Inkreismittelpunkt Allgemein < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Sa 08.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo zusammen,
ich steh (mal wieder) wie der Ochs vom Berg! Ich versuche eine Aufgabe zum Inkreismittelpunkt zu rechnen, kann mich aber nicht erinnern das jemals schonmal gemacht zu haben *schäm*
Ich hab auch schon die Suchfunktion des Forums sowie Google verwendet, aber irgendwie nichts gefunden was mir hilft! Vielleicht steh ich auch einfach mal wieder nur total auf dem Schlauch!?
Mir gehts ja hauptsächlich um eine allgemeine Herangehensweise, so dass ich die Aufgabe jetzt gar nicht nennen will, rechnen möchte ich es ja gerne selbst.
Nur so viel: Gegeben hab ich 3 Punkte A, B und C eines Dreiecks und soll nun den Inkreismittelpunkt berechnen.
Vorgehen wollte ich so:
Erst hab ich natürlich ne Skizze gemacht. Dann hab ich die Seiten berechnet und dann die Winkel. Das hat auch alles schön mit meiner Zeichnung übereingestimmt.
So weit so gut!
Der Inkreismittelpunkt ist ja der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Also brauch ich ja eigentlich nur die Gleichung der Winkelhalbierenden aufstellen und diese gleichsetzen?!
Nur - falls das der richtige Weg sein sollte - hab ich keine Ahnung wie ich an diese Gleichungen komm. Ich kenn weder die Steiung, und kann sie auch nicht berechnen (wie zB beim Umkreis), ich kenn aber auch keine 2 Punkte!
Es wäre sehr nett wenn mir jemand sagen könnte ob ich total auf dem falschen Dampfer bin und mir einen Hinweis geben könnte wie man an solche Aufgaben rangeht! Danke!!!
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 So 09.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Winkelhalbierende zwischen 2 gleichlangen Vektoren hat die Richtung der Summe der 2 Vektoren.
sind sie nicht gleich lang, mach einheitsvektoren draus! Also aus AC und AD einheitsvektoren gibt Richtungsvektor der Geraden na ja und den Punkt A hast du ja auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke dir Leduart!
Anders kommt man nicht auf den Inkreismittelpunkt? Das Problem ist nämlich, dass mein Bruder (von ihm stammt die Aufgabe) in der Schule noch gar nichts mit Vektoren gemacht hat! Dh es müsste ja irgendwie anders gehen, oder nicht?
Liebe grüße,
Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 09.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum schreibt der Knabe nicht selbst? Was kann er denn? Also die 2 Geraden, tan zur x Achse kennt er, daraus die 2 Winkel, zu dem Kleineren die Hälfte addieren, wieder tan und daraus die Wh.
Oder einfach zeichnen.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Ohh, das ging mir jetzt gerade zu schnell!
Welche 2 Geraden meinst du? Meinst du die, die durch die gegebenen Punkte A,B und C gehen? Falls ja, die Gleichungen hab ich schon aufgestellt, die hab ich ja schon für den Umkreismittelpunkt gebraucht!
Aber warum jetzt tan?? Versteh das grad überhaupt nicht!
Ich glaub ich geb doch mal schnell die Aufgabe an
A(-12/2)
B(13/7)
C(-4/14)
Gerade durch A und B : y= 0,2x+4,4
Gerade durch A und C : y= 1,5x+20
Gerade durch B und C : y= [mm] -\bruch{7}{17}x+ 12\bruch{6}{17}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
> Ohh, das ging mir jetzt gerade zu schnell!
> Welche 2 Geraden meinst du? Meinst du die, die durch die
> gegebenen Punkte A,B und C gehen? Falls ja, die Gleichungen
> hab ich schon aufgestellt, die hab ich ja schon für den
> Umkreismittelpunkt gebraucht!
> Aber warum jetzt tan?? Versteh das grad überhaupt nicht!
>
> Ich glaub ich geb doch mal schnell die Aufgabe an
>
> A(-12/2)
> B(13/7)
> C(-4/14)
>
> Gerade durch A und B : y= 0,2x+4,4
>
> Gerade durch A und C : y= 1,5x+20
>
> Gerade durch B und C : y= [mm]-\bruch{7}{17}x+ 12\bruch{6}{17}[/mm]
>
>
bringe die geraden auf die HNF, dann gilt mit
[mm] g_{AB}: \frac{0.2x-y+4.4}{\sqrt{0.2²+1}}=0
[/mm]
[mm] g_{AC}:\frac{1.5x-y+20}{\sqrt{1.5^2+1}}=0
[/mm]
für die beiden winkelhalbierenden von [mm] \alpha [/mm]
[mm] w_{\alpha}:g_{AB}\pm g_{AC}=0
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:37 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Entschuldigung,dass ich jetzt schon wieder fragen muss, aber ich versteh es grad wirklich alles nicht!! :(
Was meinst du mit HNF? Hauptnennform oder so ähnlich?
