous ⊂ uniformly continuous ⊂ continuous

(wobei letztgenannte ja für kompakte Intervalle gleich sind). Kann man in diese Inklusionskette irgendwo auch die Menge der differenzierbaren Funktionen einfügen?

        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Di 25.09.2018
Autor: fred97


> Für Funktionen, die auf einem kompakten Intervall
> definiert sind, gilt folgende Inklusion:
>  
> Continuously differentiable ⊂ Lipschitz continuous ⊂
> α-Hölder continuous ⊂ uniformly continuous ⊂
> continuous
>  
> (wobei letztgenannte ja für kompakte Intervalle gleich
> sind). Kann man in diese Inklusionskette irgendwo auch die
> Menge der differenzierbaren Funktionen einfügen?

Wir haben

    [mm] \alpha- [/mm] Hölder stetig mit [mm] \alpha [/mm] >1 [mm] \subset [/mm] differenzierbar.

Mehr geht da nicht.

Frage an Dich: wie sehen denn   [mm] \alpha- [/mm] Hölder stetige Funktionen mit [mm] \alpha [/mm] >1 aus ?




Bezug
                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Di 25.09.2018
Autor: mathestudent222

[mm] $\alpha$-Hölder [/mm] stetig mit [mm] $\alpha [/mm] >1$ würde ja bedeuten, dass die Funktion konstant ist!?

Bezug
                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Di 25.09.2018
Autor: fred97


> [mm]\alpha[/mm]-Hölder stetig mit [mm]\alpha >1[/mm] würde ja bedeuten,
> dass die Funktion konstant ist!?  

Bingo !


Bezug
                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Di 25.09.2018
Autor: mathestudent222

Ich beschäftige mich gerade mich Fourierreihen im Intervall $[0,1]$. Der Autor beweist ein Resultat für differenzierbare Funktionen. Anschließend schreibt er: Betrachtet man den Beweis, so stellt man fest, dass Differenzierbarkeit im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] eine viel zu stärkere Annahme war als nötig. Wir können sie durch die schwächere Vorraussetzung der lokalen [mm] $\alpha$-Hölder-Stetigkeit [/mm] für [mm] $\alpha\in [/mm] (0,1]$ ersetzen. Mir ist nicht klar wie die eine Annahme eine stärkere als die andere sein kann, wenn zwischen den beiden Klassen von Funktionen kein Zusammenhang besteht!?

Bezug
                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Di 25.09.2018
Autor: fred97


> Ich beschäftige mich gerade mich Fourierreihen im
> Intervall [mm][0,1][/mm]. Der Autor beweist ein Resultat für
> differenzierbare Funktionen. Anschließend schreibt er:
> Betrachtet man den Beweis, so stellt man fest, dass
> Differenzierbarkeit im Punkt [mm]x_0[/mm] eine viel zu stärkere
> Annahme war als nötig. Wir können sie durch die
> schwächere Vorraussetzung der lokalen
> [mm]\alpha[/mm]-Hölder-Stetigkeit für [mm]\alpha\in (0,1][/mm] ersetzen.
> Mir ist nicht klar wie die eine Annahme eine stärkere als
> die andere sein kann, wenn zwischen den beiden Klassen von
> Funktionen kein Zusammenhang besteht!?


Wie lautet der  Satz?  Wie geht  der Beweis?

Bezug
                                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Di 25.09.2018
Autor: mathestudent222

Folgender Link auf Seite 166 des Buches:

[]Fourier-Analysis 1

In Theorem 4.1 wird nur Differenzierbarkeit vorrausgesetzt. Nach dem Beweis steht das mit der Abschwächung der Vorraussetzungen.

Wenn ich es allerdings richtig verstehe, so inkludiert Theorem 4.2 das Resultat 4.1 nicht, da aus der Differenzierbarkeit nicht automatisch Hölder-Stetigkeit folgt.


Bezug
                                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mi 26.09.2018
Autor: fred97


> Folgender Link auf Seite 166 des Buches:
>
> []Fourier-Analysis 1

Hierbei handelt es sich um eine Leseprobe. Seite 166 und viele andere Seiten werden nicht angezeigt !


