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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:47 So 26.02.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Teilräume [mm] W_1:=\{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | x +y=0\}
[/mm]
[mm] W_2:=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2|x-2y=0\}
[/mm]
Zeige [mm] W_1 \oplus W_2= \IR^2 [/mm] und bestimme die Matrix der Projektion auf [mm] W_1 [/mm] längs [mm] W_2 [/mm] sowie die Matrix der Projektion auf [mm] W_2 [/mm] längs [mm] W_1. [/mm] |
Grüße euch.
Beweis: [mm] W_1 \cap W_2 =\{0\}
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} \in W_1 \cap W_2 [/mm]
-> x+y=0 <=> y=-x
->x-2y=0
x-2*(-x)=0
<=>x+2x=0
<=>3x=0
x=0, y=0
[mm] \vektor{0 \\ 0} \in W_1 \cap W_2 [/mm]
Beweis [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2= \IR^2
[/mm]
Da habe ich Probleme, weil ich es nicht zum aufspalten schaffe.
Dann hab ich mir einen anderen Weg überlegt. Ich versuche die Basisvektoren des [mm] \IR^2 [/mm] , also [mm] e_1,e_2 [/mm] darzustellen als Summe von [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2. [/mm] Mittels Gleichungen kam ich dann auf:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1/3 \\ -1/3} +\vektor{2/3\\ 1/3} [/mm]
wobei erste Vektor [mm] \in W_1 [/mm] und zweite Vektor [mm] \in W_2
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{-2/3 \\ 2/3} +\vektor{2/3\\ 1/3} [/mm]
wobei erste Vektor [mm] \in W_1 [/mm] und zweite Vektor [mm] \in W_2
[/mm]
[mm] \forall \vektor{x \\ y} \in \IR^2
[/mm]
Gezeigt, dass [mm] \vektor{x\\ y} \in W_1 [/mm] + [mm] W_2, \IR^2 \subseteq W_1 [/mm] + [mm] W_2.
[/mm]
Leider brauch ich aber trotzdem die "aufgeschriebene " Zerlegung um das mit der Projektion zu machen! Kann mir da wer behilflich sein?
Danke,Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 So 26.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Teilräume [mm]W_1:=\{ \vektor{x \\ y} \in \IR^2 | x +y=0\}[/mm]
>
> [mm]W_2:=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2|x-2y=0\}[/mm]
> Zeige [mm]W_1 \oplus W_2= \IR^2[/mm]
> und bestimme die Matrix der Projektion auf [mm]W_1[/mm] längs [mm]W_2[/mm]
> sowie die Matrix der Projektion auf [mm]W_2[/mm] längs [mm]W_1.[/mm]
>
> Grüße euch.
> Beweis: [mm]W_1 \cap W_2 =\{0\}[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y} \in W_1 \cap W_2[/mm]
> -> x+y=0 <=> y=-x
> ->x-2y=0
> x-2*(-x)=0
> <=>x+2x=0
> <=>3x=0
> x=0, y=0
> [mm]\vektor{0 \\ 0} \in W_1 \cap W_2[/mm]
>
> Beweis [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2= \IR^2[/mm]
> Da habe ich Probleme, weil ich es
> nicht zum aufspalten schaffe.
> Dann hab ich mir einen anderen Weg überlegt. Ich versuche
> die Basisvektoren des [mm]\IR^2[/mm] , also [mm]e_1,e_2[/mm] darzustellen als
> Summe von [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2.[/mm] Mittels Gleichungen kam ich dann auf:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1/3 \\ -1/3} +\vektor{2/3\\ 1/3}[/mm]
> wobei erste Vektor [mm]\in W_1[/mm] und zweite Vektor [mm]\in W_2[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{-2/3 \\ 2/3} +\vektor{2/3\\ 1/3}[/mm]
> wobei erste Vektor [mm]\in W_1[/mm] und zweite Vektor [mm]\in W_2[/mm]
>
>
> [mm]\forall \vektor{x \\ y} \in \IR^2[/mm]
> Gezeigt, dass
> [mm]\vektor{x\\ y} \in W_1[/mm] + [mm]W_2, \IR^2 \subseteq W_1[/mm] + [mm]W_2.[/mm]
>
>
> Leider brauch ich aber trotzdem die "aufgeschriebene "
> Zerlegung um das mit der Projektion zu machen! Kann mir da
> wer behilflich sein?
Es ist
[mm] \vektor{x\\ y}=x\vektor{1\\ 0}+y\vektor{0\\ 1}
[/mm]
Jetzt benutze
[mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1/3 \\ -1/3} +\vektor{2/3\\ 1/3}[/mm]
und
[mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{-2/3 \\ 2/3} +\vektor{2/3\\ 1/3}[/mm]
FRED
> Danke,Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 26.02.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo.
> $ [mm] \vektor{x\\ y}=x\vektor{1\\ 0}+y\vektor{0\\ 1} [/mm] $
> $ [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1/3 \\ -1/3} +\vektor{2/3\\ 1/3} [/mm] $
> und
> $ [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-2/3 \\ 2/3} +\vektor{2/3\\ 1/3} [/mm] $
[mm] \vektor{x\\ y}=x (\vektor{1/3 \\ -1/3} +\vektor{2/3\\ 1/3})+y(\vektor{-2/3 \\ 2/3} +\vektor{2/3\\ 1/3})= [/mm] x [mm] \vektor{1/3 \\ -1/3} [/mm] + [mm] y*\vektor{-2/3 \\ 2/3} +x\vektor{2/3\\ 1/3} [/mm] +y [mm] \vektor{2/3\\ 1/3}
[/mm]
Wobei ersten beiden Summanden [mm] \in W_1
[/mm]
und zweiten beiden Summanden [mm] \in W_2
[/mm]
Ich hab das gefühlt, dass das zu kompliziert aufgeschrieben ist oder?
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Hallo,
> [mm]\vektor{x\\
y}=x (\vektor{1/3 \\
-1/3} +\vektor{2/3\\
1/3})+y(\vektor{-2/3 \\
2/3} +\vektor{2/3\\
1/3})=[/mm]
> x [mm]\vektor{1/3 \\
-1/3}[/mm] + [mm]y*\vektor{-2/3 \\
2/3} +x\vektor{2/3\\
1/3}[/mm] +y [mm]\vektor{2/3\\
1/3}[/mm]
[mm] =\underbrace{(x-2y)\vektor{1/3\\-1/3}}_{\in W_1}+\underbrace{(x+y)\vektor{2/3\\1/3}}_{\in W_2}.
[/mm]
LG Angela
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