"y= 0,2x+4,4
[mm] g_{AB}: \frac{0.2x-y+4.4}{\sqrt{0.2²+1}}=0 [/mm] "
den Zähler hast du umgestellt und deshalb =0 , das kann ich noch nachvollziehen. Aber wie kommst du auf den Nenner?
Und warum genau machst du das? Ich verstehs einfach nicht...
Vielleicht kannst du es nochmal für ganz dumme erklären?
Danke schön!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
HNF heißt HESSESCHE normalform der geraden.
diese form der geradengleichung verwendet man üblicherweise, wenn man noch nicht mit vektoren arbeitet.
kennt die dein bruder denn auch nicht?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:03 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Nein, bei dem Thema sind sie noch gar nicht! Wie mach ich das denn jetzt?
Wie geht denn das mit dem tan?
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Hallo kati93,
ich verstehe auch nicht, warum dein Bruder nicht selbst hier weiter fragt...
Wir scheinen an Euren Problemen vorbei zu diskutieren.
Du hattest die Frage unter dem Oberthema "Vektoren" gestellt, ich habe sie verschoben, weil offensichtlich Vektoren deinem Bruder nicht bekannt sind.
Aber: was behandelt er denn gerade? In welchem Zusammenhang taucht denn diese Aufgabe auf?
Vielleicht soll er doch nur zeichnen - und nicht berechnen?
Bevor wir das nicht vernünftig geklärt haben, lohnt sich die weitere Auseinandersetzung mit der Aufgabe nicht wirklich.
> Entschuldigung,dass ich jetzt schon wieder fragen muss,
> aber ich versteh es grad wirklich alles nicht!! :(
>
> Was meinst du mit HNF? Hauptnennform oder so ähnlich?
>
> "y= 0,2x+4,4
>
> [mm]g_{AB}: \frac{0.2x-y+4.4}{\sqrt{0.2²+1}}=0[/mm] "
>
> den Zähler hast du umgestellt und deshalb =0 , das kann ich
> noch nachvollziehen. Aber wie kommst du auf den Nenner?
> Und warum genau machst du das? Ich verstehs einfach
> nicht...
> Vielleicht kannst du es nochmal für ganz dumme erklären?
>
> Danke schön!!!!!
>
>
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Ja, du hast Recht, ich hatte es unter dem Thema Vektoren gestellt, weil ich selbst nicht wusste zu welchem Thema ich das zuordnen sollte. Über die Suchfunktion hab ich dann geschaut wo andere das Thema Inkreis eingeordnet haben.
Was er gerade behandelt ist etwas schwierig. Also ich helf meinem Bruder jetzt schon seit über einem Jahr immer bei seinem Mathekram und bereite mich mit seinem Buch auf die Themen vor. Jetzt hat er ne neue Lehrerin, die aber kaum mit dem Buch arbeitet und sehr viel zwischen den Themen springt. Eigentlich waren sie die letzten Wochen immer bei dem Thema Funktionen, erste Funktionsuntersuchungen (also Monotonie, waagrechte und senkrechte Asymptoten). Und dann hat sie auf einmal so ne Aufgabe da reingeworfen. Das wurd in der Schule anscheinend auch schon einmal gerechnet, aber da war er wohl nicht da. Und ich hab davon wie gesagt nichts gehört (oder wieder vergessen) und dazu steht auch nichts im Buch, so dass ichs nicht nachgucken kann. Und übers googlen hab ich auch nichts gefunden. Das mit dem Umkreis hab ich ja noch selbst hinbekommen, aber das mit dem Inkreis leider nicht.
Davor hatten sie übrigens das Thema Sinus, Kosinus, Tangens etc. Deshalb vermute ich dass es ja damit irgendwie gehen müsste.
Und sie müssen es tatsächlich berechnen, sie sollen es erst danach anhand von der Zeichnung kontrollieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
"alles kann man berechnen"
mit [mm] tan\alpha_1=m_{AB}=\frac{1}{5} [/mm] und [mm] tan\alpha_2=m_{AC}=\frac{3}{2} [/mm] bekommst du als steigung der winkelsymmetralen durch A:
[mm] \alpha_w=\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2} [/mm] und [mm] m_w=tan\alpha_w.