>  
> In Theorem 4.1 wird nur Differenzierbarkeit vorrausgesetzt.
> Nach dem Beweis steht das mit der Abschwächung der
> Vorraussetzungen.
>  
> Wenn ich es allerdings richtig verstehe, so inkludiert
> Theorem 4.2 das Resultat 4.1 nicht, da aus der
> Differenzierbarkeit nicht automatisch Hölder-Stetigkeit
> folgt.
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Mi 26.09.2018
Autor: mathestudent222

Wirklich? Bei mir wird S. 166 angezeigt..

Bezug
                                                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:07 Mi 26.09.2018
Autor: fred97


> Wirklich? Bei mir wird S. 166 angezeigt..

Jedesmal, wenn ich den Link anklicke werde unterschiedliche Seiten angezeigt. Ich hab das nun gefühlte 33 mal gemacht, aber nie war Seite 166 dabei. Mir ist es daher zu blöd geworden.

Schreib den Satz mit Beweis hier rein. Dann wird Dir vielleicht geholfen.


Bezug
                                                                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:51 Mi 26.09.2018
Autor: mathestudent222

[a][Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]

Bezug
                                                                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:04 Mi 26.09.2018
Autor: fred97


> [a][Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]





??????


Bezug
                                                                                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:50 Do 27.09.2018
Autor: mathestudent222

Das Hochladen hat irgendwie nicht funktioniert. Mir ist aber bereits klar, worin mein Denkfehler lag. Und zwar wurde hier von lokaler Hölder-Stetigkeit gesprochen, habe davor noch nichts davon gehört gehabt. Und aus Differenzierbarkeit folgt offensichtlich die lokale Hölder-Stetigkeit.

Mir hat sich jedoch eine neue Frage im Irrgarten der Fourier-Konvergenztheorie aufgetan, und zwar:

Für [mm] $f\in L^1[0,1]$ [/mm] muss nicht [mm] $||S_n(f)-f||_{L^1[0,1]}\to [/mm] 0$ gelten, wobei [mm] $S_n(f)$ [/mm] die n-te Partialsumme der Fourierreihe bezeichnet. Gibt es eine Klasse von Funktionen, für die die Fourier-Reihe im [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] gegen die Funktion konvergiert? Für differenzierbare Funktionen gilt ja zB punktweise Konvergenz, für stetige Funktionen fast überall punktweise Konvergenz. Wie sieht es jedoch für diese Funktionen mit der [mm] $L^1$-Konvergenz [/mm] aus?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 29.09.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                                        
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Mi 26.09.2018
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich kann nur vermuten, dass versucht wurde, ein urheberrechtsgeschütztes Dokument hochzuladen und das automatisch entfernt wurde.

Am Besten wäre es, wenn du die entsprechende/n Stelle/n hier zitierst.

LG,
ChopSuey

Bezug
                                                                                                
Bezug
Inklusion stetig/diff.bar.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Mi 26.09.2018
Autor: mathestudent222

Nein, das Hochladen hat irgendwie nicht funktioniert. Mir ist aber bereits klar, worin mein Denkfehler lag. Und zwar wurde hier von lokaler Hölder-Stetigkeit gesprochen, habe davor noch nichts davon gehört gehabt. Und aus Differenzierbarkeit folgt offensichtlich die lokale Hölder-Stetigkeit.

Mir hat sich jedoch eine neue Frage im Irrgarten der Fourier-Konvergenztheorie aufgetan, und zwar:

Für [mm] $f\in L^1[0,1]$ [/mm] muss nicht [mm] $||S_n(f)-f||_{L^1[0,1]}\to [/mm] 0$ gelten, wobei [mm] $S_n(f)$ [/mm] die n-te Partialsumme der Fourierreihe bezeichnet. Gibt es eine Klasse von Funktionen, für die die Fourier-Reihe im [mm] $L^1[0,1]$ [/mm] gegen die Funktion konvergiert? Für differenzierbare Funktionen gilt ja zB punktweise Konvergenz, für stetige Funktionen fast überall punktweise Konvergenz. Wie sieht es jedoch für diese Funktionen mit der [mm] $L^1$-Konvergenz [/mm] aus?

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