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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 Di 05.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Sei n [mm] \ge [/mm] 3 und [mm] \tau_{ij} [/mm] = (i j) ein 2-Zykel in [mm] S_{n}. [/mm] Zeige, dass der Automorphimus [mm] f:A_{n} \to A_{n}, \gamma \mapsto \tau_{ij}\gamma \tau_{ij}^{-1} [/mm] kein innerer Automorphismus von [mm] A_{n} [/mm] ist, d.h. es gibt kein [mm] \theta \in A_{n}, [/mm] so dass [mm] \theta \gamma \theta^{-1} [/mm] = [mm] f(\gamma) \forall \gamma \in A_{n} [/mm] gilt. |
Hallo,
ich brauche ein paar Hilfestellungen bzw. Tips zur obigen Aufgabe, weil ich nicht genau weiß, wie ich das zeigen kann.
Anscheinend gilt die Aussage nur für [mm] \theta \in S_{n} [/mm] \ [mm] A_{n}, [/mm] also wenn [mm] \theta [/mm] keine gerade Permutation ist, [mm] sign(\theta) [/mm] = -1.
[mm] \tau_{ij} [/mm] ist ein 2-Zykel, d.h. Transposition oder? Und Transpositionen haben immer [mm] sign(\tau_{ij}) [/mm] = -1.
Wenn man die Behauptung zeigen will, kann man da ein Widerspruchsbeweis durchführen?
Ich hab so angefangen, dass ich angenommen habe, dass es ein [mm] \theta \in A_{n} [/mm] gibt, so dass [mm] \theta \gamma \theta^{-1} [/mm] = [mm] f(\gamma) [/mm] gilt. Dann ist [mm] sign(\theta) [/mm] = 1.
Aber wie kann ich den Beweis fortführen?
Ich hoffe, es kann mir jemand ein paar Tips geben, damit ich weiß, wie ich an die Aufgabe rangehen muss.
Danke für eure Hilfe.
Viele Grüße,
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand bei der Aufgabe weiter helfen, oder einen Tipp geben, wie ich hier anfangen kann, um die Behauptung zu zeigen.
Ich hab versucht mit meiner Annahme, dass es ein [mm] \theta \in A_{n} [/mm] gibt, so dass [mm] \theta \gamma \theta^{-1} [/mm] = [mm] f(\gamma) \forall \gamma \in A_{n} [/mm] gilt, weiter zu machen und zu einem Widerspruch zu kommen:
[mm] \theta \gamma \theta^{-1} [/mm] = [mm] f(\gamma)
[/mm]
[mm] \gdw \theta \gamma [/mm] = [mm] f(\gamma) \theta
[/mm]
[mm] \gdw \theta \gamma [/mm] = [mm] \tau_{ij} \gamma \tau_{ij}^{-1} \theta, [/mm] da nach Voraussetzung [mm] f(\gamma) [/mm] = [mm] \tau_{ij} \gamma \tau_{ij}^{-1} [/mm] gilt.
[mm] \gdw \gamma [/mm] = [mm] \theta^{-1} \tau_{ij} \gamma (\theta^{-1} \tau_{ij})^{-1}
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich weiß nun nicht mehr, wie ich den Beweis fortfahren soll und dass dann ein Widerspruch entsteht.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen. Vielleicht bin ich total auf einem Holzweg....
Danke schön und viele Grüße,
Moe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 12.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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