[/mm]
das machst du noch für eine 2. winkelsymmetrale und schon hast du samt bruder den inkreismittelpunkt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Es tut mir so leid, ihr gebt euch soooo ne Mühe mit mir und ich verstehs immer noch nicht :(
du sagst: [mm] tan\alpha_1=m_{AB}=\frac{1}{5} [/mm] und [mm] tan\alpha_2=m_{AC}=\frac{3}{2}
[/mm]
schon da fängt das Verständnisproblem an! Die Winkelhalbierende teilt doch den Winkel genau in der Hälfte, also sind doch [mm] alpha_1 [/mm] und [mm] alpha_2 [/mm] gleich groß! Wieso sollten dann verschiedene Ergebnisse rauskommen wenn ich den tan berechne?
Und mir ist auch noch nicht klar, warum ich hier überhaupt den Tangens anwende - natürlich, ihr habt gesagt dass man das so machen muss, aber das WARUM versteh ich noch nicht. Aus deiner Mitteilung schließe ich das jetzt so, dass mir der Tangens von dem halben Winkel die Steigung der Winkelhalbierenden angibt. Was mir ja enorm weiterhelfen würde, weil ich dann ja mit dem Punkt die Gleichung der Winkelhalbierenden aufstellen könnte.
Aber wie gesagt, mir ist noch nicht klar warum der Tangens und warum da unterschiedliche Werte rauskommen. Ich hoff ihr versteht mein Problem??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 So 09.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Es tut mir so leid, ihr gebt euch soooo ne Mühe mit mir und
> ich verstehs immer noch nicht :(
>
> du sagst: [mm]\tan\alpha_1=m_{AB}=\frac{1}{5}[/mm] und
> [mm]\tan\alpha_2=m_{AC}=\frac{3}{2}[/mm]
>
> schon da fängt das Verständnisproblem an! Die
> Winkelhalbierende teilt doch den Winkel genau in der
> Hälfte, also sind doch [mm]alpha_1[/mm] und [mm]alpha_2[/mm] gleich groß!
[mm] $m_{AB}$ [/mm] ist die Steigung der Geraden durch A und B.
[mm] $m_{AC}$ [/mm] ist die Steigung der Geraden durch A und C.
Die Steigung einer Geraden ist der Tangens des Winkels zwischen Gerade und x-Achse [mm] ($m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ [/mm] = Gegenkathete/Ankathete am Steigungsdreieck)
Jetzt nimmst Du den Arkustangens der beiden Steigungen, um die Winkel zu erhalten, findest das Mittel zwischen den beiden Winkeln und nimmst dann wieder Tangens, dann hast Du die Steigung der Winkelhalbierenden.
Nun brauchst Du noch den Achsenabschnitt der Geraden, und dann nach dem gleichen Muster eine zweite Winkelhalbierende. Von den beiden rechnest Du dann den Schnittpunkt aus.
Beim Arkustangens übrigens aufpassen, wenn Du nicht die Winkelhalbierenden der Punkte am weitesten links und rechts berechnest. Überleg Dir am besten anhand einer Zeichnung jeweils, welchen Winkel Du genau ausrechnest, ggf. 180° addieren, bzw. abziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
"Die Steigung einer Geraden ist der Tangens des Winkels zwischen Gerade und x-Achse"
Das war genau das was ich nicht verstanden hatte!!!!! Super, vielen lieben Dank! Jetzt weiss ich das WARUM!
Ich hab das grad versucht, aber entweder hab ichs immer noch nicht wirklich verstanden, noch nen Denkfehler drin oder ich hab mich verrechnet.
Also die Winkel hatte ich vorher schon berechnet:
[mm] \alpha=45°
[/mm]
[mm] \beta=34°
[/mm]
[mm] \gamma=101°
[/mm]
dann:
[mm] tan(0,5*\alpha)=tan(22,5°)=0,4 [/mm]
das ist ja dann die Steigung der Winkelhalbierenden durch [mm] \alpha.
[/mm]
Mein Punkt ist ja A(-12/2)
Dann hab ich den Achsenabschnitt berechnet und kam auf folgende Gleichung der Winkelhalbierenden durch [mm] \alpha:
[/mm]
y= 0,4x+6,8
Identisch bin ich dann auch bei den anderen beiden vorgegangen (ich wollte alle drei aufstellen um dann den Schnittpunkt den ich rausbekomme kontrollieren zu können)
Gleichung der Wh durch [mm] \beta: [/mm] y=0,3x+3,1
Gleichung der Wh durch [mm] \gamma: [/mm] y=1,48x+19,92
Dann hab ich den Schnittpunkt von der Wh durch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \gamma [/mm] ausgerechnet und kam auf (12,15/11,66), was auf jeden Fall schonmal falsch ist, das seh ich ja an der Zeichung.
Und auch der Schnittpunkt von der Wh durch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ist anders und es kommt ein viel zu großer Wert raus!
Ich denk dass ich bereits am Anfang, beim Aufstellen der Gleichungen einen großen Fehler gemacht hab, nur leider seh ich ihn selbst nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 09.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Also die Winkel hatte ich vorher schon berechnet:
>
> [mm]\alpha=45°[/mm]
> [mm]tan(0,5*\alpha)=tan(22,5°)=0,4[/mm]
> das ist ja dann die Steigung der Winkelhalbierenden durch
> [mm]\alpha.[/mm]
Nein, weil [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel zwischen den beiden Geraden ist, und die untere der beiden (AB) ist nicht waagrecht.
Nehmen wir die Gerade f(x)=x, dann hat sie mit der x-Achse den Winkel 45°, und ihre Winkelhalbierende ist 0,414x nach dem Muster wie Du's berechnet hast.
Jetzt nehmen wir die Geraden f(x)=0,414x und g(x)=2,414, dann ist der Winkel zwischen den beiden wiederum 45°, und Du kämst für die Winkelhalbierende wiederum auf 0,414x, d.h. die Winkelhalbierende wäre identisch mit einem der Schenkel. Der wahre Wert muß natürlich x sein.
Das Problem ist, daß Du die 22,5° auf die untere der beiden urspr. Geraden addieren mußt (weil ja die selbst in einem Winkel zur x-Achse steht), d.h.
22,5°+22,5°=45° (die Winkelhalbierende hat einen Winkel von 22,5° zu f und g, aber weil f einen Winkel von 22,5° zur x-Achse hat, hat die Wh einen von 45° zur x-Achse), und damit ist die Winkelhalbierende x.
Allgemein:
[mm] $\alpha_w=\frac{\alpha_2 -\alpha_1}{2} [/mm] + [mm] \alpha_1=$
[/mm]
(wenn [mm] $\alpha_2$ [/mm] der größere der beiden Winkel zur x-Achse ist und [mm] $\alpha_1$ [/mm] der kleinere; der Winkel zwischen Wh und x-Achse ist der halbe Winkel zwischen den beiden Geraden + der Winkel zw. dem unteren Schenkel und der x-Achse)
[mm] $=\frac{\alpha_2 -\alpha_1}{2}+\frac{2\alpha_1}{2}=\frac{\alpha_1 +\alpha_2}{2}$
[/mm]
(d.h. Du kannst einfach den Mittelwert der beiden Winkel mit der x-Achse nehmen)
im Bsp. oben:
(22,5°+67,5°)/2=90°/2=45°
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, an sich hab ich das glaub ich verstanden, zumindest auf jeden Fall die Beispiele die du genannt hast.
Das bei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zur x-Achse 45° ist ist mir jetzt klar. Aber bei [mm] \beta [/mm] hängts jetzt schon wieder. Ich komme nicht auf das richtige Ergebnis! Der Winkel [mm] \beta [/mm] ist ja 34°. Nun wusste ich nicht wie ich den Winkel zwischen der Winkelhalbierenden und der x-Achse berechne! Ich bin durch meine Überlegungen (bei denen ich aber nicht weiss ob sie richtig sind, ich bezweifel es sehr stark) auf 107° gekommen. Wenn ich aber damit rechne stimmt mein Ergebnis immer noch nicht! Das ist ja wirklich zum Verzweifeln!!!
Nachtrag:
Aber selbst wenn ich den Winkel nicht berechne, sondern einfach mit dem Geodreieck ablese, komme ich nicht auf das richtige Ergebnis!
Hier mal meine Rechnung:
Winkelhalbierende durch A(-12/2)
tan(45°)=1
[mm] Wh_1 [/mm] : y= x + 14
Winkelhalbierende durch B(13/7)
tan(95°)= -11,43 (der Winkel ist abgelesen, ich weiss leider immer noch nicht wie ich ihn berechne)
[mm] Wh_2: [/mm] y= -11,43x + 155,6
Wenn ich beide gleichsetze komme ich auf x=11,39 was aber leider nicht stimmt!!
Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
das kann ja auch nicht stimmen, weil so ziemlich alles falsch ist.
vielleicht solltest einmal du den bruder um hilfe bitten.
[mm] m_{AB}=\frac{1}{5}\to \alpha_1=11.309932°
[/mm]
[mm] m_{AC}=\frac{3}{2}\to \alpha_2=56.309932°
[/mm]
[mm] \alpha_w=\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}=33.809932°\to m_w=0.669693
[/mm]
und damit hast du
[mm] w_\alpha: [/mm] y=0.669693 (x+12)+2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Jetzt blick ich nicht mehr durch!
Bei Blech war der Winkel ja 45°. Das hat mir auch eingeleuchtet! Du kommst jetzt aber auf 33,...°.
Was stimmt denn nun???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
> Jetzt blick ich nicht mehr durch!
>
> Bei Blech war der Winkel ja 45°. Das hat mir auch
> eingeleuchtet! Du kommst jetzt aber auf 33,...°.
> Was stimmt denn nun???
ich würde dir empfehlen, es selbst zu berechnen!
was leuchtet bei 45° ein und bei 33° nicht???
die differenz der beiden winkel ist tatsächlich 45°, und davon die hälfte mußt du zum kleineren winkel addieren, um auf den steigungswinkel der symmetralen zu kommen.
zeichne es halt mal, dann kannst du dich davon überzeugen, dass 33....° stimmt
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:43 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Das wird ja immer schwieriger....!!!!
Ich hab [mm] \beta_1 [/mm] und [mm] \beta_2 [/mm] jetzt zwar berechnet, habe aber Schwierigkeiten bei der Zuordnung (wie von Blech schon angekündigt) zu meiner Zeichnung.
Mein [mm] \beta_1=11,3099° [/mm]
die hab ich dann von 180° abgezogen und komme nun auf 168,69°. Stimmt das so? Meiner Meinung nach wäre das der Winkel zwischen dem unteren Schenkel und der x-Achse
Und nochmal Entschuldigung, dass ich heut sooo viele Fragen stell!!!!! :(
Nachtrag:
Ich werd wirklich noch wahnsinnig! Ich bekomm es einfach nicht hin!
Meine Ergebnisse:
Die Gleichung der Winkelhalbierenden durch A:
y=0,6697x+10,036
So, dann bei B:
[mm] \beta_2= [/mm] -22,38° [mm] \beta_2=180°-(-22,58)°=202,38°
[/mm]
[mm] \beta_1=11,3099° \beta_1=180°-11,3099°=168,69°
[/mm]
[mm] \beta [/mm] (zwischen Winkelhalbierender und x-Achse)=185,69°
Gleichung der Winkelhalbierenden in B: y=0,09964x+5,7
Und der Schnittpunkt stimmt nicht! Was hab ich denn jetzt schon wieder falsch gemacht???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
ahhh, ich hab mir ne neue skizze gemacht, in der alten hab ich nicht mehr durchgeblickt! Das hab ich jetzt wirklich verstanden und komme auch auf die Steigung 0,6696...
Nun werd ich es mit der 2.Winkelhalbierenden versuchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 So 09.12.2007 | | Autor: | weduwe |
wo sollten denn da probleme auftauchen
[mm] m_{AB}=\frac{1}{5}\to \beta_1=\alpha_1=11.309932°
[/mm]
[mm] m_{BC}=-\frac{7}{17}\to \beta_2=-22.380135°
[/mm]
[mm] m_\beta=tan\frac{\beta_1+\beta_2}{2}=-0.96907
[/mm]
[mm] w_\beta: [/mm] y=-0.96907(x-13)+7
wie gesagt, das mittel der wahl ist das nicht gerade.
aber man kann ja alles auch kompliziert machen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:25 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Aber dein Ergebnis ist doch auch nicht wirklich anders als meins!
[mm] m_\beta=tan\frac{\beta_1+\beta_2}{2}=-0.96907
[/mm]
Ich komme ja auf 0,0996 , du auf 0,096907!
Also hab ich ja eigentlich alles richtig gemacht! Und trotzdem stimmt der Schnittpunkt nicht
Stop!! Nachtrag: Ich seh grad ich hab bei mir das Minus zwar stehn, aber beim Aufstellen der Gleichung vergessen!! Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 09.12.2007 | | Autor: | kati93 |
Okay, es hat sich jetzt alles erledigt! Juchhuh!! Ich habs endlich geschafft und bin auf den Mittelpunkt gekommen!!
Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!!!
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